模型1、“8”字模型

圖1 圖2
8字模型（基礎(chǔ)型）
條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。
8字模型（加角平分線）
條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
例2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為 ．
例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；
②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．
例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．
(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；
(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．
例5．（2023·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．
（1）【性質(zhì)理解】
如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；
（2）【性質(zhì)應用】如圖3，在中，點D、E分別是邊、上的點，，若比大20°，求的度數(shù)；
（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點P，設(shè)，求的度數(shù)（用表示）．
模型2、“A”字模型

結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．
例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；
（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關(guān)系是______________；
（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．
幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
應用上面模型解決問題：
(1)如圖（2），“五角星”形，求？
分析： 圖中是“A”型圖，于是，所以= ；
(2)如圖（3），“七角星”形，求；
(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?br>圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②與互為補角；③若，則；④．其中一定正確的序號是（ ）

A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
例2．（2023春·安徽·九年級專題練習）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點C在的延長線上，點C、F分別為直角頂點，且，，若，則的度數(shù)是（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有 ．（填序號）

例5．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）實踐與探究
材料：一副直角三角尺，記作：和，其中，，．

(1)操作一：如圖①，將三角尺按如圖方擺放，其中點C、D、A、F在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分別為、，與相交于點O，則的大小為 度．
(2)操作二：保持、不變，將圖①中的三角尺經(jīng)過適當平移旋轉(zhuǎn)，得到的位置如圖②所示，點B在上，點F在上，點A與點E重合，點C與點D重合，且平分，求的度數(shù)．
(3)操作三：如圖③，將圖①位置的三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒，設(shè)運動時間為t秒，當邊與互相平行時，直接寫出t的值．
課后專項訓練
1．（2023春·新疆伊犁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在宗上，則圖中的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，其中，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學?？计谥校┤鐖D是兩塊直角三角板和，其中，，，且點D在邊AB上，點F在邊CB的延長線上，那么不可能等于（ ）．

A．B．C．D．
4．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┤鐖D，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為C，且保持不變．為了舒適，需調(diào)整大小，使，則應調(diào)整為（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
6．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
9．（2022·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則 ．

10．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知，平分，平分，求證：
11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知， ．
12．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是上的點，點F在的延長線上，，，求的度數(shù)．
13．（2022春·七年級單元測試）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù)，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．
(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．
14．（2021秋·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______
（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關(guān)系是________________
（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．
15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當為 度時，；當為 度時，．
(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．
16．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）學習完平行線的知識后，甲，乙，丙三位同學利用兩個三角形進行探究活動，分別得到以下圖形．已知中，．請根據(jù)他們的敘述條件完成題目．

(1)若為等腰直角三角形，且；
①甲同學：如圖1，和的直角邊在同一直線上，點E和點C互相重合，斜邊與相交于點P，那么 度；
②乙同學：如圖2，和直角頂點C，D互相重合于點P，斜邊與斜邊互相平行，求的度數(shù)，并寫出解答過程；
(2)若為等腰三角形，已知．
丙同學：如圖3，若直角頂點D恰好與底邊的中點重合，的斜邊經(jīng)過的頂點C，若，設(shè)，請用含x的式子表示的度數(shù)，并寫出解答過程．
17．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．
(2)①求圖1中的度數(shù)；
②圖2中，，求的度數(shù)．
18．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．
(1)若，則______，______，______
(2)若，則______．（寫出求解過程）
(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
19．（2023春·七年級課時練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
20．（2022春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）
(1)【問題背景】如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明；
(2)【簡單應用】如圖2，、分別平分、，若，，求的度數(shù)；
(3)【問題探究】如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，請猜想的度數(shù)，并說明理由；
(4)【拓展延伸】在圖4中，若設(shè)，，，，試問與、之間的數(shù)量關(guān)系為：___．（用、表示，不必說明理由）
專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型
近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型

圖1 圖2
8字模型（基礎(chǔ)型）
條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。
8字模型（加角平分線）
條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．
【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為 ．
【答案】1080°
【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．
【詳解】解：連KF，GI，如圖，
∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．
故答案為：1080°．
【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．
例3．（2023·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
(1)求證：；
(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．
①若，求的度數(shù)；
②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析(2)①；②
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；
（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：在中，，
在中，，
∵，∴；
（2）解：①∵和的平分線和相交于點P，∴，
∵①，②，
由，得：，即，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，∴），故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計算，解題的關(guān)鍵是靈活運用“8字形”求解．
例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．
(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；
(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．
【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)證即可得出結(jié)論；
（3）在上取一點，使，連接交于點，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，，
，即；
（2）證明：平分，，
在和中，，，；
（3）證明：在上取一點，使，連接交于點，
是的角平分線，，
在和中，，，，同理可證，
，，，即，
，．
【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．
（1）【性質(zhì)理解】
如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；
（2）【性質(zhì)應用】如圖3，在中，點D、E分別是邊、上的點，，若比大20°，求的度數(shù)；
（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點P，設(shè)，求的度數(shù)（用表示）．
【答案】（1）見詳解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】（1）由“對頂三角形”的性質(zhì)得，從而得，進而即可得到結(jié)論；（2）設(shè)=x， =y，則=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，列出方程，即可求解；（3）設(shè)∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，結(jié)合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵在“對頂三角形”與中，∴，
∵，∴，∵，∴，
又∵∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴設(shè)=x， =y，則=x+20°，=y-20°，
∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；
（3）∵，是的角平分線，
∴設(shè)∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分線和相交于點P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握“對頂三角形”的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
模型2、“A”字模型

