1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點G；結(jié)論：．

圖1 圖2 圖3
2）兩外角平分線的夾角模型
條件：如圖2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．
3）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型
條件：如圖3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：．

圖4 圖5 圖6
4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：
5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：
6）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型（累計平分線）
條件：如圖6，，的平分線相交于點，的平分線相交于點，，的平分線相交于點……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
條件：如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點D；結(jié)論：AD平分∠CAD
例1．（2023·綿陽市八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，平分，平分，則 .
例2．（2023·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點P，則（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·山西太原·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，是內(nèi)一點，連接，．
(1)猜想：與、、存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若，、分別是、的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得的度數(shù)為 ．
例4．（2023秋·成都市·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點E，則 ．
例5．（2023·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點，若，，求的度數(shù).
例6．（2023春·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)
例7．（2023春·山東泰安·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，與的平分線交于點，得；與的平分線相交于點，得；；與的平分線相交于點，得，則 ．
例8．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．
(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝ ；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝ ；這兩個圖中，與∠A度數(shù)的比是 ；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由．
例9．（2023·重慶·七年級專題練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.
探究1：如圖1，在△ABC 中，O 是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC、∠ACB 的角平分線
∴，
∴
∴
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A 有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（2）探究3： 如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則與有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（4）運用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=_____度．
課后專項訓(xùn)練
1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，平分，點是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：

①以點為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；
②分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作射線，交于點．若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇·八年級月考）中，點是內(nèi)一點，且點到三邊的距離相等；，則
A．B．C．D．
3．（2023·成都·八年級月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點，若，則
A．B．C．D．
4．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）已知，如圖，中，，，點D、E分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（ ）

A．45°B．48°C．60°D．66°
5．（2023秋·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點E在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點D，連接，下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2022春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點，若，則等于（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·北京海淀·七年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，點C在BA的延長線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
8．（2023·江蘇·八年級月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角平分線交于點，若，則的度數(shù)是 ．
9．（2023春·河北·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝
10．（2022秋·浙江八年級課時練習(xí)）（2018育才單元考） 如圖，在△ABC中，和的角平分線交于點，得，和的角平分線交于點，得，……，和的角平分線交于點，得
（1）若，則 ， ，
（2）若，則 ．
11．（2023·浙江杭州·八年級期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點，則 ．（用含字母的代數(shù)式表示）
12．（2023春·河南·七年級專題練習(xí)）如圖，點M是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）在中，，．點M在的延長線上，的平分線交于點D．的平分線與射線交于點E．
(1)依題意補全圖形；用尺規(guī)作圖法作的平分線；(2)求的度數(shù)．

14．（2023·山東八年級期中）如圖，在中，角平分線、、相交于點，過點作于點，成立嗎？說明理由.
15．（2023·黑龍江八年級課時練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？
16．（2023春·八年級單元測試）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB= ．
17．（2023·福建泉州·七年級階段練習(xí)）在中，已知.
（1）如圖1，的平分線相交于點．①當(dāng)時，度數(shù)= 度（直接寫出結(jié)果）；
②的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若的平分線與角平分線交于點,求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）的條件下，將以直線BC為對稱軸翻折得到，的角平分線與的角平分線交于點（如圖3），求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
18．（2023·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）如圖，△ABC的角平分線相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度數(shù)
（3）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分線相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度數(shù)
19．（2023·江西上饒·八年級校考階段練習(xí)）(1)探究1:如圖1,P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點,若∠A=70°，則∠BPC=_______度；
(2)探究2:如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．
(3)拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點，設(shè)∠A+∠D=α.,直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；
20．（2023·甘肅天水·七年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點O，
（1）如圖1，點O是△ABC的兩個內(nèi)角平分線的交點，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）請直接寫出結(jié)果．
如圖2，若，△ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點O，則∠O＝________；
如圖3，若，△ABC的兩個外角平分線交于點O，則∠O＝_________．
專題08.三角形中的特殊模型-雙角平分線模型
模型1、雙角平分線模型
1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點G；結(jié)論：．

圖1 圖2 圖3
2）兩外角平分線的夾角模型
條件：如圖2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．
3）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型
條件：如圖3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：．

