模型1、“飛鏢”模型(“燕尾”模型)

圖1 圖2
條件:如圖1,凹四邊形ABCD; 結(jié)論:①;②。
條件:如圖2,線段BO平分∠ABC,線段OD平分∠ADC; 結(jié)論:∠O=(∠A+∠C)。
飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法:
例1.(2023·重慶·八年級專題練習)請閱讀下列材料,并完成相應的任務:
有趣的“飛鏢圖”
如圖,這種形似飛鏢的四邊形,可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn),它實際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢?又將怎樣應用呢?下面我們進行認識與探究:凹四邊形通俗地說,就是一個角“凹”進去的四邊形,其性質(zhì)有:凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.
(即如圖 1,∠ADB=∠A+∠B+∠C )理由如下:
方法一:如圖 2,連接 AB,則在△ABC 中,∠C+∠CAB+∠CBA=180°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°,又∵在△ABD 中,∠1+∠2+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠3+∠4+∠C, 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C.
方法二:如圖 3,連接 CD 并延長至 F,∵∠1 和∠3 分別是△ACD 和△BCD 的一個外角,. . . . . .
大家在探究的過程中,還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論,你有自己的方法嗎?
任務:(1)填空:“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是 ;
(2)探索:根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式,寫出該證明過程的剩余部分;
(3)應用:如圖 4,AE 是∠CAD 的平分線,BF 是∠CBD 的平分線,AE 與 BF 交于 G, 若∠ADB=150°,∠AGB=110°,請你直接寫出∠C 的大?。?br>例2.(2023·成都市·七年級專題練習)如圖,平分,平分,與交于點,若,,則( )
A.80°B.75°C.60°D.45°
例3.(2023·湖北·八年級專題練習)在社會實踐手工課上,小茗同學設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件,如果,,那么的度數(shù)是( ).
A.B.C.D.
例4.(2023·廣東·八年級期中)如圖,在三角形ABC中,,為三角形內(nèi)任意一點,連結(jié)AP,并延長交BC于點D. 求證:(1);(2).

例5.(2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末)如圖1所示的圖形,像我們常見的符號——箭號.我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”.

探究:(1)觀察“箭頭四角形”,試探究與、、之間的關(guān)系,并說明理由;
應用:(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下兩個問題:
①如圖2,把一塊三角尺放置在上,使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、,若,則 ;②如圖3,、的2等分線(即角平分線)、相交于點,若,,求的度數(shù);
拓展:(3)如圖4,,分別是、的2020等分線(),它們的交點從上到下依次為、、、…、.已知,,則 度.
模型2、風箏模型(鷹爪模型)或角內(nèi)翻模型

圖1 圖2
1)鷹爪模型:結(jié)論:∠A+∠O=∠1+∠2;
2)鷹爪模型(變形):結(jié)論:∠A+∠O=∠2-∠1。

圖3 圖4
3)角內(nèi)翻模型:
如圖3,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時,結(jié)論:2∠C=∠1+∠2;
如圖4,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當點C落在四邊形ABFE外部時,結(jié)論:2∠C=∠2-∠1。
例1.(2023·四川達州·八年級期末)如圖,,,分別是四邊形的外角,判定下列大小關(guān)系:①;②;③;④.其中正確的是 .(填序號)
例2.(2022秋·重慶渝北·八年級??茧A段練習)如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為( )
A.20°B.30°C.40°D.50°
例3.(2022秋·河北廊坊·八年級??计谥校┤鐖D,將三角形紙片沿折疊,當點A落在四邊形的外部時,測量得,,則為( )

A.B.C.D.
例4.(2023春·甘肅天水·七年級校聯(lián)考期末)如圖①,、是四邊形的兩個不相鄰的外角.

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖②,在四邊形中,與的平分線交于點.若,,求的度數(shù);(3)如圖③,、分別是四邊形外角、的角平分線.請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系 .
例5.(2022春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末)中,,點D,E分別是邊AC,BC上的點,點P是一動點,令,,.
初探:(1)如圖1,若點P在線段AB上,且,則_____________;
(2)如圖2,若點P在線段AB上運動,則∠1,∠2,之間的關(guān)系為_____________;
(3)如圖3,若點P在線段AB的延長線上運動,則∠1,∠2,之間的關(guān)系為_____________;
再探:(4)如圖4,若點P運動到的內(nèi)部,寫出此時∠1,∠2,之間的關(guān)系,并說明理由.
例6.(2022秋·湖北武漢·八年級校考階段練習)(1)如圖,將沿折疊,使點 A落在的內(nèi)部的點 M處,當,時,求的度數(shù);
(2)如圖,將沿 折疊,使點 A 落在的外部的點 M 處.求圖中,,之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖 ,將、一起沿折疊,使點 A、點B的對應點 M、N 分別落在射線 的左右兩側(cè),,,、的數(shù)量關(guān)系 . (直接寫結(jié)果,不需要過程)
課后專項訓練
1.(2023.廣東八年級期中)如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當A落在四邊形BCDE內(nèi)時,則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
2.(2023·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末)如圖,六邊形ABCDEF中,AFCD,ABDE,∠A=140°,∠B=100°,∠ECD=20°,將CDE沿CE翻折,得到,則∠BC的度數(shù)為( )
A.60°B.80°C.100°D.120°
3.(2023春·江蘇·七年級專題練習)如圖,在中,,沿圖中虛線翻折,使得點B落在上的點D處,則等于( )
A.160°B.150°C.140°D.110°
4.(2023·浙江·八年級假期作業(yè))如圖,中,,將沿翻折后,點A落在邊上的點處.如果,那么的度數(shù)為 .
5.(2023春·寧夏吳忠·九年級??计谥校ⅰ鰽BC沿著DE翻折,使點A落到點A′處,A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點,且DEBC.已知∠A′NM=27°,則∠NEC= .
6.(2023·湖北·七年級期末)三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度.在下圖中,E位于線段CA上,D位于線段BE上.
(1)說明為什么.(2)說明為什么.
(3)與,哪一個更大?證明你的答案;
(4)與,哪一個更大?證明你的答案.
7.(2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末)(1)如圖1,把三角形紙片折疊,使個頂點重合于點.這時,__________;

