模型1：高分線模型

條件：AD是高，AE是角平分線 結(jié)論：∠DAE=
例1．（2023·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=40°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
例2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，BG的延長線交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF與AD垂直，交AD于點(diǎn)H，則下面判斷正確的有（ ）
①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD的邊AD上的中線；
③CH是△ACD的邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
例3．（2022秋·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長為（ ）
A．1B．C．2D．4
例4．（2023春·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是的高和角平分線．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，且，請直接寫出與，關(guān)系．
模型2：雙垂直模型
結(jié)論：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級校考月考）如圖，在中，，，的邊上的高與邊上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．
(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)
結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．
例2．（2023·云南玉溪·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求證：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的長．
例3．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．
(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；
條件：______，結(jié)論：______．（填序號）
證明：
(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）

課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023春·云南文山·七年級校聯(lián)考期末）如圖，AE，AD分別是的高和角平分線，，，則的度數(shù)為（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
2．（2023·綿陽市八年級月考）如圖，在中，平分交于點(diǎn)、平分交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊上的高，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則 ．

4．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，若，，則 ．
5．（2023·江蘇八年級校考課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角
求證：∠ACD=∠B
證明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級校考期末）如圖，是直角三角形，，于點(diǎn)D，是的角平分線，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，求證：．請補(bǔ)全下面的證明過程．
證明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵是的角平分線，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代換），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
7．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，求證：．

8．（2023春·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角中，，是斜邊上的高，，求：

（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．
對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性質(zhì)）．
∵（已知），
∴（垂直定義）．
∴______（等量代換）．
9．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，平分．
(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫出，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．
10．（2023·上海閔行·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的兩條高相交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)．
11．（2022秋·山東威海·七年級校聯(lián)考期中）如圖，是的高，E是上一點(diǎn)，交于F，且有，，試說明．

12．（2022春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．

13．如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，，求、的度數(shù).
14．（2022秋·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，為的高，為的角平分線，交于點(diǎn)G，比大，，求的大?。?br>15．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，，于點(diǎn)．

（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）
（2）在（1）的條件下，求證：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
16．（2023春·黑龍江·七年級校考期中）如圖，中，，平分，，．
(1)求的度數(shù)．(2)直接寫出圖中四對相等的銳角，

17．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，是的邊上的中線．
(1)若的周長為13，，，求的長度；
(2)若，的面積為10，，求點(diǎn)到的距離．

18．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，中，在的延長線上取一點(diǎn)，作于點(diǎn)（1）如圖①，若于點(diǎn)，那么是的平分線嗎？若是，請說明理由．請完成下列證明并在下面的括號內(nèi)填注依據(jù)
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定義）
（ ）
（兩直線平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代換）
平分（ ）
（2）如圖②，若中的角平分線相交于點(diǎn)．
①求證：
②隨著的變化，的大小會發(fā)生變化嗎﹖如果有變化，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，請直接寫出的度數(shù)．
專題11 三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型
近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1：高分線模型

