【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類(lèi)討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。
1）無(wú)圖需分類(lèi)討論
①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類(lèi)討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類(lèi)討論；
③遇高線(xiàn)需分高在△內(nèi)和△外兩類(lèi)討論；④中線(xiàn)把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類(lèi)討論。
2）“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：
即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰
方法：兩圓一線(xiàn)
具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）

②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）
③當(dāng)時(shí)，作的中垂線(xiàn)，點(diǎn)在該中垂線(xiàn)上（除外）
例1．（2023·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)?？荚驴迹┮粋€(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10，則它的周長(zhǎng)m的取值為（ ）
A．26或28B．26C．28D．
例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)校考期中）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，且一邊長(zhǎng)是4cm，則它的腰長(zhǎng)為（ ）
A．4cmB．7cmC．4cm或7cmD．全不對(duì)
例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）等腰三角形中，一個(gè)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
例4．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角度數(shù)為 ．
例5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，使△ABC是等腰三角形，則網(wǎng)格中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
例6．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖．在中，，．點(diǎn)P為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的位置有（ ）
A．4個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
例7．（2023·福建南平·八年級(jí)校考期中）已知△ABC中，如果過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱(chēng)這條直線(xiàn)為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，則∠CDB的度數(shù)是 ．
例8．（2022·福建·廈門(mén)八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______．
例9．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┰诘冗呏校?，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)用含的代數(shù)式表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)若在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，且．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，立即以原速度返回至終點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．或C．D．或
2.（2023·浙江·八年級(jí)課堂例題）如圖，是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)一定不可能是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，若點(diǎn)C在x軸上，且為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)），若△ABC為等腰三角形，且△ABC的面積為1，則滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)C有( )
A．0個(gè)B．2個(gè)C．4個(gè)D．8個(gè)
5．（2023·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由8個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，線(xiàn)段AB的端點(diǎn)都在小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上，若點(diǎn) C是某個(gè)小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)，連接CA，CB，那么滿(mǎn)足△ABC是等腰三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為軸上一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
7．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為y軸，BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 ，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB 為等腰三角形，符合條件的 M 點(diǎn)有（ ）
A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)
8．（2023春·山西太原·八年級(jí)校考期末）如圖，在折線(xiàn)段中，可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，線(xiàn)段上有一動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線(xiàn)段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為（ ）

A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
9．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為 ．
10．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線(xiàn)的夾角是，則底角的度數(shù)是 ．
11．（2023·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
12．（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線(xiàn)或直線(xiàn)上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有_______個(gè)．
13．（2023春·上海嘉定·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是 ．
14．（2023·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)，交于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線(xiàn)的上方，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則 ，度．

15．（2023·江西撫州·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)等腰三角形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2∶5，這個(gè)等腰三角形的頂角是 度．
16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線(xiàn)從射線(xiàn)開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)D，將沿射線(xiàn)翻折至處，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為 ．

17．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一內(nèi)角度數(shù)二倍，我們稱(chēng)這樣的三角形為“倍角三角形”．若等腰為“倍角三角形”，則的頂角度數(shù)為 ．
18．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知在中，．過(guò)三角形頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)將分割為兩個(gè)等腰三角形．求的度數(shù)．

19．（2022春·陜西銅川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．

20．（2023秋·河南商丘·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．(4)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)______________________后，可得到直角三角形．

21．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)用含t的代數(shù)式表示 ；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，且是等腰三角形時(shí)，求t的值；
(3)用含t的代數(shù)式表示的面積．

22．（2022秋·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）操作實(shí)踐：中，，請(qǐng)畫(huà)出一條直線(xiàn)把分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；要求用兩種不同的分割方法

（2）分類(lèi)探究：中，最小內(nèi)角，若被一直線(xiàn)分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)示意圖并寫(xiě)出最大內(nèi)角的所有可能值；以下為備用圖