(2)如果三角形紙片折疊后,個頂點并不重合于同一點,如圖,那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;(3)折疊后如圖所示,直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______;
(4)折疊后如圖,直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系:_______;
8.(2023春·江蘇連云港·七年級校聯(lián)考階段練習)我們在小學已經(jīng)學習了“三角形內(nèi)角和等于”.在三角形紙片中,點D,E分別在邊上,將沿折疊,點C落在點的位置.
(1)如圖1,當點C落在邊上時,若,則= ,可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)如圖2,當點C落在內(nèi)部時,且,,求的度數(shù);(3)如圖3,當點C落在外部時,若設(shè)的度數(shù)為x,的度數(shù)為y,請求出與x,y之間的數(shù)量關(guān)系.
9.(2022春·江蘇揚州·七年級校考期末)如圖①,把紙片沿折疊,使點A落在四邊形內(nèi)部點的位置,通過計算我們知道:.請你繼續(xù)探索:

(1)如果把紙片沿折疊,使點A落在四邊形的外部點的位置,如圖②,此時與之間存在什么樣的關(guān)系?(2)如果把四邊形沿時折疊,使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置,如圖③,你能求出、、與之間的關(guān)系嗎?(直接寫出關(guān)系式即可)
10.(2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中)如圖,在和中,.點F與A位于線段所在直線的兩側(cè),分別延長、至點、.

【特殊化思考】若時,請嘗試探究:
(1)當在內(nèi)部時,請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________;
(2)當在外部時,請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________;
(3)若平分,平分.無論點在內(nèi)部(如圖③)還是外部(如圖④)時,都有,請選擇一幅圖進行證明;

【一般化探究】若時,請嘗試探究:
(4)若射線、分別是,的等分線(為大于2的正整數(shù)),且,.當時,直接寫出與需滿足的條件:__________.
10.(2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中)如圖,四邊形ABCD,BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如圖1,若α+β=100°,求∠MBC+∠NDC的度數(shù);
(2)如圖1,若BE與DF相交于點G,∠BGD=40°,請直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式;
(3)如圖2,若α=β,判斷BE、DF的位置關(guān)系,并說明理由.
11.(2023春·江蘇·七年級專題練習)如圖,將紙片沿折疊,使點落在四邊形內(nèi)點的位置,(1)探索與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)如果點落在四邊形外點的位置,與、之間的數(shù)量關(guān)系有何變化,請說明理由.
12.(2022秋·浙江·八年級專題練習)已知在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)∠ABC+∠ADC= °;(2)如圖①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,請寫出DE與BF的位置關(guān)系,并證明;(3)如圖②,若BE,DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),試求∠E的度數(shù).
13.(2023·重慶·八年級專題練習)如圖①所示是一個飛鏢圖案,連接AB,BC,我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”.
(1)求證:;(2)如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案,CE與BF交于點D,若,求的度數(shù).
14.(2023·廣西·八年級專題練習)如圖,中,
(1)若、的三等分線交于點、,請用表示、;(2)若、的等分線交于點、(、依次從下到上),請用表示,.
15.(2023·云南保山·八年級??计谥校┮阎狐cD是△ABC所在平面內(nèi)一點,連接AD、CD.
(1)如圖1,若∠A=28°,∠B=72°,∠C=11°,求∠ADC;(2)如圖2,若存在一點P,使得PB平分∠ABC,同時PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明;(3)如圖3,在 (2)的條件下,將點D移至∠ABC的外部,其它條件不變,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明.
16.(2023·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中)【概念學習】在平面中,我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角,如果兩個角相加等于,那么稱這兩個角互為組角,簡稱互組.
(1)若、互為組角,且,則________;
【理解運用】習慣上,我們把有一個內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形.
(2)如圖①,在鏢形中,優(yōu)角與鈍角互為組角,試探索內(nèi)角、、與鈍角之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
【拓展延伸】(3)如圖②,________;(用含的代數(shù)式表示)
(4)如圖③,已知四邊形中,延長、交于點,延長、交于,、的平分線交于點,;①寫出圖中一對互組的角________(兩個平角除外);
②直接運用(2)中的結(jié)論,試說明:;
(5)如圖④,、分別為,的2019等分線().它們的交點從上到下依次為,,,…,.已知,,則_______.(用含、的代數(shù)式表示)
專題09 三角形中的特殊模型-燕尾(飛鏢)型、風箏(鷹爪)模型
近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型,該模型主要涉及角度的計算(內(nèi)角和定理、外角定理等)。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系,求出所需的角。本專題就燕尾(飛鏢)型、風箏(鷹爪)模型進行梳理及對應試題分析,方便掌握。
模型1、“飛鏢”模型(“燕尾”模型)