條件：AD是高，AE是角平分線 結(jié)論：∠DAE=
例1．（2023·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=40°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù)是多少；然后根據(jù)AE為角平分線，求出∠BAE的度數(shù)是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度數(shù)，即可求出∠EAD的度數(shù)是多少．
【詳解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE為∠BAC角平分線，∴∠EAC=80°÷2=40°，
∵AD為△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度數(shù)是10°，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形高、中線的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確：三角形的內(nèi)角和是180°．
例2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，BG的延長線交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF與AD垂直，交AD于點(diǎn)H，則下面判斷正確的有（ ）
①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD的邊AD上的中線；
③CH是△ACD的邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故此說法錯誤；
②根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故此說法錯誤；
③根據(jù)三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故此說法正確；
④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念，知AH是△ACF的角平分線和高線，故此說法正確．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點(diǎn)和三角形的某條邊相交的交點(diǎn)之間的線段．透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022秋·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長為（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】直接利用三角形面積公式求得，再根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，，即，∴
∵是中線，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積和中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式求得．
例4．（2023春·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是的高和角平分線．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，且，請直接寫出與，關(guān)系．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，從而可得出答案；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形高的定義可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，從而可得出答案．
【詳解】（1）解：，，，
是的平分線，，
是的高，，，，
；
（2）解：，
理由是：，，
是的平分線，，
是的高，，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線定義，三角形的高的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
模型2：雙垂直模型
結(jié)論：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得．
【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，
∵是邊上的高，∴，∴，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．
例2．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級校考月考）如圖，在中，，，的邊上的高與邊上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)面積相等列出比例求解即可．
【詳解】解：∵的邊上的高為，邊上的高為，，，
∴，即：，∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高，根據(jù)面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．
(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面積法，由代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．
模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)
結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·廣東廣州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)，即可求證．
【詳解】證：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．
例2．（2023·云南玉溪·八年級校考期中）如圖所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求證：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的長．
【答案】(1)見解析；(2)．
【分析】（1）由等量代換得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高；
（2）根據(jù)可求得CD的長．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的高線，三角形的面積計(jì)算，關(guān)鍵是利用了面積法求直角三角形斜邊上的高．
例3．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．
【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，
∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．
例4．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；
條件：______，結(jié)論：______．（填序號）
證明：
(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】(1)①②；③；見解答(2)
【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得，由和，得出，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．
【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，
證明：∵是的角平分線，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
條件：①③，結(jié)論：②，
證明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分線；
條件：②③，結(jié)論：①，
證明：∵是的角平分線，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案為：①②；③；
證明：見解答；
（2）∵，∴，
∵是的角平分線，∴，
∵，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023春·云南文山·七年級校聯(lián)考期末）如圖，AE，AD分別是的高和角平分線，，，則的度數(shù)為（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
【答案】B
【分析】由題意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，則有∠BAD=∠CAD=40°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求解．
【詳解】解：∵，，AE⊥BC，∴∠BAC=80°，∠AEB=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，
在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，∴∠BAE=60°，
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的高線及角平分線、三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形的高線及角平分線、三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·綿陽市八年級月考）如圖，在中，平分交于點(diǎn)、平分交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊上的高，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意證明，得出，三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則 ．

【答案】50或25/25或50
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴
∵平分
∴
當(dāng)為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∵，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖2，

∴，
∵，
∴，
綜上，的度數(shù)為或．
故答案為：50或25．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，若，，則 ．
【答案】/40度
【分析】根據(jù)角平分線的定義，得到，求出的度數(shù)，再利用垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·江蘇八年級?？颊n時(shí)練習(xí)）已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角
求證：∠ACD=∠B
證明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
【答案】垂直的意義；同角的余角相等．
【分析】先根據(jù)垂直的意義可得，從而可得是的余角，再根據(jù)同角的余角相等即可得證．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（垂直的意義），
∴是的余角，
∵是的余角（已知），
∴（同角的余角相等），
故答案為：垂直的意義；同角的余角相等．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的意義、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解題關(guān)鍵．
6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谀┤鐖D，是直角三角形，，于點(diǎn)D，是的角平分線，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，求證：．請補(bǔ)全下面的證明過程．
證明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵是的角平分線，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代換），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
【答案】垂直定義，，角平分線定義，等角的余角相等，對頂角相等，，兩直線平行，同位角相等，等量代換．
【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，垂直的定義，對頂角相等，角的平分線的意義，兩直線平行，同位角相等，等量代換，余角的性質(zhì)，填寫即可．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（垂直定義），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形兩銳角互余），
∵是的角平分線，，
∴（角平分線定義），
∴（等角的余角相等），
∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∵（已知），
∴（兩直線平行，同位角相等），
∴（等量代換）．
故答案為：垂直定義，，角平分線定義，等角的余角相等，對頂角相等，，兩直線平行，同位角相等，等量代換．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，垂直的定義，對頂角相等，角的平分線的意義，兩直線平行，同位角相等，等量代換，余角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，求證：．

【答案】見解析
【分析】平分可得，再結(jié)合可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合可得，最后根據(jù)等角對等邊即可解答．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵。
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以、三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023春·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角中，，是斜邊上的高，，求：

（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．
對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性質(zhì)）．
∵（已知），
∴（垂直定義）．
∴______（等量代換）．
【答案】三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；等量代換； 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；
【分析】根據(jù)三角形的外角定理、等量代換、等式的性質(zhì)、垂直定義等進(jìn)行填空即可．
【詳解】（1）∵，（已知），
又∵（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和），
∴（等量代換）．
（2）∵（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和），
∴（等式的性質(zhì)）．
∵（已知），
∴（垂直定義）．
∴（等量代換）．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角定理、等量代換、等式的性質(zhì)、垂直定義等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練相等的性質(zhì)和定理．
9．（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，平分．
(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫出，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由平分，即可求解；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，即可求解；
（3）根據(jù)，，三個(gè)角的度數(shù)，即可求解．
【詳解】（1）解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·上海閔行·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的兩條高相交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形高線的定義及可知，再利用直角三角形的性質(zhì)得到，最后利用三角形的內(nèi)角和即可解答．
【詳解】解：∵的兩條高相交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·山東威海·七年級校聯(lián)考期中）如圖，是的高，E是上一點(diǎn)，交于F，且有，，試說明．

