【模型1】“8字”模型
如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得。
【模型變式1】
如圖已知BD與AC相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在OA上，連接AD，DE，BC；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得。
【模型變式2】
如圖DB與DG分別交AF于C點(diǎn)，E點(diǎn)，連接AB，GF；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得。
【模型2】“燕尾”型
如圖在四邊形ABOC中，可根據(jù)外角定理：三角形的一個(gè)外角等于不與它相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得
。
【模型變式1】
如圖在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于點(diǎn)O?？傻茫?br>①：
②
③
【證明】如圖，分別過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)C作BG垂直于AE于G點(diǎn)，作CP垂直于AG的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)。
在中，；
在和中,；；
∽
同理可證：；
【例1】如圖，，，，，求和的度數(shù)．
【答案】，
【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因?yàn)?，即可求得的度?shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得的度數(shù)．
【解析】解：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴
，
∴．
∴，．
【例2】如圖1，已知線段、相交于點(diǎn)O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問(wèn)題：
(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：________________；
(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)P，并且與、分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：
①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：___________個(gè)；
②若，試求的度數(shù)；
③若和為任意角，其他條件不變，試問(wèn)與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出推理過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
④若和∠為任意角，，試問(wèn)與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)①6②③存在（理由見(jiàn)解析）④存在，
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出結(jié)論．
（2）①分別找到以交點(diǎn)M、O、N為頂點(diǎn)的能構(gòu)成“8字形”的三角形，避免漏數(shù)．
②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合角平分線的定義，可求出的度數(shù)．
③和②同理
④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合“，”即可得出結(jié)論．
【解析】(1)解：在中，
在中，
（對(duì)頂角相等）
(2)①解：以M為交點(diǎn)的有1個(gè)，即為和
以O(shè)為交點(diǎn)的有4個(gè)，即為和，和，和，和
②解：AP平分，CP平分
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
③解：理由如下：
AP平分，CP平分
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
④解：理由如下：
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
一、單選題
1．如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由切線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是、對(duì)頂角相等求出，即可得出答案；
【解析】解：PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AD是⊙O的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
2．如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可．
【解析】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項(xiàng)A，B，C正確，
故選D．
3．如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個(gè)角的和，加在一起即可．
【解析】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故選A．
4．如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵如圖可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故選．
5．在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．
【解析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，
∵
∴
同理得
∵
∴

∵
∴
∴
∴,
故選：A．
6．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（ ）
A．90°B．360°C．180°D．無(wú)法確定
【答案】C
【解析】如圖，連接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．
故選：C．
二、填空題
7．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．
【解析】解：連EF，GI，如圖
，
∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案為：900°．
8．如圖，______°．
【答案】180
【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不難證明結(jié)論．
【解析】解：如圖，
∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，
故答案為：180．
9．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】360°
【分析】連接CF，根據(jù)三角形的外角得到由三角形外角的性質(zhì)可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．
【解析】解：如圖，連接FC，
由三角形外角的性質(zhì)可得：
∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，
∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°
即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，
故答案為360°．
10．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】720°
【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠2與∠H、∠G的關(guān)系，∠1與∠2、∠D的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案．
【解析】解：如圖：
由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得
∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，
∠1＝∠H＋∠G＋∠D，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H
＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D
＝180°×（6－2）
＝270°．
故答案為：720°．
三、解答題
11．如圖所示，已知四邊形，求證．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；
方法2 作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；
方法3延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】方法1如圖所示，連接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如圖所示，連接AD并延長(zhǎng).
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如圖所示，延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
12．如圖，、分別平分和，若，，求的度數(shù).
【答案】.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
【解析】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；
13．如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【解析】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
14．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，
（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．
【解析】解：（1）如圖①，連接AD，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如圖②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
15．閱讀材料：
如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．
結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．
結(jié)論應(yīng)用舉例：
如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．
解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．
解決問(wèn)題：
（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過(guò)程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（3）連接BH、DE，由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（4）連接ND、NE，由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．
【解析】解：（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）連接BH、DE，
∵由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；
（4）連接ND、NE，
∵由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案為：360°；540°；720°；1080°．
16．模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．
模型應(yīng)用
（1）直接應(yīng)用：
①如圖2，，則__________；
②如圖3，__________；
（2）拓展應(yīng)用：
①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；
②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；
③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；
④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計(jì)算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計(jì)算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計(jì)算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計(jì)算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計(jì)算可得；
④根據(jù)兩個(gè)凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個(gè)等式，聯(lián)立可得結(jié)論．
【解析】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．

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專題04 三角形中的8字模型和燕尾模型 2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破（全國(guó)通用）
中考數(shù)學(xué)幾何模型加強(qiáng)版 模型15 燕尾角

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