圖1 圖2
條件:如圖1,凹四邊形ABCD; 結(jié)論:①;②。
條件:如圖2,線段BO平分∠ABC,線段OD平分∠ADC; 結(jié)論:∠O=(∠A+∠C)。
飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法:
例1.(2023·重慶·八年級專題練習)請閱讀下列材料,并完成相應的任務:
有趣的“飛鏢圖”
如圖,這種形似飛鏢的四邊形,可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn),它實際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢?又將怎樣應用呢?下面我們進行認識與探究:凹四邊形通俗地說,就是一個角“凹”進去的四邊形,其性質(zhì)有:凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.
(即如圖 1,∠ADB=∠A+∠B+∠C )理由如下:
方法一:如圖 2,連接 AB,則在△ABC 中,∠C+∠CAB+∠CBA=180°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°,又∵在△ABD 中,∠1+∠2+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠3+∠4+∠C, 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C.
方法二:如圖 3,連接 CD 并延長至 F,∵∠1 和∠3 分別是△ACD 和△BCD 的一個外角,. . . . . .
大家在探究的過程中,還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論,你有自己的方法嗎?
任務:(1)填空:“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是 ;
(2)探索:根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式,寫出該證明過程的剩余部分;
(3)應用:如圖 4,AE 是∠CAD 的平分線,BF 是∠CBD 的平分線,AE 與 BF 交于 G, 若∠ADB=150°,∠AGB=110°,請你直接寫出∠C 的大?。?br>【答案】(1)三角形內(nèi)角和定理(或三角形的內(nèi)角和等于 180°);(2)見解析;(3)70°
【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可求解;
(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠2+∠A,∠3=∠4+∠B,從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B,即可求證;(3)由(2)可得:∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C,∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C,從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C,∠CAD+∠CBD=150°-∠C,再由AE 是∠CAD 的平分線,BF 是∠CBD 的平分線,可得150°-∠C=2(110°-∠ C),即可求解.
【詳解】(1)解:三角形內(nèi)角和定理(或三角形的內(nèi)角和等于 180°)
(2)證明:連接 CD 并延長至 F,
∵∠1 和∠2 分別是△ACD 和△BCD 的一個外角,∴∠1=∠2+∠A,∠3=∠4+∠B,
∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B,即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ;
(3)解:由(2)得:∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C,∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C,
∵∠ADB=150°,∠AGB=110°,∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°,∠CAE+∠CBF+∠C=110°,
∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C,∠CAD+∠CBD=150°-∠C,
∵AE 是∠CAD 的平分線,BF 是∠CBD 的平分線,∴∠CAD =2∠CAE,∠CBD=2∠CBF,
∴∠CAD+∠CBD=2(∠CAE+∠CBF),∴150°-∠C=2(110°-∠ C),解得:∠C=70°.
【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),有關(guān)角平分線的計算,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.
例2.(2023·成都市·七年級專題練習)如圖,平分,平分,與交于點,若,,則( )
A.80°B.75°C.60°D.45°
【答案】C
【分析】連接先求解 再求解 可得 再利用角平分線的定義可得: 從而可得: 再利用三角形的內(nèi)角和定理可得的大小.
【詳解】解:連接


平分,平分,


故選:
【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用,角平分線的定義,熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵.
例3.(2023·湖北·八年級專題練習)在社會實踐手工課上,小茗同學設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件,如果,,那么的度數(shù)是( ).
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】延長BE交CF的延長線于O,連接AO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補角的性質(zhì)求出,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出,根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可求出的度數(shù).
【詳解】延長BE交CF的延長線于O,連接AO,如圖,
∵ ∴
同理得∵


∵ ∴

∴,故選:B.
【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理,多邊形內(nèi)角和,三角形的外角的性質(zhì),鄰補角的性質(zhì),解題關(guān)鍵是會添加輔助線,將已知條件聯(lián)系起來進行求解.三角形外角的性質(zhì):三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;鄰補角性質(zhì):鄰補角互補;多邊形內(nèi)角和:.
例4.(2023·廣東·八年級期中)如圖,在三角形ABC中,,為三角形內(nèi)任意一點,連結(jié)AP,并延長交BC于點D. 求證:(1);(2).

【詳解】(1)∵,∴
∵,∴,∴
∵,∴
(2)過點作,交、于、,則,
由(1)知
∵, ∴

(幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論)
例5.(2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末)如圖1所示的圖形,像我們常見的符號——箭號.我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”.