圖4 圖5 圖6
4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：
5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：
6）一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型（累計平分線）
條件：如圖6，，的平分線相交于點，的平分線相交于點，，的平分線相交于點……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
條件：如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點D；結(jié)論：AD平分∠CAD
例1．（2023·綿陽市八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，平分，平分，則 .
【答案】
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，∴.
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
例2．（2023·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點P，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．
【詳解】解：在四邊形中，，∴，
由題意可得：平分，平分，∴，，
∴，∴故選：C．
【點睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．
例3．（2023秋·山西太原·八年級校考期末）已知：如圖，是內(nèi)一點，連接，．
(1)猜想：與、、存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若，、分別是、的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得的度數(shù)為 ．
【答案】(1)，證明見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，再結(jié)合，即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角三等分線的定義得到，，，再代入（1）中結(jié)論求解即可．
【詳解】（1）解：猜想：，
證明：由題意得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，、分別是、的三等分線，
∴，，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為度是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023秋·成都市·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點E，則 ．
【答案】61°
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．
【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．
例5．（2023·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點，若，，求的度數(shù).
【答案】
【分析】運用角平分線的知識列出等式求解即可．解答過程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系．
【詳解】解：∠B、∠C的外角平分線相交于點G，
在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識．此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系簡化計算得出．
例6．（2023春·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)
【答案】40°
【分析】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問題即可．
【詳解】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，
則有 ，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．
【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．
例7．（2023春·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，與的平分線交于點，得；與的平分線相交于點，得；；與的平分線相交于點，得，則 ．
【答案】
【分析】結(jié)合題意，根據(jù)角平分線、三角形外角、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，得，同理得；再根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，，與的平分線交于點∴
∵∴
∵ ∴同理，得；
；；…
∴故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形和數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角、角平分線、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．
例8．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．
(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝ ；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝ ；這兩個圖中，與∠A度數(shù)的比是 ；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和用和表示出，再根據(jù)角平分線的定義得到，，然后整理即可．
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和用和表示出，再根據(jù)角平分線的定義得到，，然后整理即可．
【詳解】（1）解：如圖2，是等邊三角形，，，
平分，平分．，，
，；
如圖3，是等腰三角形，，，，
平分，平分．，，
，；故答案為，，；
（2）解：成立，如圖1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義解答是關(guān)鍵．
例9．（2023·重慶·七年級專題練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.
探究1：如圖1，在△ABC 中，O 是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC、∠ACB 的角平分線
∴，
∴
∴
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A 有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（2）探究3： 如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則與有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（4）運用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=_____度．
【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及三角形外角的性質(zhì)求解即可；
（3）由角平分線的性質(zhì)、四 邊形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角和定理即可求得兩者的關(guān)系；
（4）由角平分線的性質(zhì)、五邊形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線
∵∠ACD是△ABC的一個外角
∵∠2是△BOC的一個外角
（2）探究3結(jié)論：∠BOC=90°－
∵BO和CO分別是∠DBC和∠ECB的角平分線
∴
∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A
兩式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A
即∴整理得：∠BOC=90°－
（3）拓展結(jié)論：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠BCD的角平分線∴
∴∠OBC+∠OCB
在△BOC中，
∴∴
（4）運用：∵CP和DP分別是∠DCF和∠GDC的角平分線∴
∴∴
∵∴
在△CPD中，故答案為：95
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，難度不大，掌握角平分線的性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和定理是關(guān)鍵．
課后專項訓(xùn)練
1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，平分，點是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：

①以點為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；
②分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作射線，交于點．若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件可知平分，則可求出，根據(jù)平分求出，進而利用即可求出答案．
【詳解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故選B．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義及作法，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇·八年級月考）中，點是內(nèi)一點，且點到三邊的距離相等；，則
A．B．C．D．
【解答】解：到三角形三邊距離相等，是內(nèi)心，
即三條角平分線交點，，，都是角平分線，
，，
，，
．故選：．
3．（2023·成都·八年級月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點，若，則
A．B．C．D．
【解答】解：延長，作，，，設(shè)，
平分，，，
平分，，，，
，，
，，
在和中，，，．故選：．
4．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）已知，如圖，中，，，點D、E分別在、延長線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（ ）

A．45°B．48°C．60°D．66°
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得，，進而得出，從而判定平分，再利用外角的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：作于點F，于點H，于點G，

