模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值
【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小 。

圖1 圖2
（1）如圖1，點A、B在直線m兩側(cè)：
輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.
（2）如圖2，點A、B在直線同側(cè)：
輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’ ，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.
例1．（2022·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 _____．
例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．
例3．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．
例4．（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？

模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值
【模型探究】已知定點A位于定直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.

輔助線：過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’ 、A’’ ，連接A’A’’ 交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.
例1．（2022·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
例2．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．
例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
例4．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，，點為內(nèi)一點，，點分別在上，求周長的最小值．
模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值
【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）如圖1，兩個點都在直線外側(cè)：
輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.
（2）如圖2，一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：
輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.

圖1 圖2
（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：
輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’ 、B’ ，連接A’B’ 交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.
（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：
輔助線：同圖3輔助線作法。

圖3 圖4
例1．（2022·和平區(qū)·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當?shù)闹底钚r，的大小=___．
例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
模型4、將軍飲馬--線段差的最大值
【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。
（1）如圖1，點A、B在直線m同側(cè)：
輔助線：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。
（2）如圖2，點A、B在直線m異側(cè)：
輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
圖1 圖2
例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．
例2．（2022·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．
例3．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則 ________ ．
課后專項訓(xùn)練
1．（2022·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肅白銀·七年級期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（ ）
A．7B．6C．12D．8
3．（2022·江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
4（2022?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
5．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（2023云南八年級期末）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
8.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（2022·河南·安陽市八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．（2022·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點P是它內(nèi)部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
12．（2022·福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 _____．
13．（2022·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．
14．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．
15.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．
16．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為 ___．
17．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．
18．（2022·湖北·八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則 ________ ．
19．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．
20．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．
21．（2023·山東青島市·八年級期末）如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點和動點同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為，，和交于點．
（1）在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；
（3）若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．
專題12 將軍飲馬模型
將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。
模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值
【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小 。

圖1 圖2
（1）如圖1，點A、B在直線m兩側(cè)：
輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.
（2）如圖2，點A、B在直線同側(cè)：
輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’ ，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.
例1．（2022·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，進而求得∠CDP＝15°，據(jù)軸對稱性可得∠CBP的度數(shù)．
【詳解】如圖，作點B關(guān)于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，
∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，
∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．
【答案】6
【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接BE，與AD交于點M．
∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，
則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點，AD是中線
∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點的位置．
例3．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．
【答案】10
【分析】連接CA1交BC1于點E，C、A1關(guān)于直線BC1對稱，推出當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10．
【詳解】解：連接CA1交BC1于點E，過點B作直線l⊥AB，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，∴是等邊三角形，AB=A1B=5
∵A、B、三點在一條直線上，∴ △ABC與△A1BC1關(guān)于直線l對稱，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1關(guān)于直線BC1對稱，
∴當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10，故答案為：10．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會找對稱點，形成兩點之間的線段來解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
例4．（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？

【答案】∠ECF＝30o
【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.
模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值
【模型探究】已知定點A位于定直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.

輔助線：過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’ 、A’’ ，連接A’A’’ 交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.
例1．（2022·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進而可求出α的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．
此時，△PEF的周長最?。B接OC，OD，PE，PF．
∵點P與點C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．
【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．
例2．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．
【答案】160°
【分析】要使周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，即可得到，進而求得，即可得到答案．
【詳解】作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，連接，交BC于M，交CD于N，
則即為周長最小值
，
故答案為：160°．
【點睛】本題考查的是軸對稱—最短路線問題，涉及平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
【答案】C
【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對稱點M，作D關(guān)于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對稱點M，作D關(guān)于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
例4．（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，，點為內(nèi)一點，，點分別在上，求周長的最小值．
【答案】周長的最小值為8
【分析】作P關(guān)于OA、OB的對稱點，連結(jié)、，即可快速找到解題思路.
【詳解】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對稱點，連結(jié)、，交OA、OB于M、N，此時周長最小，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長的最小值為8.
【點睛】本題應(yīng)用知識比較隱晦，分別考查了軸對稱圖形和等邊三角形，需要認真分析，充分聯(lián)系所學(xué)知識，方可正確解答.
模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值
【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）如圖1，兩個點都在直線外側(cè)：
輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.
（2）如圖2，一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：
輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.