探究:(1)觀察“箭頭四角形”,試探究與、、之間的關(guān)系,并說明理由;
應用:(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下兩個問題:
①如圖2,把一塊三角尺放置在上,使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、,若,則 ;②如圖3,、的2等分線(即角平分線)、相交于點,若,,求的度數(shù);
拓展:(3)如圖4,,分別是、的2020等分線(),它們的交點從上到下依次為、、、…、.已知,,則 度.
【答案】(1),理由見詳解; (2)①30;②95°;(3)
【分析】(1)連接AD并延長至點E,利用三角形外角的性質(zhì)得出左右兩邊相加即可得出結(jié)論;
(2)①直接利用(1)中的結(jié)論有,再把已知的角度代入即可求出答案;
②先根據(jù)求出,然后結(jié)合角平分線的定義再利用即可求解;
(3)先根據(jù)求出,再求出的度數(shù),最后利用求解即可.
【詳解】(1)如圖,連接AD并延長至點E


又∵∴
(2)①由(1)可知
∵,∴
②由(1)可知
∵,∴
平分 ,CF平分
(3)由(1)可知
∵, ∴
∵,分別是、的2020等分線()


【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì),角平分線的定義,掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.
模型2、風箏模型(鷹爪模型)或角內(nèi)翻模型

圖1 圖2
1)鷹爪模型:結(jié)論:∠A+∠O=∠1+∠2;
2)鷹爪模型(變形):結(jié)論:∠A+∠O=∠2-∠1。

圖3 圖4
3)角內(nèi)翻模型:
如圖3,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時,結(jié)論:2∠C=∠1+∠2;
如圖4,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊,當點C落在四邊形ABFE外部時,結(jié)論:2∠C=∠2-∠1。
例1.(2023·四川達州·八年級期末)如圖,,,分別是四邊形的外角,判定下列大小關(guān)系:①;②;③;④.其中正確的是 .(填序號)
【答案】①
【分析】根據(jù)多邊形(三角形)的外角和為即可求解.
【詳解】解:如圖,連接,
∵,,
∴,故①正確,②不正確;
∵多邊形的外角和是,∴,故③④不正確,故答案為:①.
【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì),掌握以上知識,能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵.
例2.(2022秋·重慶渝北·八年級??茧A段練習)如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為( )
A.20°B.30°C.40°D.50°
【答案】C
【分析】由折疊的性質(zhì)可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù),進而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).
【詳解】由折疊的性質(zhì)可知


∴故選C
【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
例3.(2022秋·河北廊坊·八年級??计谥校┤鐖D,將三角形紙片沿折疊,當點A落在四邊形的外部時,測量得,,則為( )

A.B.C.D.
【答案】B
【分析】利用四邊形的內(nèi)角和定理求出,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出,根據(jù)對頂角相等得出,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果.
【詳解】解:∵,,∴,
∴,
∵,∴,故B正確.故選:B.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是運用多邊形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù).
例4.(2023春·甘肅天水·七年級校聯(lián)考期末)如圖①,、是四邊形的兩個不相鄰的外角.

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖②,在四邊形中,與的平分線交于點.若,,求的度數(shù);(3)如圖③,、分別是四邊形外角、的角平分線.請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系 .
【答案】(1);(2);(3).
【分析】(1)根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說明與、的數(shù)量關(guān)系;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,根據(jù)與的平分線,,,即可求的度數(shù);
(3)結(jié)合(1)的結(jié)論,根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線.進而可以寫出、與的數(shù)量關(guān)系.
【詳解】(1)猜想:,理由如下:
∵,,∴,
(2)∵,,,
∴,
∵、分別平分與,∴,,
∴,
∴,
(3)、與的數(shù)量關(guān)系為:,理由如下:
∵、分別是四邊形外角、的角平分線,
∴,,
由(1)可知:,,
∴,∴,故答案為:.
【點睛】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理,解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角.
例5.(2022春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末)中,,點D,E分別是邊AC,BC上的點,點P是一動點,令,,.
初探:(1)如圖1,若點P在線段AB上,且,則_____________;
(2)如圖2,若點P在線段AB上運動,則∠1,∠2,之間的關(guān)系為_____________;
(3)如圖3,若點P在線段AB的延長線上運動,則∠1,∠2,之間的關(guān)系為_____________;
再探:(4)如圖4,若點P運動到的內(nèi)部,寫出此時∠1,∠2,之間的關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4),見解析.
【分析】(1)連接,證明即可;(2)利用(1)中結(jié)論解答即可;
(3)直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可;(4)同樣直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可.
【詳解】(1)解:如圖,連接,

