一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼犝n時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題06 中點(diǎn)弦問題
1．（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)與交于兩點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程．
【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，
因?yàn)?，兩式作差得，即?br>即，所以，
因此直線的方程為，即.
故選：D.
2．（2024上·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的斜率為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)差法求解．
【詳解】設(shè)，則，兩式作差可得，
因?yàn)?，又?br>所以，所以的離心率為.
故選：D
3．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】橢圓的中點(diǎn)弦問題，利用點(diǎn)差法構(gòu)造弦中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，計(jì)算離心率即可．
【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)坐標(biāo)是，所以直線的斜率存在，
則，，直線的斜率．
由，得，
，，
故橢圓的離心率．
故選：B．
4．（2023上·江蘇·高二期中）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意中點(diǎn)弦可以采用點(diǎn)差法求直線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解，但要回代直線進(jìn)行檢驗(yàn)．
【詳解】設(shè)，
則有，兩式相減，得，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，
所以，
因此由，
即直線AB的斜率為，方程為，
代入雙曲線方程中，得，
因?yàn)椋?br>所以線段存在．
故選：C.
5．（2023上·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,作差得的值,即直線的斜率,然后根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線方程即可．
【詳解】設(shè)則
將點(diǎn)代入橢圓方程,兩式作差得
即直線的斜率為
直線的方程為即.
故選：.
6．（2024上·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意涉及到中點(diǎn)弦，采用點(diǎn)差法求解即可．
【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，由題意得：，
兩式作差得：，整理得：，
因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，
所以，
所以，所以，
又因?yàn)椋?
故選：A．
7．（2023上·山東·高二校聯(lián)考期中）已知中心在原點(diǎn)，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由點(diǎn)差法可得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率關(guān)系，運(yùn)算可得解．
【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，
直線的斜率.
由，得，
得，所以，
即，，
，，，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，且，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，的表達(dá)式，再建立方程，求出，然后利用點(diǎn)差法求出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)得解；解法二 由題意知，設(shè)，，，得到，，設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得D的坐標(biāo)，解法三 由題意知，設(shè)，，則得到，，進(jìn)而得到求解．
【詳解】解法一 由題意知，設(shè)，，則，
同理可得．
因?yàn)?，所以?br>由，，兩式相減得，
因?yàn)橹本€AB的斜率為2，所以，所以，
則，所以．
解法二 由題意知，設(shè)，，，
則，
同理可得，因?yàn)?，所以?br>設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立并整理得，
所以，
故，得，又，所以，
故，所以．
解法三 由題意知，設(shè)，，
則，
同理可得，因?yàn)椋裕?br>設(shè)，則，
又，所以，故，，
故選：D．
9．（2023下·河南·高三清豐縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，離心率為，且成等比數(shù)列，A是的一個(gè)頂點(diǎn)，是與A不在軸同側(cè)的焦點(diǎn)，是的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，為的任意一條不過原點(diǎn)且斜率為的弦，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．的一條漸近線的斜率為
B．
C．（分別為直線的斜率）
D．若，則恒成立
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到離心率，進(jìn)而得到，A正確；B選項(xiàng)，求出和的斜率，得到，得到；C選項(xiàng)，利用點(diǎn)差法得到；D選項(xiàng)，設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立，求出，再求出，計(jì)算出，判斷出結(jié)論．
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以且，解得（負(fù)根舍），所以，所以，即的一條漸近線的斜率為，故正確；
B選項(xiàng)，不妨設(shè)為左焦點(diǎn)，為虛軸的上端點(diǎn)，則A為右頂點(diǎn)，
則的斜率的斜率，所以，
所以，故B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)，則，
作差后整理得，即，
所以，故C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，得，則，
，
將換成得，
則與的值有關(guān)，故D錯(cuò)誤．
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點(diǎn)問題時(shí)，也可以用點(diǎn)差法的升級(jí)版—定比點(diǎn)差法，解法快捷．
10．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點(diǎn)，得到，求得，再由時(shí)，證得四點(diǎn)共線不滿足題意，即可求得雙曲線 的離心率的取值范圍．
【詳解】由題意，雙曲線的右焦點(diǎn)為，且，
設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以?br>即，解得，即，
因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，則滿足，
整理得，解得或（舍去），
當(dāng)離心率為時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)，
設(shè)，可得，
又由，兩式相減可得，
即直線的斜率為，
又因?yàn)?，所以，此時(shí)四點(diǎn)共線，此時(shí)不滿足題意，
綜上可得，雙曲線 的離心率的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：
1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；
3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題．
11．（2023上·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則有，，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程相減，再結(jié)合的關(guān)系，可得，從而可得，從而可得答案．
【詳解】解：由題意可得，且，
又因?yàn)椋?br>所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
12．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【答案】B
【分析】設(shè)，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解．
【詳解】設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
可得，
又由，兩式相減得到，可得，
可得，解得或，
聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得，所以.