∵平分，平分，∴，，∴，
∵，，∴平分，
∵，，∴，
∴．故選：D．
【點睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知添加適當(dāng)?shù)妮o助線．
5．（2023秋·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點E在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點D，連接，下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出，即可判斷A選項；根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用對頂角，即可判斷B選項；根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即可判斷C選項；利用角平分線的性質(zhì)，推出為的外角平分線，然后列式計算求出，即可判斷D選項．
【詳解】解：，，
，故A選項正確，不符合題意；
平分，，
在中，，
，故B選項錯誤，符合題意；
平分，，
在中，，故C選項正確，不符合題意；
、分別是和的平分線，到、、的距離相等，
是的外角平分線，，
故D選項正確，不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題關(guān)鍵．
6．（2022春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點，若，則等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長BE交DC的延長線于G，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根據(jù)的平分線與的平分線的反向延長線交于點可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECG=100°，進而可求解．
【詳解】解：延長BE交DC延長線于點G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分線與∠BEC的平分線的反向延長線交于點F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故選：B
【點睛】本題主要考查有關(guān)角平分線的計算，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春·北京海淀·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，點C在BA的延長線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠D的度數(shù)．
【詳解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，熟練運用三角形內(nèi)角和定理解決問題是關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇·八年級月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角平分線交于點，若，則的度數(shù)是 ．
【解答】解：在中，，在中，，
、分別是和的平分線，，，
，
，，，即．故答案為：．
9．（2023春·河北·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝
【答案】40°
【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計算是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·浙江八年級課時練習(xí)）（2018育才單元考） 如圖，在△ABC中，和的角平分線交于點，得，和的角平分線交于點，得，……，和的角平分線交于點，得
（1）若，則 ， ，
（2）若，則 ．
【答案】 40° 20° 10°
【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，進而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，進而可求∠A2和∠A3；
（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，進而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此類推可知∠A2015即可求得．
【詳解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分線交于點，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°
同理可證：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10° 故答案為：40°；20°；10°．
（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分線交于點， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°
同理可證：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案為：°．
【點睛】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出∠A1=∠A，并依此找出規(guī)律．
11．（2023·浙江杭州·八年級期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點，則 ．（用含字母的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理求出∠P的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵∠A+∠D=m°，且四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，
∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠PBC=，∠BCP=，
∴∠PBC+∠BCP=
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案為：．
【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和及三角形的內(nèi)角和與角平分線相關(guān)的角度計算問題，解題的關(guān)鍵是表達出∠PBC+∠BCP的度數(shù)．
12．（2023春·河南·七年級專題練習(xí)）如圖，點M是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
【答案】36°
【分析】由角平分線的定義得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的關(guān)系可求得∠CMB=108°，再由內(nèi)角平分線及三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．
【詳解】由題意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線的定義等知識，由條件得到∠NCM=∠MBN=90°是關(guān)鍵．
13．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）在中，，．點M在的延長線上，的平分線交于點D．的平分線與射線交于點E．