,,
,
,,,故答案為:;
(2)解:由(1)可知,,故答案為:;
(3)解:如圖,
,,,
即,故答案為:;
(4)解:,證明如下:如圖,連接,
,,
,.
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是靈活運用所學求解.
例6.(2022秋·湖北武漢·八年級??茧A段練習)(1)如圖,將沿折疊,使點 A落在的內(nèi)部的點 M處,當,時,求的度數(shù);
(2)如圖,將沿 折疊,使點 A 落在的外部的點 M 處.求圖中,,之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖 ,將、一起沿折疊,使點 A、點B的對應點 M、N 分別落在射線 的左右兩側(cè),,,、的數(shù)量關(guān)系 . (直接寫結(jié)果,不需要過程)
【答案】(1),(2),(3)
【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得 ,問題隨之得解;(2)先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出、,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;(3)先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
【詳解】解:(1)如圖,,,,,
∵翻折,∴,,
∵,,,
∴,整理得,,
∵,,∴,即;
(2)如圖,,,,,
∵翻折,∴,,
∵,∴,
整理得,,即;故答案為:;
(3)如圖,,,,,
∵翻折,∴,,
∵,∴,
整理得,,即.
【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,翻折的性質(zhì),熟練掌握折痕是角平分線,三角形的內(nèi)角和是,是解題的關(guān)鍵.
課后專項訓練
1.(2023.廣東八年級期中)如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當A落在四邊形BCDE內(nèi)時,則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
【答案】B
【分析】本題問的是關(guān)于角的問題,當然與折疊中的角是有關(guān)系的,∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角,結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案.
【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊,∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°,
∴∠AED= (180°?∠1),∠ADE= (180°?∠2),
∴∠AED+∠ADE= (180°?∠1)+ (180°?∠2)=180°? (∠1+∠2)
在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°? (∠1+∠2)]= (∠1+∠2)
則2∠A=∠1+∠2,故選擇B項.
【點睛】本題考查折疊和三角形內(nèi)角和的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).
2.(2023·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末)如圖,六邊形ABCDEF中,AFCD,ABDE,∠A=140°,∠B=100°,∠ECD=20°,將CDE沿CE翻折,得到,則∠BC的度數(shù)為( )
A.60°B.80°C.100°D.120°
【答案】B
【分析】過點B作BG∥AF,利用平行線的性質(zhì)求得∠BCD=120°,利用折疊的性質(zhì)求得∠ECD=∠EC=20°,即可求解.
【詳解】解:過點B作BG∥AF,∵AF∥CD,∴AF∥BG∥CD,
∵∠A=140°,∠ABC=100°,∴∠ABG=180°-140°=40°,∠GBC=100°-40°=60°,
∴∠BCD=180°-60°=120°,由折疊的性質(zhì)得:∠ECD=∠EC=20°,
∴∠BC=120°-∠ECD-∠EC=120°-20°-20°=80°,故選:B.
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵.
3.(2023春·江蘇·七年級專題練習)如圖,在中,,沿圖中虛線翻折,使得點B落在上的點D處,則等于( )
A.160°B.150°C.140°D.110°
【答案】C
【分析】由得,再根據(jù)翻折知,,即可求出的值.
【詳解】解:,,翻折,,,
,,故選:C.
【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,熟練運用翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.(2023·浙江·八年級假期作業(yè))如圖,中,,將沿翻折后,點A落在邊上的點處.如果,那么的度數(shù)為 .
【答案】/度
【分析】根據(jù)折疊性質(zhì),,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得到,根據(jù)平角計算即可.
【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì),得,,
∵,∴,
∵,∴,
∴,故答案為:.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,平角,熟練掌握折疊的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
5.(2023春·寧夏吳忠·九年級??计谥校ⅰ鰽BC沿著DE翻折,使點A落到點A′處,A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點,且DEBC.已知∠A′NM=27°,則∠NEC= .
【答案】126°
【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠DEN=27°,再利用翻折不變性得到∠AED=∠DEN=27°,再根據(jù)平角的性質(zhì)即可解決問題.
【詳解】解:∵DE∥BC,∴∠DEN=∠A′NM=27°,
由翻折不變性可知:∠AED=∠DEN=27°,∴∠NEC=180°﹣2×27°=126°,故答案為126°.
【點睛】本題考查翻折變換,平行線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}型.
6.(2023·湖北·七年級期末)三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度.在下圖中,E位于線段CA上,D位于線段BE上.
(1)說明為什么.(2)說明為什么.
(3)與,哪一個更大?證明你的答案;
(4)與,哪一個更大?證明你的答案.
(1)由三角形三邊關(guān)系,.
(2)由三角形三邊關(guān)系,.
因此, .
(3)由三角形三邊關(guān)系,,,以及,
將三個不等式相加,得.
(4)由(2)可知.
類似可得,以及.
將這三個不等式相加,可得,
即.
7.(2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末)(1)如圖1,把三角形紙片折疊,使個頂點重合于點.這時,__________;

(2)如果三角形紙片折疊后,個頂點并不重合于同一點,如圖,那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;(3)折疊后如圖所示,直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______;
(4)折疊后如圖,直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系:_______;
【答案】(1);(2)成立,詳見解析;(3);(4).
【分析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可;(2)根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可;(3)根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可;(4)根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可.
【詳解】(1)由折疊性質(zhì)可知:,,,
∴,,,∵
∴,
∴,故答案為:,
(2)由由折疊性質(zhì)可知:,,,
∴,,,
∵,,,,∴,
同理:,,
∴,
(3)根據(jù)(2)可知:,,
如圖3,∵,,∴,
∴,故答案為:,
(4)根據(jù)(2)(3)可知:,,,
∴,
∴,故答案為:
【點睛】此題考查了翻折、角的計算,解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
8.(2023春·江蘇連云港·七年級校聯(lián)考階段練習)我們在小學已經(jīng)學習了“三角形內(nèi)角和等于”.在三角形紙片中,點D,E分別在邊上,將沿折疊,點C落在點的位置.
(1)如圖1,當點C落在邊上時,若,則= ,可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是 ;(2)如圖2,當點C落在內(nèi)部時,且,,求的度數(shù);(3)如圖3,當點C落在外部時,若設(shè)的度數(shù)為x,的度數(shù)為y,請求出與x,y之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1),互余(2)(3)
【分析】(1)根據(jù)平角定義求出,再利用折疊性質(zhì)即可求出,然后利用三角形內(nèi)角和進行計算即可;(2)根據(jù)平角定義求出,,然后利用折疊性質(zhì)可得,然后利用三角形內(nèi)角和進行計算即可;(3)根據(jù)平角定義求出,再利用折疊性質(zhì)即可求出,然后利用三角形內(nèi)角和進行計算即可.
【詳解】(1)解:∵,∴,
由折疊得:.
∴,
∵,∴與的數(shù)量關(guān)系是互余.
(2)解:∵,
∴,
由折疊得:
∴,∴的度數(shù)為;
(3)解:如圖:
∵,∴,
由折疊得:,
∴ ,
∴與x,y之間的數(shù)量關(guān)系:.
【點睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和,靈活運用所學知識是關(guān)鍵.
9.(2022春·江蘇揚州·七年級??计谀┤鐖D①,把紙片沿折疊,使點A落在四邊形內(nèi)部點的位置,通過計算我們知道:.請你繼續(xù)探索:

(1)如果把紙片沿折疊,使點A落在四邊形的外部點的位置,如圖②,此時與之間存在什么樣的關(guān)系?
(2)如果把四邊形沿時折疊,使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置,如圖③,你能求出、、與之間的關(guān)系嗎?(直接寫出關(guān)系式即可)
【答案】(1)(2)
【分析】(1)連接,由外角的性質(zhì)得到,做差即可得到答案;
(2)由圖形折疊的性質(zhì)可知,兩式相加變形后即可得到答案.
【詳解】(1)連接,

∵,,∴;
(2)由圖形折疊的性質(zhì)可知,
兩式相加得,,即,
∴,即:.
【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識,熟練掌握角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
10.(2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中)如圖,在和中,.點F與A位于線段所在直線的兩側(cè),分別延長、至點、.

【特殊化思考】若時,請嘗試探究:
(1)當在內(nèi)部時,請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________;
(2)當在外部時,請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________;
(3)若平分,平分.無論點在內(nèi)部(如圖③)還是外部(如圖④)時,都有,請選擇一幅圖進行證明;

【一般化探究】若時,請嘗試探究:
(4)若射線、分別是,的等分線(為大于2的正整數(shù)),且,.當時,直接寫出與需滿足的條件:__________.
【答案】(1);(2);(3)見解析;(4)
【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到,再根據(jù),即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到,再根據(jù),即可得出結(jié)論;(3)選圖3證明,根據(jù)角平分線的定義及(1)中的結(jié)論得出,再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可;(4)先根據(jù)平行公理的推論得到,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得出與的關(guān)系.
【詳解】解:(1)在中,,
在中,,