（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線(xiàn)分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩種不同情況的條件,無(wú)需證明
專(zhuān)題13 等腰三角形中的分類(lèi)討論模型
模型1、等腰三角形中的分類(lèi)討論模型
【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類(lèi)討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。
1）無(wú)圖需分類(lèi)討論
①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類(lèi)討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類(lèi)討論；
③遇高線(xiàn)需分高在△內(nèi)和△外兩類(lèi)討論；④中線(xiàn)把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類(lèi)討論。
2）“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：
即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰
方法：兩圓一線(xiàn)
具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）

②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）
③當(dāng)時(shí)，作的中垂線(xiàn)，點(diǎn)在該中垂線(xiàn)上（除外）
例1．（2023·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)?？荚驴迹┮粋€(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10，則它的周長(zhǎng)m的取值為（ ）
A．26或28B．26C．28D．
【答案】A
【分析】分8是底邊和腰長(zhǎng)兩種情況討論求解．
【詳解】解：若8是底邊，則三角形的另兩邊分別為10、10，能組成三角形，周長(zhǎng)，
8是腰長(zhǎng)，則三角形的另兩邊分別為8、10，能組成三角形，周長(zhǎng)．
綜上所述，它的周長(zhǎng)m的取值為26或28．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于分情況討論．
例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，且一邊長(zhǎng)是4cm，則它的腰長(zhǎng)為（ ）
A．4cmB．7cmC．4cm或7cmD．全不對(duì)
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，兩腰相等，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：當(dāng)cm為腰長(zhǎng)時(shí)，則底邊長(zhǎng)為cm，
∵，不符合題意；∴cm為底邊長(zhǎng)，∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為：；故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注意討論時(shí)要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形．
例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┑妊切沃?，一個(gè)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】等腰三角形的的一個(gè)內(nèi)角是，則可能是頂角，也可能是底角，分情況討論即可．
【詳解】解：分如下兩種情況討論：當(dāng)角是底角時(shí)，頂角度數(shù)為，
當(dāng)角是頂角時(shí)，頂角度數(shù)為．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)要善于利用分類(lèi)討論思想，特別是等腰三角形在沒(méi)有圖的情況下．
例4．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】要注意分類(lèi)討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：若三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，，，為高，即，

此時(shí)，∴，
若三角形為鈍角三角形時(shí)，如圖，，，為高，即，
此時(shí)，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并注意分類(lèi)討論．
例5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．要在格點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，使△ABC是等腰三角形，則網(wǎng)格中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題．
【詳解】解：如圖：網(wǎng)格中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格作圖—等腰三角形，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
例6．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖．在中，，．點(diǎn)P為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的位置有（ ）
A．4個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：如圖：
在中，，，，
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；
當(dāng)與重合時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)與重合時(shí)，為等腰三角形；
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；
綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的位置有8個(gè)．故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定．
例7．（2023·福建南平·八年級(jí)?？计谥校┮阎鰽BC中，如果過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱(chēng)這條直線(xiàn)為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，則∠CDB的度數(shù)是 ．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠DBC=90°，AD=BD時(shí)，直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；

②如圖，當(dāng)∠BDC=90°，AD=BD時(shí)，直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，或當(dāng)∠BDC=90°，CD=BD時(shí)，直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，；
③如圖，當(dāng)∠ABD=90°，CD=BD時(shí)，直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
綜上所述：當(dāng)∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時(shí)，直線(xiàn)BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線(xiàn)．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線(xiàn)是本題關(guān)鍵．
例8．（2022·福建·廈門(mén)八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)與判定即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)
【詳解】解：如圖，
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則,作軸，
又,同理可得
根據(jù)三線(xiàn)合一可得是的中點(diǎn)，則，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
例9．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┰诘冗呏?，，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)用含的代數(shù)式表示線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)若在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，且．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，立即以原速度返回至終點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．