故選：B.
13．（2023上·湖北·高二校聯(lián)考期中）若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得中點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】因?yàn)閽佄锞€上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，
故和直線垂直，
所以，故，
又，所以，
故中點(diǎn)坐標(biāo)是，即
故選：B
14．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果．
【詳解】設(shè)，
由得：，
線段的中點(diǎn)為，，，
，即直線的斜率為，
直線的方程為：，即.
故選：A.
15．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獟佄锞€，直線交該拋物線于兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”，結(jié)合線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求得答案．
【詳解】設(shè)，則，，
故，
由于線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故由拋物線對(duì)稱性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直線的斜率為.
故選：C
16．（2022上·新疆·高二新疆實(shí)驗(yàn)?？计谥校┮阎c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則到軸的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)以及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再由已知向量關(guān)系求出，的坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)，在拋物線上，聯(lián)立即可求解．
【詳解】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為：，
設(shè)，，，，
則由可得：，
所以，解得，
則到軸的距離為，
故選：B．
17．（2022下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；
【詳解】解：設(shè)，，則，所以，整理得．
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，即直線的斜率為．
故選：C
18．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)、，則，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程．
【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，
若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，則直線的斜率存在，
由已知，兩式作差可得，
所以，直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：A.
19．（2024上·河南開封·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．或
C．弦長(zhǎng)的最大值為D．點(diǎn)一定在直線上
【答案】AD
【分析】先聯(lián)立橢圓與直線的方程，得一元二次方程，用判別式求的取值范圍，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A、B；得出韋達(dá)定理形式，求弦長(zhǎng)的表達(dá)式，判斷選項(xiàng)C；得到中點(diǎn)的坐標(biāo)形式，判斷選項(xiàng)D.
【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
聯(lián)立橢圓與直線的方程，
得：，
由判別式，得，即，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；
韋達(dá)定理：，
弦長(zhǎng)，
當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取最大值，，選項(xiàng)C不正確；
由直線，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，選項(xiàng)D正確．
故選：AD.