,,
,,
,,故答案為:;
(2)在中,,
在中,,,
,,
,,
,,故答案為:;
(3)選擇圖③,證明:如圖,

過點作,,
平分,平分,,,
由(1)知,
,,
,,,;
選擇圖④,證明:如圖,設(shè)與交于點,

平分,平分,,,
同(2)可得:,
,,,
是的一個外角,,
即,,;
(4)證明:,只能在內(nèi)部,如圖,過點作,

,,連接,,,
又,,
又,,,,
,
又,,
,
,,,
即.故答案為:.
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,平行線的性質(zhì)及角平分線的定義,熟記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵,同時應熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義.
10.(2023·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中)如圖,四邊形ABCD,BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如圖1,若α+β=100°,求∠MBC+∠NDC的度數(shù);
(2)如圖1,若BE與DF相交于點G,∠BGD=40°,請直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式;
(3)如圖2,若α=β,判斷BE、DF的位置關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1);(2)β﹣α=80°;(3)平行,見解析
【分析】(1)連接AC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì),即可求解;
(2)連接AG,由∠MBC+∠NDC=α+β,得∠MBG+∠NDG=(α+β),結(jié)合∠MBG+∠NDG=α+40°,即可得到結(jié)論;(3)延長BC交DF于H,易得∠CBE+∠CDH=(α+β),結(jié)合∠CDH =β﹣∠DHB,可得∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β),進而得∠CBE=∠DHB,即可得到結(jié)論.
【詳解】(1)如圖1,連接AC,
∵∠MBC=∠BAC+∠BCA,∠NDC=∠CAD+∠ACD,
∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD
=(∠BAC+∠CAD)+(∠BCA+∠ACD)=∠BAD+∠BCD=α+β=100°;
(2)如圖1,連接AG,由(1)得∠MBC+∠NDC=α+β,
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC,∴∠MBG+∠NDG=∠MBC+∠NDC=(α+β),
∵∠MBG=∠BAG+∠BGA,∠NDG=∠DAG+∠DGA,
∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=(∠BAG +∠DAG)+(∠DGA++∠BGA)=∠BAD+∠BGD=α+40°,
∴(α+β)= α+40°,即:β﹣α=80°;
(3)平行,理由如下:如圖2,延長BC交DF于H,由(1)得,∠MBC+∠NDC=α+β,
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC,∴∠CBE=∠MBC,∠CDH=∠NDC,
∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β),
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB,∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB,∴∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β),
∵α=β,∴∠CBE+β﹣∠DHB=(β+β)=β,∴∠CBE=∠DHB,∴BE∥DF.
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)定理,角平分線的定義,平行線的判定定理,添加合適的輔助線,構(gòu)造三角形,熟練掌握三角形外角的性質(zhì)定理,是解題的關(guān)鍵.
11.(2023春·江蘇·七年級專題練習)如圖,將紙片沿折疊,使點落在四邊形內(nèi)點的位置,(1)探索與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)如果點落在四邊形外點的位置,與、之間的數(shù)量關(guān)系有何變化,請說明理由.
【答案】(1)2∠A=∠1+∠2,理由見解析(2)∠A=(∠2-∠1),理由見解析
【分析】(1)根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A,代入∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)求出即可;
(2)先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠1、∠2,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
【詳解】(1)2∠A=∠1+∠2,
理由是:∵沿DE折疊A和A′重合,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A,∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE),
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.
(2)∵沿DE折疊A和A'′重合,∴∠AED=∠A′'ED,∠ADE=∠A′'DE,
又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-(180°-∠AED)=2∠AED-180°,
∠2=180°-2∠ADE,∠AED+∠ADE=180°-∠A,
∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A,即∠A=(∠2-∠1).
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),三角形外角性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和的應用,主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力.
12.(2022秋·浙江·八年級專題練習)已知在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)∠ABC+∠ADC= °;(2)如圖①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,請寫出DE與BF的位置關(guān)系,并證明;(3)如圖②,若BE,DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),試求∠E的度數(shù).
【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450
【分析】(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計算即可得解;
(2)延長DE交BF于G,根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE=∠ADC,∠CBF=∠CBM,然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根據(jù)垂直的定義證明即可;
(3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延長DC交BE于H,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可.
【詳解】(1)解:∵∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°;故答案為180°;
(2)解:延長DE交BF于G,
∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM,∴∠CDE=∠ADC,∠CBF=∠CBM,
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF,
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE,∴∠BGE=∠C=90°,∴DG⊥BF,即DE⊥BF;
(3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,
∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角,∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°,
延長DC交BE于H,由三角形的外角性質(zhì)得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE,
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E,∴∠E=90°-45°=45°
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,四邊形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,要注意整體思想的利用.
13.(2023·重慶·八年級專題練習)如圖①所示是一個飛鏢圖案,連接AB,BC,我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”.
(1)求證:;(2)如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案,CE與BF交于點D,若,求的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)240°
【分析】(1)延長CD交AB于點E,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證,,運用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明.(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì),運用第(1)題的方法可證,,和是對頂角,可推出的度數(shù)等于2倍的度數(shù),計算得出答案.
【詳解】(1)證明:延長CD交AB于點E,如圖:
∵是的外角,∴.
∵是的外角,∴,
∴.
(2)解:∵和是對頂角,∴.
由(1)的結(jié)論可知,,
∴.
【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì),靈活運用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
14.(2023·廣西·八年級專題練習)如圖,中,
(1)若、的三等分線交于點、,請用表示、;(2)若、的等分線交于點、(、依次從下到上),請用表示,.
【答案】(1),,
(2),
【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得,再由、的三等分線交于點、,可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,即可求解;
(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得,再由、的等分線交于點、,可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,即可求解.
【詳解】(1)解:∵,∴,
∵、的三等分線交于點、,