【答案】(1)(2)或(3)或．
【分析】（1）根據(jù)題意分情況討論，列出代數(shù)式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依題意，得出為等腰三角形，分點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)以及從點(diǎn)返回，兩種情況分析，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．∴，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 綜上所述，
（2）解：如圖所示，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，
∵是等邊三角形，∴，，
當(dāng)時(shí)，∴∴解得：

當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，∵，∴
∴∴∴解得：
（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則為等邊三角形，∴，
∵，．∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：，在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，，∴解得：；
當(dāng)，即點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)從D運(yùn)動(dòng)回點(diǎn)C
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)返回時(shí)，，；∴解得：；
綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，一元一次方程的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】A
【分析】分是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解．
【詳解】解：①是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為、、，因?yàn)?故不能組成三角形；
②是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長(zhǎng)，
綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．
2.（2023·浙江·八年級(jí)課堂例題）如圖，是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)一定不可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分和三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】解：若為等腰三角形則有和三種情況，
①當(dāng)時(shí)，則有，故；
②當(dāng)時(shí)，則；
③當(dāng)時(shí)，則，綜上可知：不可能為；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，正確分類(lèi)、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，點(diǎn)，，若點(diǎn)C在x軸上，且為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】分為、，三種情況畫(huà)圖判斷即可．
【詳解】解：如圖所示：
當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)C在的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，符合條件的點(diǎn)有一個(gè)．
故符合條件的點(diǎn)C共有4個(gè)．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)），若△ABC為等腰三角形，且△ABC的面積為1，則滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)C有( )
A．0個(gè)B．2個(gè)C．4個(gè)D．8個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積解答即可．
【詳解】解：如圖所示：∵△ABC為等腰三角形，且△ABC的面積為1，

∴滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)C有4個(gè)，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵
5．（2023·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由8個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，線(xiàn)段AB的端點(diǎn)都在小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上，若點(diǎn) C是某個(gè)小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)，連接CA，CB，那么滿(mǎn)足△ABC是等腰三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，正確的找出符合條件的點(diǎn)P是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為軸上一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】A
【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作圓，與x軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，再作線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．
【詳解】解：如圖，
滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類(lèi)討論．
7．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為y軸，BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 ，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB 為等腰三角形，符合條件的 M 點(diǎn)有（ ）
A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)：在同一三角形中，等邊對(duì)等角）”分三種情況解答即可．
【詳解】解：如圖，
①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；
②以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．
③AB的垂直平分線(xiàn)交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M8；
∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線(xiàn)段就能作出等腰三角形來(lái)，思考要全面，做到不重不漏．
8．（2023春·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在折線(xiàn)段中，可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，線(xiàn)段上有一動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線(xiàn)段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為（ ）

A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，則，，三條線(xiàn)段，，不能構(gòu)成三角形，
當(dāng)時(shí)，則，，三條線(xiàn)段，，不能構(gòu)成三角形，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為 ．
【答案】40°或100°
【分析】由該等腰三角形的外角是140°，可求出相鄰的內(nèi)角為40°．分情況討論，①當(dāng)40°角為頂角時(shí)，40°即為所求；②當(dāng)40°角為底角時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出頂角大小．
【詳解】解：根據(jù)題意可知該等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為：，
①當(dāng)40°角為頂角時(shí)，即該等腰三角形頂角度數(shù)為40°；
②當(dāng)40°角為底角時(shí)， 該等腰三角形頂角度數(shù) 。故答案為：40°或100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．注意分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線(xiàn)的夾角是，則底角的度數(shù)是 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意分等腰三角形的頂角是鈍角或銳角兩種情況，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1，

∵，，∴，
∴∴三角形的底角為；
②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖2，
∵，，∴，
∵，∴∴
∴三角形的頂角為，故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．
11．（2023·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)
【分析】根據(jù)等腰直角三角形中直角頂點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論，并結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：①如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC時(shí)，作CP⊥y軸于P點(diǎn)，則∠CPB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，
在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，
由題意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，6)；

