初中實(shí)際上是用變量的觀點(diǎn)和解析式來(lái)描述函數(shù)的，初中的方法有一定的局限性：情境與問(wèn)題中的i是y的函數(shù)，v是t的函數(shù)，但是這兩個(gè)函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個(gè)解析式表示，而且每個(gè)變量的取值范圍也有了限制，等等。
一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集 A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A 中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合 B 中都有唯一確定的實(shí)數(shù) y與x對(duì)應(yīng)，則稱 f 為定義在集合 A 上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A,
其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集 A）稱為這個(gè)函數(shù)的定義域。如果自變量取值a，則由對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 確定的值y稱為函數(shù)在a 處的函數(shù)值，記作y=f (a)或 y | x=a所有函數(shù)值組成的集合{y | y=f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域。
在表示函數(shù)時(shí)，如果不會(huì)產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時(shí)就約定：函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合。在上述約定下，以下表達(dá)式都可以表示函數(shù) f(x)=2x+1，x∈Rf(x)=2x＋1,y=2x＋1.
思考：如何理解對(duì)應(yīng)關(guān)系“f ”的含義。提示：f是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，也可以是圖像、表格，還可以是文字描述。如f(x)＝3x＋5，f表示“自變量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17。
2．常見函數(shù)的定義域和值域
思考：求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域時(shí)為什么分a＞0和a＜0兩種情況？
解得：x>－1，所以函數(shù)的定義域?yàn)?br/>(2) 因?yàn)楹瘮?shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)
解得：x≠0且x≠－2，因此函數(shù)的定義域?yàn)?br/>(－∞，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞).
以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：分式中分母不能為零；(2) 二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零。
(2)(方法一)因?yàn)閤2≥0，所以x2 +1≥1恒成立，從而可知
又因?yàn)楫?dāng)x的絕對(duì)值逐漸變大時(shí)，函數(shù)值會(huì)逐漸接近于0，但不會(huì)等于0，因此所求函數(shù)的值域?yàn)?(0，1].
例3 (2) 中的方法一實(shí)質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì)。
1．下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是_________(填序號(hào))．
解析：由于③中的2與1和3同時(shí)對(duì)應(yīng)，故③不是函數(shù)。
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，4)．
4．已知f(x)＝x3－2，則f[f(－1)]＝_______.解析：∵f(x)＝x3－2，∴f(－1)＝(－1)3－2＝－3，∴f[f(－1)]＝f(－3)＝(－3)3－2＝－29.
設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}給出下列4個(gè)圖形，其中能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(　　)A．0個(gè)　B．1個(gè)　　C．2個(gè)　D．3個(gè)
思路探究：由函數(shù)的定義知，圖中過(guò)x軸上區(qū)間[0，2]內(nèi)任取一點(diǎn)作y軸的平行線，與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)才可。解析：由函數(shù)的定義知，(1)不是，因?yàn)榧螹中1

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.1.1 函數(shù)及其表示方法

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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