了解的實(shí)際意義，能借助圖象理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
1.φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響
2.ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響
3.A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響
二、由函數(shù)y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑
由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“eq \(□,\s\up4(01))先平移后伸縮”與“eq \(□,\s\up4(02))先伸縮后平移”．
(1)先平移后伸縮
(2)先伸縮后平移
三、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：左右平移變換
例1．(2022學(xué)年貴州省黔東南州凱里市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，則( )
A．B．C．0D．
考點(diǎn)二：沿x軸方向的伸縮變換
例2．(2022學(xué)年浙江省溫州市高一上學(xué)期期期末)已知函數(shù)，若特它的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，則得到的函數(shù)解析式是( )
A．B．
C．D．
考點(diǎn)三：沿y軸方向的伸縮變換
例3． (2020-2021學(xué)年河北省石家莊市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月教學(xué)銜接測量)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是( )
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D．函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)
考點(diǎn)四： y=Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)
例4．(2022學(xué)年山西省長治市第四中學(xué)校高一上學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．函數(shù)的值域是；
B．點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對稱中心；
C．直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸；
D．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．
考點(diǎn)五：三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯
例5. (2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，則下列說法正確的有________.
①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到
②在上單調(diào)遞增
③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)
④在上的最大值為
考點(diǎn)六：由圖象確定函數(shù)解析式
例6．(2022學(xué)年甘肅省定西市高一下學(xué)期統(tǒng)一檢測)函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
【真題演練】
1．(2022學(xué)年河南省駐馬店市高一下學(xué)期期中)要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像( )
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
2. (2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小
正周期為( )
( )
A．B．C．D．
3.(2022學(xué)年山東省濰坊市高一下學(xué)期5月優(yōu)秀生測試)關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：
甲：該函數(shù)在上單調(diào)遞減；
乙：該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)；
丙：該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為
?。涸摵瘮?shù)圖象的一個(gè)對稱中心為．
如果只有一個(gè)假命題．則該命題是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
4.(2021年高考全國甲卷理科)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．
5.(多選)(2022學(xué)年山東省臨沂第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的是( )
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．在上單調(diào)遞減
C．的圖象的一個(gè)對稱中心是
D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象
6.(多選)(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
D．若把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)
7. (2022學(xué)年吉林省長春市長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為______．
8. (2022學(xué)年山東省淄博市高一下學(xué)期期中)已知的最小正周期為，圖像關(guān)于直線對稱.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再將得到的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年青海省海南藏族自治州高級中學(xué)高一上學(xué)期期末)簡諧運(yùn)動(dòng)可用函數(shù)表示，則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的初相為( )
A．B．C．D．
2.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象( )
A．向右平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度
3.(2022學(xué)年北京市第三十五中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式的值為( )
A．B．
C．D．
4.(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．的值域?yàn)?br>B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D．的圖象可由函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到
5.(多選)(2022學(xué)年甘肅省張掖市高臺(tái)縣第一中學(xué)高一下學(xué)期4月月考)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)( )
A．向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
B．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度
D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長度
6. (多選)(2022學(xué)年貴州省六枝特區(qū)高一下學(xué)期期中)函數(shù)的圖像如圖，把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．直線是函數(shù)的一條對稱軸
7.(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市泗水縣高一下學(xué)期期中)關(guān)于函數(shù)，下列命題中是真命題的為( )
A．為偶函數(shù)
B．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．在內(nèi)的增區(qū)間為和
8.(2022學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)()圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是 的圖象的一條對稱軸，則_________.
9．(2022學(xué)年浙江省衢州市高一下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，已知關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的解.
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：.