②如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC時(shí)，
作CQ⊥x軸于Q點(diǎn)，則∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可證得△BOA≌△AQC，
∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2)；
③如圖所示，點(diǎn)C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC時(shí)，
作BM⊥CN，交CN延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，則∠BMC=∠CNA=90°，
同①理，可證得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，
則，即：，解得：，∴ON=2+1=3，
∴此時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)；
綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案為：(4，6)、(6，2)或(3，3) ．
【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形的確定，掌握等腰直角三角形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．
12．（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線(xiàn)或直線(xiàn)上取點(diǎn)，使得為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有_______個(gè)．
【答案】8
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)：在同一三角形中，等邊對(duì)等角）”分三種情況解答即可．
【詳解】解：如圖，
①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB=AM）；
②以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM=BA）．
③AB的垂直平分線(xiàn)交AC一點(diǎn)M7（MA=MB），交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M8；
∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線(xiàn)段就能作出等腰三角形來(lái)，思考要全面，做到不重不漏．
13．（2023春·上海嘉定·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是 ．
【答案】或
【分析】首先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，即可得到. 然后對(duì)中的邊進(jìn)行討論，然后在中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).
【詳解】∵是的中垂線(xiàn),
∴，
∴，
∵,
∴，
設(shè),則，

①當(dāng)時(shí),
則在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：,
解得: ,則；
②當(dāng)時(shí),, 而
, 故此時(shí)不成立；
③當(dāng)時(shí),
在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到：
，
解得: ，
即的度數(shù)為或，
故答案為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確對(duì) 的邊進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.
14．（2023·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)，交于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線(xiàn)的上方，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則 ，度．

【答案】或或
【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，要使為等腰三角形需分三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，；
綜上，的度數(shù)是或或．
故答案為：40或70或100．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·江西撫州·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)等腰三角形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2∶5，這個(gè)等腰三角形的頂角是 度．
【答案】或
【分析】本題應(yīng)分為當(dāng)頂角較小時(shí)和當(dāng)頂角較大時(shí)兩種情況，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)兩底角相等求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)頂角較小時(shí)，頂角度數(shù)是：，
（2）當(dāng)頂角較大時(shí)，頂角度數(shù)為：，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．注意：在沒(méi)有說(shuō)明誰(shuí)大誰(shuí)小的情況下應(yīng)分為兩種情況．
16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線(xiàn)從射線(xiàn)開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)D，將沿射線(xiàn)翻折至處，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為 ．

【答案】或或
【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫(huà)出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，
當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，
此情況不存在；
當(dāng)時(shí)，

，，
由三角形的外角性質(zhì)得，
解得；
當(dāng)時(shí)，，

∴，
由三角形的外角性質(zhì)得，
解得；
當(dāng)時(shí)，，

∴，
∴；
綜上，的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
17．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一內(nèi)角度數(shù)二倍，我們稱(chēng)這樣的三角形為“倍角三角形”．若等腰為“倍角三角形”，則的頂角度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】分頂角度數(shù)是底角度數(shù)2倍和底角度數(shù)是頂角度數(shù)2倍兩種情況討論分別利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：當(dāng)頂角度數(shù)是底角度數(shù)2倍，頂角：；
當(dāng)?shù)捉嵌葦?shù)是頂角度數(shù)2倍，頂角：．
故的頂角度數(shù)為或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、新定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)校考期中）如圖，已知在中，．過(guò)三角形頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)將分割為兩個(gè)等腰三角形．求的度數(shù)．

【答案】
【分析】分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，設(shè)，
則，
∵，即：，
可得：，
如圖，當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，，
∵，即：，
解得：，即：；
如圖，當(dāng)，時(shí)，
此時(shí)，，
∵，即：，
解得：，即：（不符合題意，舍去）；

如圖，當(dāng)，時(shí)，

此時(shí)，，
∵，即：，
解得：，即：（不符合題意，舍去）；
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
19．（2022春·陜西銅川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．