(1)依題意補全圖形；用尺規(guī)作圖法作的平分線；(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖法可作的平分線；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：∵，，∴，
∵是的平分線，∴，
∵，是的平分線，
∴，∴．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圖?角平分線、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東八年級期中）如圖，在中，角平分線、、相交于點，過點作于點，成立嗎？說明理由.
【答案】 成立，見解析.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的交角的基本圖形和結(jié)論和三角形外角的性質(zhì)定理即可得出答案
【詳解】解：成立．
理由如下：∵在中，角平分線AD、BE、CF相交于點O，
由三角形內(nèi)角平分線的交角的基本圖形和結(jié)論得，．
由三角形的外角性質(zhì)得，，
，
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，及三角形的角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題關(guān)鍵．
15．（2023·黑龍江八年級課時練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？
【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由見解析；(2)∠BOC=∠A；理由見解析
【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出結(jié)論；(2)根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根據(jù)∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．
【詳解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵ BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+∠A．
(2)∠BOC=∠A．
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵ BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握外角性質(zhì)并能正確計算是解題關(guān)鍵．
16．（2023春·八年級單元測試）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分線的定義得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2））根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠E=90°-α；
（3）根據(jù)角平分線的定義可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；
（3）如圖，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．故答案為：β．
【點睛】本題主要考查三角形的角平分線，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
71．（2023·福建泉州·七年級階段練習(xí)）在中，已知.
（1）如圖1，的平分線相交于點．①當(dāng)時，度數(shù)= 度（直接寫出結(jié)果）；
②的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若的平分線與角平分線交于點,求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）的條件下，將以直線BC為對稱軸翻折得到，的角平分線與的角平分線交于點（如圖3），求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）①；②；(2) （3）
【詳解】：（1）①；②；
（2）∵和分別平分和∴,
∴ 即
（3）由軸對稱性質(zhì)知：
由（1）②可得 ∴．
18．（2023·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）如圖，△ABC的角平分線相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度數(shù)
（3）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分線相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度數(shù)
【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此結(jié)果形式可以不同，只要正確皆可）
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)解答即可；
（2）（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)解答即可．
試題解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分線，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°．
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分線，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m．
（3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ．
點睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和等于180°．根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算是解決問題的關(guān)鍵．
19．（2023·江西上饒·八年級?？茧A段練習(xí)）(1)探究1:如圖1,P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點,若∠A=70°，則∠BPC=_______度；
(2)探究2:如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．
(3)拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點，設(shè)∠A+∠D=α.,直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；
【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由見解析；（3）∠BPC =180°﹣
【分析】（1）借助角平分線的性質(zhì)即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中進一步分析可找出∠BPC與∠A的關(guān)系，進而求出∠BPC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根據(jù)角平分線的定義可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC與∠A的關(guān)系；
（3）延長BA、CD相交于點Q，由（2）的分析可直接得出∠P與∠Q的關(guān)系，而∠BAD與∠CDA是△ADQ的外角，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可解答.
【詳解】（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+35°=125° 故答案為125°
（2）∠BPC=90°﹣∠A
理由如下：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°﹣（∠A+180°）=90°﹣∠A
（3）延長BA、CD相交于點Q，如圖
∠BPC=90°﹣∠Q∴∠Q=180°﹣2∠BPC
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC
∴∠BPC =180°﹣ 故答案為∠BPC =180°﹣
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和與外角的知識，掌握三角形外角性質(zhì)以及內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.
20．（2023·甘肅天水·七年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點O，
（1）如圖1，點O是△ABC的兩個內(nèi)角平分線的交點，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）請直接寫出結(jié)果．
如圖2，若，△ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點O，則∠O＝________；
如圖3，若，△ABC的兩個外角平分線交于點O，則∠O＝_________．
【答案】（1），證明見解析；（2）；．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個內(nèi)角的和是，對角度進行等價代換即可；
（2）圖2中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到和，最后對角度進行等價代換即可；圖3中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個內(nèi)角的和是，最后再結(jié)合平角的性質(zhì)對角度進行等價代換即可．
【詳解】解：（1）．
證明：∵平分，平分，
∴，，∴
．即．
（2）；．如圖2所示：
∵平分，平分，∴，，
∴．
∵∴．即．
如圖3所示：∵平分，平分，∴，，
∴
．
∵∴．即．故答案為：；．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵，特別注意等價代換的使用．

相關(guān)試卷

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題04雙角平分線模型與角n等分線模型(原卷版+解析)：

這是一份人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題04雙角平分線模型與角n等分線模型(原卷版+解析)，共43頁。試卷主要包含了?雙角平分線模型等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙(三)垂直模型(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙(三)垂直模型(原卷版+解析)，共37頁。試卷主要包含了已知，如圖所示，在中，，平分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題10三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題10三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(原卷版+解析)，共21頁。試卷主要包含了“8”字模型，“A”字模型，三角板模型等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題07三角形中的特殊模型-平分平行(射影)構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型(原卷版+解析)

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題07三角形中的特殊模型-平分平行(射影)構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型(原卷版+解析)
2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練 模型10 三角形——雙角平分線模型-原卷版+解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練 模型10 三角形——雙角平分線模型-原卷版+解析
中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí) 模型10 三角形——雙角平分線模型-（原卷版+解析）

中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí) 模型10 三角形——雙角平分線模型-（原卷版+解析）
專題06 老鷹抓小雞模型與雙角平分線模型（三角形）（解析版）

專題06 老鷹抓小雞模型與雙角平分線模型（三角形）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部