10．(2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)已知函數(shù)．
(1)用五點(diǎn)法畫出函數(shù)的大致圖像，并寫出的最小正周期；
(2)寫出函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，求在區(qū)間上的最值．
第18講 y=Asin(ωx+φ)三角恒等變換
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
了解的實(shí)際意義，能借助圖象理解參數(shù)的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
1.φ對函數(shù)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響
2.ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響
3.A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響
二、由函數(shù)y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑
由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“eq \(□,\s\up4(01))先平移后伸縮”與“eq \(□,\s\up4(02))先伸縮后平移”．
(1)先平移后伸縮
(2)先伸縮后平移
三、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：左右平移變換
例1．(2022學(xué)年貴州省黔東南州凱里市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，則( )
A．B．C．0D．
答案:B
解析：由題得，所以．
故選B
考點(diǎn)二：沿x軸方向的伸縮變換
例2．(2022學(xué)年浙江省溫州市高一上學(xué)期期期末)已知函數(shù)，若特它的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，則得到的函數(shù)解析式是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：由題意知，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得，
再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變)，得，故選A
考點(diǎn)三：沿y軸方向的伸縮變換
例3． (2020-2021學(xué)年河北省石家莊市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月教學(xué)銜接測量)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是( )
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D．函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)
答案:D
解析：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，
將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得，
再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，
則的最小正周期，故A正確，
由，得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確，
是最大值，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C正確，D錯(cuò)誤.故選D．
考點(diǎn)四： y=Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)
例4．(2022學(xué)年山西省長治市第四中學(xué)校高一上學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．函數(shù)的值域是；
B．點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對稱中心；
C．直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸；
D．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．
答案:B
解析：因?yàn)?，?br>所以，即函數(shù)的值域是，故A正確；
因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對稱，故C正確；
將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到為偶函數(shù)，故D正確；
故選B
考點(diǎn)五：三角變換與三角函數(shù)性質(zhì)的交匯
例5. (2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，則下列說法正確的有________.
①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到
②在上單調(diào)遞增
③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)
④在上的最大值為
答案:②③
解析：由函數(shù)，
對于①中，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，
得到，所以①不正確；
對于②中，令，解得，
當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以②正確；
對于③中，令，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，
所以在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；
對于④中，由，可得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以④不正確.
故答案為②③.
考點(diǎn)六：由圖象確定函數(shù)解析式
例6．(2022學(xué)年甘肅省定西市高一下學(xué)期統(tǒng)一檢測)函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
答案:C
解析：由圖可知；設(shè)周期為，則，所以；
又，所以.
由，，令，得.
所以；
因?yàn)閷⒌膱D象向右平移單位長度得到函數(shù)的圖象，
所以.故選C.
【真題演練】
1．(2022學(xué)年河南省駐馬店市高一下學(xué)期期中)要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像( )
A．向左平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度
C．向左平移個(gè)單位長度D．向右平移個(gè)單位長度
答案:B
解析：將的圖像向右平移個(gè)單位長度可得.
故選B.
2. (2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小
正周期為( )
( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：
又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得：
所以函數(shù)的最小正周期為，故選C
3.(2022學(xué)年山東省濰坊市高一下學(xué)期5月優(yōu)秀生測試)關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：
甲：該函數(shù)在上單調(diào)遞減；
乙：該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)；
丙：該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為
丁：該函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為．
如果只有一個(gè)假命題．則該命題是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
答案:C
解析：設(shè)，若丙丁都正確，則且，
但，故矛盾，所以丙丁中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，故甲乙都正確，
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的解析式為：
，因?yàn)槠揭坪蟮膱D象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，故，
故，若為偶數(shù)，則，
當(dāng)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在為減函數(shù)，符合，若為奇數(shù)，則，
當(dāng)，，
因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在為增函數(shù)，舍，
故.
而，故該函數(shù)圖象的對稱中心為，丙錯(cuò)誤，
，故該函數(shù)圖象的對稱中心為，丁正確.
故選C
4.(2021年高考全國甲卷理科)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．
答案:2
解析：由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以．因?yàn)?，?br>所以由可得或；因?yàn)?，所以?br>方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2．
方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2．
5.(多選)(2022學(xué)年山東省臨沂第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的是( )
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．在上單調(diào)遞減
C．的圖象的一個(gè)對稱中心是
D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象
答案:AC
解析：由題意可得，所以，所以.
對于A，由于，可知A正確；
對于B，當(dāng)，，，函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；
對于C，令，求得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確；
對于D，把的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D不正確.
故選AC.