【答案】或
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，再分兩種情況進(jìn)行討論：①；②．
【詳解】解：在中，，，
．
分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠分類(lèi)討論，難度不是很大，是?？嫉念}目之一．
20．（2023秋·河南商丘·八年級(jí)校考期中）如圖，中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？
(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
(4)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)______________________后，可得到直角三角形．
【答案】(1)6
(2)2
(3)存在，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為8秒
(4)或或或9秒
【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M、N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形，然后表示出，的長(zhǎng)，由于，所以只要，就是等邊三角形；
（3）首先假設(shè)是等腰三角形，可證出，可得，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出、、的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值；
（4）分點(diǎn)N在、、上運(yùn)動(dòng)的三種情況，再分別就是和，列方程求解可得．
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，
則，
解得：，
即當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)6秒后，M、N兩點(diǎn)重合；
（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形，如圖1，
，
，，
∵，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，
∴，
解得，
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)2秒后，可得到等邊三角形；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，
由（1）知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，
如圖2，假設(shè)是等腰三角形，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
在和中，
∵，，，
∴（AAS），
∴，
∴，
解得，符合題意，
所以假設(shè)成立，當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形；
（4）解：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，
，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
如圖4，若，
，
由得，
解得；
當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在上，此時(shí)A、M、N不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，
，
當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由是等邊三角形知，即是直角三角形，
則，
解得；
如圖6，
，
當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由是等邊直角三角形知，即是直角三角形，
則；
綜上，當(dāng)，，，9時(shí)，可得到直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．
21．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)用含t的代數(shù)式表示 ；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，且是等腰三角形時(shí)，求t的值；
(3)用含t的代數(shù)式表示的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)，；時(shí)，；時(shí)，
【分析】（1）先將表示出來(lái)，再根據(jù)即可進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，分別表示出，列出方程求解即可；
（3）根據(jù)題意，進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴等腰中，
∵，
∴，解得：，
（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，
∴，
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，
∴，
③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，
∵，點(diǎn)P做過(guò)的路程為，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，等腰三角形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意列出代數(shù)式；掌握等腰三角形兩腰相等；以及整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
22．（2022秋·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）操作實(shí)踐：中，，請(qǐng)畫(huà)出一條直
線(xiàn)把分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；要求用兩種不同的分割方法

（2）分類(lèi)探究：中，最小內(nèi)角，若被一直線(xiàn)分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)示意圖并寫(xiě)出最大內(nèi)角的所有可能值；以下為備用圖

（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線(xiàn)分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩種不同情況的條件,無(wú)需證明
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析，或或或；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）先對(duì)角分類(lèi)討論，為等腰三角形的頂角時(shí)；為等腰三角形的底角時(shí)；利用三角形內(nèi)角和及外角定理推出另一個(gè)等腰三角形中的內(nèi)角度數(shù)再進(jìn)行頂角和底角的分類(lèi)討論．
根據(jù)（1）（2）中的圖形總結(jié)即可．
【詳解】解：如圖所示：

方法一：兩個(gè)底角的度數(shù)分別為：；方法二：兩個(gè)底角的度數(shù)分別為：；
設(shè)分割線(xiàn)為，相應(yīng)用的角度如圖所示：

圖的最大角，圖的最大角，
圖的最大角，圖的最大角，
故的最大內(nèi)角可能值是或或或；
若一個(gè)三角形能被一直線(xiàn)分割成兩個(gè)等腰三角形，應(yīng)滿(mǎn)足下列條件之一：
該三角形是直角三角形；
該三角形有一個(gè)角是最小角的倍；
該三角形有一個(gè)角是其中一個(gè)角的倍．
【點(diǎn)睛】此題主要考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，本題不僅趣味性強(qiáng)，創(chuàng)造性強(qiáng)，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想，是一道可以體現(xiàn)從性質(zhì)到應(yīng)用的好題．

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