【答案】見解析
【分析】由是的高得到，再根據(jù)可判斷，則，由于，可得到，所以，于是得到．
【詳解】證明：∵是的高，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，在中，已知于D，于E，，，求的大?。?br>
【答案】
【分析】利用垂線的定義，可得出，再求出的度數(shù)，在中，結(jié)合，可得出的度數(shù)，再根據(jù)平角定義即可得答案．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線以及鄰補(bǔ)角，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．
13．如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，，求、的度數(shù).
【答案】，
【分析】因?yàn)锳D是高，所以∠ADC＝90°，又因?yàn)椤螩＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求；因?yàn)椤螧AC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分線，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．
【詳解】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°?90°?70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分線∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°?∠BAO?∠ABO＝180°?25°?30°＝125°．
【點(diǎn)睛】本題考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．
14．（2022秋·廣東東莞·八年級校考期中）如圖，在中，為的高，為的角平分線，交于點(diǎn)G，比大，，求的大?。?br>【答案】
【分析】根據(jù)為的高，得出，得出，根據(jù)，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)為的角平分線，得出，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出答案即可．
【詳解】解：∵為的高，
∴，
，
∵比大，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的角平分線，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出．
15．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，，于點(diǎn)．

（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）
（2）在（1）的條件下，求證：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【答案】（1）見解析；（2）；；；；
【分析】（1）根據(jù)題意，作的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
（2）根據(jù)角平分線的定義，可得，根據(jù)等角的余角相等證明，即可得證．
【詳解】（1）如圖所示，

（2）
又
平分
．
故答案為：；；；；．
【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，等角的余角相等，對頂角相等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
16．（2023春·黑龍江·七年級?？计谥校┤鐖D，中，，平分，，．
(1)求的度數(shù)．(2)直接寫出圖中四對相等的銳角，

【答案】(1)15°(2)，，，
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)角平分線的定義可得；根據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義即可得到答案.
【詳解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
17．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，是的邊上的中線．

(1)若的周長為13，，，求的長度；
(2)若，的面積為10，，求點(diǎn)到的距離．
【答案】(1)3(2)4
【分析】（1）首先根據(jù)中線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)的周長為13，即可求出的長；
（2）首先根據(jù)三角形的面積公式求出的長度，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求解．
【詳解】（1）∵是的邊上的中線，
∴，
又∵的周長為13，，，
∴；
（2）∵，的面積為10，，
∴，
∵是的角平分線，
∴點(diǎn)到的距離．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的定義和角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和靈活運(yùn)用知識點(diǎn)．
18．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，中，在的延長線上取一點(diǎn)，作于點(diǎn)（1）如圖①，若于點(diǎn)，那么是的平分線嗎？若是，請說明理由．請完成下列證明并在下面的括號內(nèi)填注依據(jù)
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定義）
（ ）
（兩直線平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代換）
平分（ ）
（2）如圖②，若中的角平分線相交于點(diǎn)．
①求證：
②隨著的變化，的大小會發(fā)生變化嗎﹖如果有變化，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，請直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）同位角相等，兩直線平行；3，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線的定義；（2）①見詳解；②．
【分析】（1）根據(jù)題意及平行線的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；
（2）①由題意易得∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，則有∠C=∠EFA，然后問題可求證；②連接CH并延長，由題意易得，然后由三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
（已知）
（垂直定義）
（同位角相等，兩直線平行）
（兩直線平行，同位角相等）
∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
（已知）
（等量代換）
平分（角平分線的定義）
故答案為同位角相等，兩直線平行；3，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線的定義；
（2）①證明：∵，
∴，
∴∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，
∴∠C=∠EFA，
∵，
∴；
②，理由如下：
連接CH并延長，如圖所示：
∵的角平分線相交于點(diǎn)，
∴，
由三角形外角的性質(zhì)可得，
∵∠FEA+∠EFA=∠BFG+∠FBG=90°，∠EFA=∠BFG，
∴∠FEA=∠FBG，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．

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