20．（2023上·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．直線AB與OM垂直
B．若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線方程為
C．若直線方程為，則點(diǎn)M坐標(biāo)為
D．若直線方程為，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)，可以判斷ABC，對(duì)于D,直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可求得，從而判斷正誤．
【詳解】對(duì)于A：設(shè),則，相減可得，所以，故 A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：根據(jù)，，所以，所以直線方程為，即，故B正確；
對(duì)于C：若直線方程為，點(diǎn)，則，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到，整理得：，解得，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：ACD．
21．（2023上·山東煙臺(tái)·高二?？计谀ǘ噙x題）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓C的離心率為B．存在點(diǎn)A使得
C．若，則D．與的斜率滿足
【答案】ABC
【分析】先由橢圓方程求得a，b，c，從而設(shè)直線AB的方程為：， A．利用離心率公式求解判斷；B．由 ，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍為判斷；C. 利用橢圓的定義求解判斷；D. 由點(diǎn)A，B在橢圓上，利用點(diǎn)差法判斷．
【詳解】解：由橢圓方程知：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則，所以，則，不妨設(shè)，直線AB的方程為：
A.，故正確；
B. ，即，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為4，又橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍為，所以存在點(diǎn)A使得，故正確；
C. 由橢圓的定義得，，故正確；
D. 因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以，兩式相減得，，則，即，所以，故錯(cuò)誤；
故選：ABC
22．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選題）設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】考慮直線斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)在上，可判定A；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元后，利用韋達(dá)定理，得到中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不等于零及驗(yàn)證B,C,D即可．
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)為，
依題知或，此時(shí)線段的中點(diǎn)為，
則選項(xiàng)A中點(diǎn)滿足題意，則A正確；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消去得，
由題知①，，
化簡(jiǎn)為②，
設(shè)，的中點(diǎn)為，
則，
所以，
即，
對(duì)于B,可得，不滿足條件①，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,可得，滿足條件①②故C正確；
對(duì)于D，可得不滿足條件②，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
23．（2023上·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選題）過雙曲線：的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A．僅存在一條直線，使
B．存在直線，使弦的中點(diǎn)為
C．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
D．若，都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是
【答案】CD
【分析】由雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】對(duì)于A，通徑，實(shí)軸故有四條，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，假設(shè)存在直線l，使弦AB的中點(diǎn)為，
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：
，
則，恒成立，
所以，
，
所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，
故不存在這樣的直線l，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
代入點(diǎn)可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)直線l方程為：.
聯(lián)立，得：，
則，恒成立．
所以，，則，.
若A、B都在該雙曲線的右支上，則，
即，所以，解得，故D正確．
故選：CD.
24．（2023上·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選題）已知過雙曲線的左焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線左支交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與弦的中點(diǎn)D的直線交直線于點(diǎn)E，若為等腰直角三角形，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先設(shè)出直線的方程，并代入雙曲線方程得到一元二次方程，然后根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率關(guān)系確定出直線與直線的垂直關(guān)系，得到，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出的值,最后確定出直線的方程．
【詳解】由題意知，設(shè)直線方程為，將方程與雙曲線方程聯(lián)立，整理得.
設(shè)，則，
由韋達(dá)定理得，
所以，，即，
故直線方程為．令，得，即，
所以直線斜率為，所以，因此，
即，解得.
又，所以，所以，
從而直線l方程為或.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題涉及到雙曲線的弦上的中點(diǎn)，可以利用點(diǎn)差法或者韋達(dá)定理，整理得到.
25．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）（多選題）已知雙曲線：，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是
B．若直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則
C．若直線：與雙曲線交于兩點(diǎn)，則的取值范圍
D．若點(diǎn)在雙曲線上，則的最小值是
【答案】BD
【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷A；利用點(diǎn)差法即可判斷B；聯(lián)立直線方程，由題意可得且二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，即可判斷C；將用表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程為，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，則
則，兩式相減得，
即，
所以，即，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故B正確；
對(duì)于C，聯(lián)立，消得，
因?yàn)橹本€：與雙曲線交于兩點(diǎn)，
所以，解得且，
所以的取值范圍，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以且，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確．
故選：BD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：
（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解．
26．（2023上·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選題）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．的面積為
【答案】BC
【分析】求出拋物線C的準(zhǔn)線方程，可求得p的值，可判斷A；利用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理列等式可求得k的值，可判斷B；利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式可判斷C、D.
【詳解】由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為，即，解得，故A錯(cuò)誤；
所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，又直線，
即，所以直線l恒過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，聯(lián)立方程，兩式相減可得，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上，解得，
所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，
由拋物線的定義知，圓Q的半徑，
因?yàn)椋獾?，故B正確；
因?yàn)椋?，故C正確；
因?yàn)橹本€l為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)M到直線l的距離為，所以，故D錯(cuò)誤;
故選：BC.
27．（2023上·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則的直線方程為 .
【答案】
【分析】利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題．
【詳解】由題意，直線斜率存在，設(shè)，，則有，，
在橢圓上，有，，
兩式相減，得，即，
得，即直線的斜率為，
則的直線方程為，即.
