2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)講與練模型06 三角形——8字模型-原卷版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

◎結(jié)論：如圖，AC與BD相交于點O，則∠A+∠B=∠C+∠D.

【證明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°
在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，
∵∠1=∠2,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
1：若 BP，DP分別是∠ABC，∠ADC的平分線，則∠P=（∠A＋∠C）.

2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，則∠P=∠A+∠C

3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）
A．240°B．280°C．360°D．540°
3． (2023·天津市匯文中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．
2． (2023·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．
3． (2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，，，，，求和的度數(shù)．
4． (2023·全國·八年級）閱讀材料：
如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．
結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．
結(jié)論應(yīng)用舉例：
如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．
解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．
解決問題：
（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；
（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；
（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；
（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；
請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．
1． (2023·江蘇·江陰市第一初級中學(xué)一模）如圖1，已知線段、相交于點O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：
(1)在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：________________；
(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點P，并且與、分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：
①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：___________個；
②若，試求的度數(shù)；
③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；
④若和∠B為任意角，，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．
2．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
三角形
模型（六）——8字模型

◎結(jié)論：如圖，AC與BD相交于點O，則∠A+∠B=∠C+∠D.

【證明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°
在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，
∵∠1=∠2,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
1：若 BP，DP分別是∠ABC，∠ADC的平分線，則∠P=（∠A＋∠C）.

2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，則∠P=∠A+∠C

3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項A，B，C正確，
故選D．
【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）
A．240°B．280°C．360°D．540°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個角的和，加在一起即可．
【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故選A．
【點睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個角分成兩部分來分別求出來，然后再加在一起．
3． (2023·天津市匯文中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】∵如圖可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故選．
點睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．
1． (2023·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．
【答案】1080°
【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．
【詳解】解：連KF，GI，如圖，
∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．
故答案為：1080°．
【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．
2． (2023·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．
【答案】減少 10
【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進行計算即可判斷．
【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如圖，連接CF并延長，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，
若只調(diào)整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此應(yīng)將∠D減少10度；
故答案為：①減少；②10．
【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
3． (2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，，，，，求和的度數(shù)．
【答案】，
【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因為，即可求得的度數(shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴
，
∴．
∴，．
【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法．找到相應(yīng)等量關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．
4． (2023·全國·八年級）閱讀材料：
如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．
結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．
結(jié)論應(yīng)用舉例：
如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．
解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．
解決問題：
（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；
（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；
（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；
（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；
請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析
【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）連接BH、DE，
∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；
（4）連接ND、NE，
∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案為：360°；540°；720°；1080°．
【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．
1． (2023·江蘇·江陰市第一初級中學(xué)一模）如圖1，已知線段、相交于點O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：
(1)在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：________________；
(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點P，并且與、分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：
①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：___________個；
②若，試求的度數(shù)；
③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；
④若和∠為任意角，，試問與、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①6②③存在（理由見解析）④存在，
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得出結(jié)論．
（2）①分別找到以交點M、O、N為頂點的能構(gòu)成“8字形”的三角形，避免漏數(shù)．
②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合角平分線的定義，可求出的度數(shù)．
③和②同理
④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合“，”即可得出結(jié)論．
(1)
解：在中，
在中，
（對頂角相等）
(2)
①解：以M為交點的有1個，即為和
以O(shè)為交點的有4個，即為和，和，和，和
②解：AP平分，CP平分
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
③解：理由如下：
AP平分，CP平分
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
④解：理由如下：
由（1）中的結(jié)論得：
整理得：
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練利用“8字形”模型是解決本題的關(guān)鍵．
2．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，
（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．
【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如圖②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．

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