6.(多選)(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
D．若把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)
答案:AC
解析：對A，由圖，，則，故，
所以，又，即，
所以，即，
因?yàn)?，故，所以，故A正確；
對B，把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位可得為奇函數(shù)，
故B錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，為的對稱軸，故C正確；
對D，把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，
得到，
當(dāng)時(shí)，不為的增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；
故選AC
7. (2022學(xué)年吉林省長春市長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為______．
答案:
解析：由圖象可知：，最小正周期，因?yàn)?，所以，解得：?br>將，即代入解析式得：，解得：，
因?yàn)?，所?br>8. (2022學(xué)年山東省淄博市高一下學(xué)期期中)已知的最小正周期為，圖像關(guān)于直線對稱.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再將得到的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
解析： (1)因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?br>所以；
因?yàn)閳D像關(guān)于直線對稱，所以，
即，
因?yàn)?，所以?br>所以.
(2)由題意得；
，，即，；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【過關(guān)檢測】
1. (2022學(xué)年青海省海南藏族自治州高級中學(xué)高一上學(xué)期期末)簡諧運(yùn)動(dòng)可用函數(shù)表示，則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的初相為( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：由初相定義可知，當(dāng)時(shí)的相位稱為初相，所以，函數(shù)的初相為.故選B
2.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象( )
A．向右平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度
C．向右平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度
答案:D
解析：函數(shù)；
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到
，故選D．
3.(2022學(xué)年北京市第三十五中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式的值為( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：由圖象可知：，所以，解得：，將點(diǎn)代入解析式得：，
所以，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故選A
4.(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高一下學(xué)期期中)已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．的值域?yàn)?br>B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D．的圖象可由函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到
答案:C
解析：A：因?yàn)?，所以?br>即的值域?yàn)?，故A正確；
B：當(dāng)時(shí)，為最小值，
故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B正確；
C：若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由，
得其一條對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，不是最值，
所以不是函數(shù)的對稱軸，即函數(shù)不關(guān)于對稱，故C錯(cuò)誤；
D：將函數(shù)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到
，故D正確.故選C
5.(多選)(2022學(xué)年甘肅省張掖市高臺(tái)縣第一中學(xué)高一下學(xué)期4月月考)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)( )
A．向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
B．向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度
D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長度
答案:BC
解析：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位，得，
再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；
函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，
再向左平移個(gè)長度單位，得，即.故選BC
6. (多選)(2022學(xué)年貴州省六枝特區(qū)高一下學(xué)期期中)函數(shù)的圖像如圖，把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．直線是函數(shù)的一條對稱軸
答案:BC
解析：根據(jù)圖形可得：，則，∴
圖像過點(diǎn)，即
∵，則或
當(dāng)時(shí)，不是最大值，不合題意
當(dāng)時(shí)，，符合題意，則，A錯(cuò)誤；
，
，則
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，B正確；
∵，則
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；
不是最值，D錯(cuò)誤；故選BC．
7.(2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市泗水縣高一下學(xué)期期中)關(guān)于函數(shù)，下列命題中是真命題的為( )
A．為偶函數(shù)
B．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．在內(nèi)的增區(qū)間為和
答案:BC
解析：對于A選項(xiàng)，，
所以，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度，B對；
對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，的圖象關(guān)于直線對稱，C對；
對于D選項(xiàng)，由，解得，
記，，
所以，函數(shù)在內(nèi)的增區(qū)間為、和，D錯(cuò).故選BC.
8.(2022學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)高一下學(xué)期期中)將函數(shù)()圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是 的圖象的一條對稱軸，則_________.
答案:
解析：，因?yàn)槭?的圖象的一條對稱軸，
所以，，
解得：，
因?yàn)?，所以時(shí)，符合要求，
所以.
9．(2022學(xué)年浙江省衢州市高一下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，已知關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的解.
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：.
解析：(1)
∴函數(shù)的最小正周期
又∵，即
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)①由題意可得且方程在上有兩個(gè)不同的解
∵，則
∴
結(jié)合正弦函數(shù)可得
②結(jié)合正弦函數(shù)對稱性可得且
即，
∴
10．(2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考)已知函數(shù)．
(1)用五點(diǎn)法畫出函數(shù)的大致圖像，并寫出的最小正周期；
(2)寫出函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，求在區(qū)間上的最值．
解析： (1)解：因?yàn)椋?br>列表如下：
函數(shù)圖象如下：
函數(shù)的最小正周期．
(2)解：令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
(3)解：將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到，
再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變得到，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)
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