結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)鄰補角求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．
【詳解】解：，，
，故選：D．
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．
【詳解】解：和是的外角，．
又，．
【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故選C．
【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．
例5．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；
（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關(guān)系是______________；
（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；
（3）根據(jù)（1）和（2）可知，，根據(jù)，即可；
（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，則，，，再根據(jù)等量代換，即可．
【詳解】（1）為直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案為：．

（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案為：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由見下：由題意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形的外角和定理．
例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．
幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
應用上面模型解決問題：
(1)如圖（2），“五角星”形，求？
分析： 圖中是“A”型圖，于是，所以= ；
(2)如圖（3），“七角星”形，求；
(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得= ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案．
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個角轉(zhuǎn)化到一個四邊形中可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，

由三角形外角的性質(zhì)可得，，∵，∴，
∵，∴，故答案為：180°；
（2）如圖，由（1）得，
∵，∴．
（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，，，
故答案為：360°．
【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
模型3、三角板模型
【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?br>圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②與互為補角；③若，則；④．其中一定正確的序號是（ ）

A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由題意知，，則，進而可判斷①的正誤；由，可得，則與互為補角，進而可判斷②的正誤；由，可得，則，，進而可判斷③的正誤；由題意知，，即，由，可得，則，進而可判斷④的正誤．
【詳解】解：由題意知，，∴，①不一定正確，故不符合要求；
∵，∴，
∴與互為補角，②一定正確，故符合要求；∵，∴，
∵，∴，③一定正確，故符合要求；
由題意知，，即，
∵，∴，∴，④一定正確，故符合要求；故選：B．
【點睛】本題考查了三角板中角度計算，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．
例2．（2023春·安徽·九年級專題練習）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：在中，，，
∴，∴．故選：B．
【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對頂角，牢記“三角形內(nèi)角和是”及“對頂角相等”是解題的關(guān)鍵．
例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點C在的延長線上，點C、F分別為直角頂點，且，，若，則的度數(shù)是（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可求出，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，∴．
∵是的外角，∴．故選：A．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有 ．（填序號）

【答案】①②④
【分析】如圖，由題意得：，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，進而可求出，即可判斷③④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和角的和差求出，即可判斷①；求出，進而可判斷②．
【詳解】解：如圖，由題意得：，
∵，
∴，

∵， ∴，
∴，，故結(jié)論③錯誤；
∵，∴，∴平分，故結(jié)論④正確；
∵，∴，∴，故結(jié)論①正確；
∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的相關(guān)知識和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）實踐與探究
材料：一副直角三角尺，記作：和，其中，，．

(1)操作一：如圖①，將三角尺按如圖方擺放，其中點C、D、A、F在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分別為、，與相交于點O，則的大小為 度．
(2)操作二：保持、不變，將圖①中的三角尺經(jīng)過適當平移旋轉(zhuǎn)，得到的位置如圖②所示，點B在上，點F在上，點A與點E重合，點C與點D重合，且平分，求的度數(shù)．
(3)操作三：如圖③，將圖①位置的三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒，設(shè)運動時間為t秒，當邊與互相平行時，直接寫出t的值．
【答案】(1)105(2)(3)或
【分析】操作一：可得出，從而，進而得出；
操作二：延長，交于G，可得出，，由得出，進而得出；
操作三：當?shù)谝淮螘r，由，得出，從而得出；當?shù)诙螘r，在第一次基礎(chǔ)上，又旋轉(zhuǎn)，進一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，，，
，，
，故答案為：；
（2）解：如圖1，
延長，交于G，平分，，
由題意得：，，
，；
（3）解：如圖2，

，，，
當點A運動到時，， 綜上所述：或．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及其推論，平行線的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．
課后專項訓練
1．（2023春·新疆伊犁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在宗上，則圖中的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，利用對頂角相等得，，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解．
【詳解】解：如圖，

由題意得：，
，，
，
在中，，
，
即．
故選：B．
【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記三角形的內(nèi)角和為．
2．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，其中，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù)，利用平行線的判定結(jié)合已知條件對各個結(jié)論逐一驗證，即可得出答案．
【詳解】解：A、，，故此選項不符合題意；
B、，，，，，故此選項不符合題意；
C、，，，不平行，故此選項符合題意；
D、，，，，故此選項不符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定，三角板中角度的計算，余角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
3．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學?？计谥校┤鐖D是兩塊直角三角板和，其中，，，且點D在邊AB上，點F在邊CB的延長線上，那么不可能等于（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，利用三角形的外角性質(zhì)得到，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
觀察四個選項，選項D符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，掌握“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角”是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，進而可得的和．
【詳解】解：四邊形的內(nèi)角和為，直角三角形中兩個銳角和為
．
故選：C．
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理，本題是一道根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解的綜合題，有利于鍛煉學生綜合運用所學知識的能力．
5．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為C，且保持不變．為了舒適，需調(diào)整大小，使，則應調(diào)整為（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】A
【分析】延長交于H，利用“8”字形求出，利用外角的性質(zhì)得到，由此求出的度數(shù)，進而得到答案．
【詳解】解：延長交于H，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選A．
【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】運用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得．
【詳解】解：∵三角形的內(nèi)角和等于，
∴可得和的鄰補角之和等于，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和等于,解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．
8．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，進而可求出∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．
【詳解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在△DBC中，∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，此題難度不大．
9．（2022·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則 ．

