1.掌握平行線等分線段及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容；
2.了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
3.進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺(jué)性，提高推理能力；
知識(shí)點(diǎn)1 平行線分線段成比例
類型1 平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
幾何語(yǔ)言：
圖一
拓展：
.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；
.經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；

圖二
3）經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過(guò)另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。
圖三
類型2 平行線分線段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

圖四 圖五

（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例

知識(shí)點(diǎn)2 相似三角形的相關(guān)概念
在和中，如果
我們就說(shuō)與相似，記作
∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.
注意：
(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；
(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.
知識(shí)點(diǎn)3 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.
判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
【題型1 平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】
【典例1】（2022秋?惠安縣期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，則DF的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式1-1】（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．5D．9
【變式1-2】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，直線a∥b∥c，直線a，b，c分別交直線m，n于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，則DF＝（ ）
A．2B．3C．D．
【典例2】（2023春?任城區(qū)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式2-1】（2023春?羅定市校級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，則BC的長(zhǎng)為（ ）
?
A．3B．4C．5D．6
【變式2-2】（2023?寧化縣模擬）如圖，已知一組平行線a∥b∥c，被直線m、n所截，交點(diǎn)分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，則DE＝（ ）
A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4
【典例3】（2023?市中區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【變式3-1】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
【變式3-2】（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-3】（2023?三明模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．4C．6D．
【題型2 相似三角形的概念】
【典例4】（2022秋?郯城縣校級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【變式4】（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（ ）
A．兩個(gè)等邊三角形
B．兩個(gè)頂角是120°的等腰三角形
C．兩個(gè)全等三角形
D．兩個(gè)直角三角形
【題型3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似】
【典例5】如圖，已知．求證：．
【變式5】（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）填空：∠ABC＝ ，BC＝ ；
（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．
【題型4 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似】
【典例6】（2022秋?銅仁市期末）如圖，D，E分別為AB，AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求證：△ADE∽△ACB．
【變式6-1】（2022秋?泉州期末）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求證：△AOD∽△COB．
【變式6-2】（2023?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求證：△ADE∽△ACB．
【變式6-3】（2022秋?商南縣期末）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．
（1）求CD的長(zhǎng)．
（2）求證：△ABE∽△ACB．
【題型5 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似】
【典例7】（2023?平潭縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC．
【變式7-1】（2023?鳳慶縣二模）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．求證：△ACD∽△ABE．
?
【變式7-2】（2023?涵江區(qū)一模）如圖，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OC，求證：△ABC∽△DCB．
【變式7-3】（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：△CDE∽△AFD．
1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為 ．
5．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．

6．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是 （結(jié)果保留π）；
（2）若＝，則＝ ．
7．（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．
1．（2023?朝陽(yáng)縣三模）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，則DE的長(zhǎng)度是（ ）
A．6B．C．D．
2．（2023?陽(yáng)谷縣一模）如圖，是某商店售賣的花架簡(jiǎn)圖，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，則AB長(zhǎng)為（ ）cm．
B．C．50D．30
3．（2023?仙桃校級(jí)一模）如圖，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．4C．6D．10
4．（2023秋?商水縣期中）如圖，不能判定△AOB和△DOC相似的條件是（ ）
A．OA?OC＝OD?OBB．∠B＝∠C
C．∠A＝∠DD．
5．（2023?昔陽(yáng)縣模擬）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加下列一個(gè)條件，不正確的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．D．
6．（2023秋?高新區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D為AC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜4），連接DE，當(dāng)以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，t的值為（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
7．（2023秋?宜興市月考）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋?魯山縣期中）如圖，已知△MNP．下列四個(gè)三角形，與△MNP相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，下列四個(gè)條件中：①AC2＝AP?AB；②AB?CP＝AP?CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能滿足△APC與△ACB相似的條件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．（2023春?肇源縣期末）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋?商河縣期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．
12．（2023秋?衡南縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F(xiàn)是邊AB上一點(diǎn)，且CB＝CF，過(guò)點(diǎn)A作CF的垂線，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADF∽△ACB．
13．（2023秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿著邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿著邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，△PQB的面積為9cm2？
（2）當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
14．（2023秋?西安期中）如圖，BE是△ABC的角平分線，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)D，使得BC＝CD．求證：△AEB∽△CED．
15．（2023秋?西安期中）如圖，已知點(diǎn)E在△ABC是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB的延長(zhǎng)線上，EF交BC于點(diǎn)D，如果＝，求．
16．（2023秋?興慶區(qū)校級(jí)期中）在△ABC和△AED中，AB?AD＝AC?AE，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC∽△AED．
17．（2023秋?東莞市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE．求證：△ADE∽△ABC．
18．（2022秋?棲霞區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）連接BE、CD，求證：△AEB∽△ADC．
19．（2023?南安市校級(jí)模擬）如圖，A、B、C三點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）請(qǐng)?jiān)贐C上標(biāo)出點(diǎn)D，連接AD，使得△ABD∽△CBA；
（2）試證明上述結(jié)論：△ABD∽△CBA．
20．（2023秋?金安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△PAB中，C、D為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC＝PD．
（1）若PC⊥AB（即C、D重合），則∠APB＝ °時(shí)，△APC∽△PBD；
（2）若PC＝CD，∠APB＝120°，則△APC與△PBD相似嗎？為什么？
（3）當(dāng)∠CPD和∠APB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△APC∽△PBD？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

6.4 探索三角形相似的條件

版本： 蘇科版

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