圖1 圖2
（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：
輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’ 、B’ ，連接A’B’ 交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.
（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：
輔助線：同圖3輔助線作法。

圖3 圖4
例1．（2022·和平區(qū)·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當?shù)闹底钚r，的大小=___（度）．
【答案】50
【分析】作M關(guān)于OB的對稱點，N關(guān)于OA的對稱點，連接，交OB于點P，交OA于點Q，連接MP，QN，可知此時最小，此時，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】作M關(guān)于OB的對稱點，N關(guān)于OA的對稱點，連接，交OB于點P，交OA于點Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知此時最小，即，
∴，
∵，∴，
∵，，∴ ，
∴ ．故答案為：50．
【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識，靈活運用所學(xué)知識解決問題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強．
例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對稱的性質(zhì)分別求得和即可求得．
【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ
∵HC與GB關(guān)于y軸對稱， ∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關(guān)于y軸對稱，
∴當、，P、Q在同一條直線上時，最小，此時軸，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，
∵軸，B、關(guān)于AG對稱，∴,，
∴△BPG為等邊三角形，過作PM⊥GO交x軸與M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，
∴，同理可得,即．故選：B．
【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，坐標與圖形變化．能借助軸對稱的性質(zhì)正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關(guān)鍵．
例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）4．
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．
【詳解】證明：（1）在中，，，
點是斜邊的中點，，是等邊三角形；
（2）如圖，連接，
和都是等邊三角形，，，
，垂直平分，，
同理可得：垂直平分，，，
由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，
故的最小值為4．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
模型4、將軍飲馬--線段差的最大值
【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。
（1）如圖1，點A、B在直線m同側(cè)：
輔助線：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。
（2）如圖2，點A、B在直線m異側(cè)：
輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
圖1 圖2
例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．
【答案】3
【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．
【詳解】解：連接PC，
∵在等邊中，，P是的中線上的動點，
∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，
∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．
【答案】5
【分析】作點關(guān)于射線的對稱點，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．
【詳解】解：如圖，作點關(guān)于射線的對稱點，連接、，B'P．
則，，，．
∵ ，∴，∴ 是等邊三角形，∴，
在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．
∴的最大值是5．故答案為：5．
【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則 ________ ．
【答案】123°
【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角的意義，求出結(jié)果．
【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形是解決問題的關(guān)鍵．
課后專項訓(xùn)練
1．（2022·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作N關(guān)于BD的對稱點，根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即為C點到AB的垂線段，因此根據(jù)面積公式可以得解．
【詳解】解：如圖，作N關(guān)于BD的對稱點，連結(jié)N，與BD交于點O，過C作CE⊥AB于E，則
∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，
∴根據(jù)兩點之間線段最短可得CM+MN 的最小值為，即C點到線段AB某點的連線，
∴根據(jù)垂線段最短，CM+MN 的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度，
∵△ABC 的面積為 10 ，∴，∴CE=5，故選B．
【點睛】本題考查軸反射的綜合運用，熟練掌握軸反射的特征、兩點之間線段最短及垂線段最短等性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·甘肅白銀·七年級期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（ ）
A．7B．6C．12D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周長最?。?br>【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，設(shè)AC交EF于D，
∴當P和D重合時，即A、P、C三點共線時，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
3．（2022·江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】由條件可得點A是點C冠以ED的對稱點，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點P運動的過程中，P與E重合時有最小值．
【詳解】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，
∵P運動的過程中，P與E重合時有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．故選：A
【點睛】本題主要考查動點最短路徑問題，結(jié)合對稱，尋找對稱點，判斷最值狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．
4（2022?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．
【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進而可求出α的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．
此時，△PEF的周長最小．連接OC，OD，PE，PF．
∵點P與點C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．
【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．
6．（2023云南八年級期末）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】先連接CE，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點之間線段最短，求得CF的長，即為FE+EB的最小值．
【詳解】解：如圖，連接CE，
∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴當C、F、E三點共線時，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值為6．故選：B
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，熟練掌握和運用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．
7．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線，根據(jù)面積關(guān)系即可求得的長，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點和點關(guān)于直線EF對稱，所以當與重合時，的值最小，根據(jù)和的長度即可求得周長的最小值．
【詳解】如圖
∵的面積為12，∴，，解得，，
∵直線EF垂直平分BC交AB于點E，∴點和點關(guān)于直線EF對稱，
∴當與重合時，的值最小，最小值等于的長，
∴周長的最小值是，故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準確找出點的位置．
8.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．
【答案】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值為4．故選：B．
【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2022·河南·安陽市八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當A、P、D在同一直線上時，最?。俑鶕?jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出，由此即可判斷．
【詳解】如圖，連接AP，
∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．
∵,∴．
由圖可知CD為定值，當A、P、D在同一直線上時，最小，即為的長，∴此時最?。?br>∵D是邊BC的中點，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．
∵，即，∴．故選C．
【點睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)．根據(jù)題意理解當A、P、D在同一直線上時最小是解題關(guān)鍵．
10．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】作D點分別關(guān)于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，利用軸對稱的性質(zhì)得AG=AD=AH=2，利用兩點之間線段最短判斷此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等邊三角形，進而可得∠FAB的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，作D點分別關(guān)于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，
此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，
∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題：熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題．
11．（2022·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點P是它內(nèi)部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
【答案】2
【分析】先作點P關(guān)于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質(zhì),可證∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, ∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,繼而可得△OP′P″是等邊三角形,即PP′=OP′=2．
【解析】作點P關(guān)于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,
由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,
△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質(zhì),∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等邊三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案為:2.
【點睛】本題主要考查軸對稱和等邊三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱性質(zhì)和等邊三角形的判定.
12．（2022·福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結(jié)AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，進而求得∠CDP＝15°，據(jù)軸對稱性可得∠CBP的度數(shù)．
【詳解】如圖，作點B關(guān)于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，
∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵點B與點D是關(guān)于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，
∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．
【答案】5
【分析】作點關(guān)于射線的對稱點，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．
【詳解】解：如圖，
作點關(guān)于射線的對稱點，連接、，B'P．
則，，，．
∵ ，∴，∴ 是等邊三角形，∴，
在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．
∴的最大值是5．故答案為：5．
【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．
【答案】3
【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．
【詳解】解：連接PC，
∵在等邊中，，P是的中線上的動點，
∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，
∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．
15.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】在上取點，使，連接，過點作，垂足為．利用角的對稱性，可知，則EC＋EF的最小值即為點C到AB的垂線段CH的長度，進而即可求解．
【詳解】解：如圖，在上取點，使，連接，過點作，垂足為．
平分，根據(jù)對稱可知．
，．，
當點、、共線，且點與點重合時，的值最小，最小值為CH=，故答案為．
【點睛】本題考查了軸對稱-線段和最小值問題，添加輔助線，把兩條線段的和的最小值化為點到直線的距離問題，是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為 ___．
【答案】6
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點A、P、D共線時取等號），
∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對稱最短距離問題，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．
17．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．
【答案】20．
【分析】根據(jù)由沿AD對稱,得到，進而表示出，最后求周長即可．
【詳解】由沿AD對稱得到，則E與C關(guān)于直線AD對稱，
，∴，如圖,連接，
由題意得，∴，
當P在BC邊上，即D點時取得最小值12，
∴周長為，最小值為．故答案為:20．
【點睛】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022·湖北·八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則 ________ ．
【答案】123°
【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角的意義，求出結(jié)果．
【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形是解決問題的關(guān)鍵．
19．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．
【答案】160°
【分析】要使周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，即可得到，進而求得，即可得到答案．
【詳解】作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，連接，交BC于M，交CD于N，
則即為周長最小值
，
故答案為：160°．
【點睛】本題考查的是軸對稱—最短路線問題，涉及平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．
【答案】10
【分析】連接CA1交BC1于點E，C、A1關(guān)于直線BC1對稱，推出當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10．
【詳解】解：連接CA1交BC1于點E，過點B作直線l⊥AB，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，∴是等邊三角形，AB=A1B=5
∵A、B、三點在一條直線上，∴ △ABC與△A1BC1關(guān)于直線l對稱，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1關(guān)于直線BC1對稱，
∴當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10，故答案為：10．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會找對稱點，形成兩點之間的線段來解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
21．（2023·山東青島市·八年級期末）如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點和動點同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為，，和交于點．
（1）在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；
（3）若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．
【答案】（1）CD與BE始終相等；（2）5；（3）7
【分析】（1）證明△ADC≌△CEB（SAS）即可；（2）根據(jù)DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D點關(guān)于BM的對稱點D'交BC于點D'，連接D'E，交BM于點P，則DP+PE=D'E，證明△CD′E為等邊三角形，即可求D'E的值．
【詳解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD與BE始終相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；

（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D點關(guān)于BM的對稱點D'交BC于點D'，連接D'E，交BM于點P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E為等邊三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值為7．
【點睛】本題考查動點及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對稱性確定線段DP+PE=D'E，再由等邊三角形的性質(zhì)求解D'E的長是解題的關(guān)鍵．

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