【答案】/250度
【分析】按圖先進行標注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出，，，，再根據(jù)，進行求解即可得出最后結(jié)果．
【詳解】解：如圖，進行標注，

是的一個外角，
，
是的一個外角，
，即，
是的一個外角，
，
，
是的一個外角，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補角的應用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知，平分，平分，求證：
【答案】見解析
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知識點是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知， ．
【答案】/240度
【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．
【詳解】連接，，
∴
又，
∴
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是上的點，點F在的延長線上，，，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，最后代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
由三角形的外角性質(zhì)可得．
∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022春·七年級單元測試）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù)，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．
(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；
（2）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；
（3）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；
【詳解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
14．（2021秋·廣東東莞·八年級校考階段練習）（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______
（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關(guān)系是________________
（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，證明見解析
【分析】（1）先求出∠B+∠A的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得出答案；
（2）先求出∠B+∠C的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得出答案；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得到結(jié)論；
（4）由折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，結(jié)合平角的定義和三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵△ABC為直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．
故選：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．
故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：
如圖：
∵△EFP是由△EFA折疊得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和等于360°以及折疊的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當為 度時，；當為 度時，．
(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．
【答案】(1)，
(2)不變，理由見解析
【分析】（1）如圖，記與的交點為點，與的交點為點，由，可得，再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖，記與的交點為，求解，由角的和差關(guān)系可得答案；
（2）如圖3，設(shè)分別交、于點、，在中，可得，結(jié)合，，從而可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，記與的交點為點，與的交點為點，

，
，
，
，即，
如圖，記與的交點為，

，
，
，
，即，
（2）當，，保持不變，理由如下：
如圖3，設(shè)分別交、于點、，在中，，

，，
，，
．
【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應用，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
16．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）學習完平行線的知識后，甲，乙，丙三位同學利用兩個三角形進行探究活動，分別得到以下圖形．已知中，．請根據(jù)他們的敘述條件完成題目．

(1)若為等腰直角三角形，且；
①甲同學：如圖1，和的直角邊在同一直線上，點E和點C互相重合，斜邊與相交于點P，那么 度；
②乙同學：如圖2，和直角頂點C，D互相重合于點P，斜邊與斜邊互相平行，求的度數(shù)，并寫出解答過程；
(2)若為等腰三角形，已知．
丙同學：如圖3，若直角頂點D恰好與底邊的中點重合，的斜邊經(jīng)過的頂點C，若，設(shè)，請用含x的式子表示的度數(shù)，并寫出解答過程．
【答案】(1)①105；②75°
(2)
【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)進行求解即可；②過點P作，利用平行線的判定和性質(zhì)，進行求解即可；
（2）利用等邊對等角，平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)，進行求解即可．
【詳解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：105；
②∵，
∴，
如圖2，過點P作，

∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
17．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．
(2)①求圖1中的度數(shù)；
②圖2中，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；
（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；
②由三角板可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
故答案為：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．
(1)若，則______，______，______
(2)若，則______．（寫出求解過程）
(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)140，90，50；
(2)35，過程見解析；
(3)，理由見解析．
【分析】（1）在中，由和三角形內(nèi)角和定理求得，在中，由及三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得；
（2）按照（1）的過程即可得到答案；
（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．
【詳解】（1）在中，，
，
在中，，
，
；
故答案為：140，90，50．
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
故答案為：35；
（3）與之間的數(shù)量關(guān)系為：．
理由如下：
在中，．
在中，．
，
．
【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2023春·七年級課時練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，
（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．
【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如圖②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計算方法，適當?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．
20．（2022春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）
(1)【問題背景】如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明；
(2)【簡單應用】如圖2，、分別平分、，若，，求的度數(shù)；
(3)【問題探究】如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，請猜想的度數(shù)，并說明理由；
(4)【拓展延伸】在圖4中，若設(shè)，，，，試問與、之間的數(shù)量關(guān)系為：___．（用、表示，不必說明理由）
【答案】(1)見解析(2)(3)；理由見解析(4)
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解；
（4)同法即可解決問題．
（1）
證明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
∠AOB=∠COD
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）
∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD
∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的結(jié)論得
2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC
∠P=(∠ABC+∠ADC)
∵∠ABC=35°，∠ADC=15°
∠P=25°
（3）
解：如圖3
∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3
∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)
∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC
∠ABC=35°，∠ADC=29°
∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32°
（4）
解:同法可得，∠P=
故答案為：∠P=
【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考常見題型．

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