∴,

(2)解:∵,∴,
∵、的等分線交于點、,

∴,

【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線三角形的內(nèi)角和問題,熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理,并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵.
15.(2023·云南保山·八年級??计谥校┮阎狐cD是△ABC所在平面內(nèi)一點,連接AD、CD.
(1)如圖1,若∠A=28°,∠B=72°,∠C=11°,求∠ADC;(2)如圖2,若存在一點P,使得PB平分∠ABC,同時PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明;(3)如圖3,在 (2)的條件下,將點D移至∠ABC的外部,其它條件不變,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明.
【答案】(1) 111o ;(2) ∠A-∠C=2∠P,理由見解析;(3) ∠A+∠C=2∠P,理由見解析.
【分析】(1)延長AD交BC于E,利用三角形外角的性質(zhì)即可求解;
(2)∠A-∠C=2∠P,由三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及(1)結(jié)論即可求解;
(3)∠A+∠C=2∠P,由(2)結(jié)論以及角平分線的性質(zhì)即可得到.
【詳解】(1)如圖1,延長AD交BC于E,
在△ABE中,∠AEC=∠A+∠B=28o+72o=100o,
在△DEC中,∠ADC=∠AEC+∠C=100o+11o=111o ;
(2)∠A-∠C=2∠P,理由如下:如圖2,
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A-∠C=2∠P
(3)∠A+∠C=2∠P,理由如下:如圖3,
同(2)理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P
【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì),角平分線的定義,整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.
16.(2023·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中)【概念學習】在平面中,我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角,如果兩個角相加等于,那么稱這兩個角互為組角,簡稱互組.
(1)若、互為組角,且,則________;
【理解運用】習慣上,我們把有一個內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形.
(2)如圖①,在鏢形中,優(yōu)角與鈍角互為組角,試探索內(nèi)角、、與鈍角之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
【拓展延伸】(3)如圖②,________;(用含的代數(shù)式表示)
(4)如圖③,已知四邊形中,延長、交于點,延長、交于,、的平分線交于點,;①寫出圖中一對互組的角________(兩個平角除外);
②直接運用(2)中的結(jié)論,試說明:;
(5)如圖④,、分別為,的2019等分線().它們的交點從上到下依次為,,,…,.已知,,則_______.(用含、的代數(shù)式表示)
【答案】(1)225°;(2)鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D;(3)2α;(4)①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ;②見解析;(5)
【分析】(1)根據(jù)互為組角的定義可知∠2=360°-∠1,代入數(shù)據(jù)計算即可;
(2)根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°,根據(jù)周角的定義可得優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°′,再利用等式的性質(zhì)得出鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D;
(3)兩次運用鏢形中的角的關(guān)系可得;
(4)①根據(jù)互為組角的定義及周角的定義,結(jié)合圖形可知優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ是一對互組的角;
②先由∠APD、∠AQB的平分線交于點M,得出∠AQM=∠BQM,∠APM=∠DPM.令∠AQM=∠BQM=α,∠APM=∠DPM=β.由(2)中的結(jié)論可知在鏢形APMQ中,有∠A+α+β=∠PMQ,在鏢形APCQ中,有∠A+2α+2β=∠QCP,于是根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠QCP+∠A=2∠PMQ,而∠A+∠QCP=180°,那么∠PMQ=90°,即PM⊥QM.(5)由,知,代入得,據(jù)此得出,代入可得答案.
【詳解】解:(1)∵∠1、∠2互為組角,且∠1=135°,∴∠2=360°-∠1=225°;
(2)鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D.理由如下:
如圖①,∵在四邊形ABCD中,∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°,
又∵優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°,∴鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D;
(3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α;
(4)①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ;
②∵∠APD、∠AQB的平分線交于點M,∴∠AQM=∠BQM,∠APM=∠DPM.
令∠AQM=∠BQM=α,∠APM=∠DPM=β.
∵在鏢形APMQ中,有∠A+α+β=∠PMQ,
在鏢形APCQ中,有∠A+2α+2β=∠QCP,∴∠QCP+∠A=2∠PMQ,
∵∠A+∠QCP=180°,∴∠PMQ=90°.∴PM⊥QM;
(5)如圖,
由題意知,,
,,
,
,
則,代入得:
,
解得:,
,,.
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角,四邊形內(nèi)角和定理,角平分線定義,垂直的定義,等式的性質(zhì),學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力.理解互為組角的定義以及得出(2)中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

相關(guān)試卷

專題06 三角形中的倒角模型之燕尾型、風箏模型-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊常見幾何模型(蘇科版):

這是一份專題06 三角形中的倒角模型之燕尾型、風箏模型-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊常見幾何模型(蘇科版),文件包含專題06三角形中的倒角模型之燕尾飛鏢型風箏模型原卷版docx、專題06三角形中的倒角模型之燕尾飛鏢型風箏模型解析版docx等2份試卷配套教學資源,其中試卷共48頁, 歡迎下載使用。

中考數(shù)學專題練習02 三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型:

這是一份中考數(shù)學專題練習02 三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型,文件包含中考數(shù)學02三角形中的導角模型-飛鏢模型風箏模型角內(nèi)翻模型教師版專題訓練docx、中考數(shù)學02三角形中的導角模型-飛鏢模型風箏模型角內(nèi)翻模型學生版專題訓練docx等2份試卷配套教學資源,其中試卷共61頁, 歡迎下載使用。

2024年中考數(shù)學二輪復習幾何模型解讀與提分精練 專題02 三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型(2份打包,原卷版+解析版):

這是一份2024年中考數(shù)學二輪復習幾何模型解讀與提分精練 專題02 三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型(2份打包,原卷版+解析版),文件包含2024年中考數(shù)學二輪復習幾何模型解讀與提分精練專題02三角形中的導角模型-飛鏢模型風箏模型角內(nèi)翻模型原卷版pdf、2024年中考數(shù)學二輪復習幾何模型解讀與提分精練專題02三角形中的導角模型-飛鏢模型風箏模型角內(nèi)翻模型解析版pdf等2份試卷配套教學資源,其中試卷共62頁, 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型07 三角形——飛鏢模型-(原卷版+解析)

中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型07 三角形——飛鏢模型-(原卷版+解析)

三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型(解析版)

三角形中的導角模型-飛鏢模型、風箏模型、角內(nèi)翻模型(解析版)

初中數(shù)學中考復習 專題15 “8字型”模型與“燕尾”模型(原卷版)

初中數(shù)學中考復習 專題15 “8字型”模型與“燕尾”模型(原卷版)

初中數(shù)學中考復習 專題15 “8字型”模型與“燕尾”模型(解析版)

初中數(shù)學中考復習 專題15 “8字型”模型與“燕尾”模型(解析版)

資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者,認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán),請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員,我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng),可獲得資源免費推廣曝光,還可獲得多重現(xiàn)金獎勵,申請 精品資源制作, 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源,讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題,支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯,日均更新2000+
  • 百萬教師選擇,專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼,快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送,5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符,數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部