故答案為：
28．（2024上·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)是橢圓上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)，直線的斜率恒為，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】利用點(diǎn)差法整理中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，根據(jù)重心的定義，結(jié)合斜率公式以及離心率的定義，可得答案．
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)
則,
且,兩式相減可得,
整理可得，則,
由題意可知共線則,
即，所以,解得,
橢圓C的焦距為，則離心率,解得.
故答案為：.
29．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）己知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為 ．
【答案】
【分析】先由題意求出，再由點(diǎn)差法可以求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，則，
即橢圓，所以P點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，
設(shè)，則，，
兩式相減得，變形得，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
30．（2023下·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程．
【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，
因?yàn)?，兩式作差得，即?br>即，所以，，
因此，直線的方程為，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：
（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解．
31．（2023上·山東泰安·高二山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線被雙曲線所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 .
【答案】
【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，進(jìn)而求得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為，
聯(lián)立方程組，整理得，則，且，
設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，代入直線方程可得，
所以截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
32．（2023上·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若M恰好是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為 ．
【答案】6
【分析】設(shè)，根據(jù)題意利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解．
【詳解】設(shè)，則，
由題意可知：直線l的斜率存在，則，
因?yàn)锳、B在雙曲線上，則，
兩式相減得，則，
即，整理得，
此時(shí)直線，即，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，即直線l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
符合題意，所以直線l的斜率為6.
故答案為：6.
33．（2023上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校╇p曲線E：，過作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若不存在直線l使得P是線段的中點(diǎn)，則t的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)差法,可求得直線的斜率與t之間的關(guān)系,結(jié)合直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),可得滿足P為線段中點(diǎn)時(shí)t的范圍,從而即可得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，設(shè)，若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，
則，又，兩式相減并化簡(jiǎn)可得，
又直線的斜率，即，
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立 ,
化簡(jiǎn)可得
因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，又，
化簡(jiǎn)得，即或，
所以不存在直線l使得P是線段中點(diǎn)的t的取值范圍為，
故答案為：.
34．（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對(duì)稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，利用點(diǎn)差法求得，聯(lián)立方程即可得結(jié)果．
【詳解】由題意可知：直線：的斜率為，
可知直線的斜率，
設(shè)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，
可得，，
因?yàn)锳，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，則，
兩式相減整理得，即，
解得，即直線，
聯(lián)立方程，解得，
可知線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
35．（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率 .
【答案】
【分析】由題意可得直線的斜率存在且不等于，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)線段BM的中點(diǎn)為，連接OQ，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)差法得到，由垂直關(guān)系得到，結(jié)合求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出的齊次式，進(jìn)而可得出答案．
【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．

由題意可得直線的斜率存在且不等于，不妨設(shè)直線的方程為，
因?yàn)椋訠、N、M三點(diǎn)共線，
設(shè)線段BM的中點(diǎn)為，連接OQ，
根據(jù)題意，顯然可得點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，所以，
設(shè)，，，
因?yàn)辄c(diǎn)B，M都在雙曲線上，
則，兩式相減得，
即，
而，，
所以，即，
又因?yàn)?，則，即，
所以，即，
所以，
又，則，
即，故，
所以，
而，故，即，
則雙曲線的離心率．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點(diǎn)問題時(shí)，也可以用點(diǎn)差法的升級(jí)版—定比點(diǎn)差法，解法快捷．
36．（2023下·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 .
【答案】/2.25
【分析】利用點(diǎn)差法和兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)，
則
兩式相減得，
由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即，
.
故答案為：
37．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）不與軸重合的直線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為 .
【答案】
【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得.
【詳解】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即 ，所以，
因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，
即，化簡(jiǎn)得，故，則.
故答案為：
38．（2023下·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點(diǎn)，且點(diǎn)AB在x軸的上方，AB兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率
【答案】
【分析】根據(jù)得為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法得中點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求解．
【詳解】設(shè),，設(shè)的中點(diǎn)為，
由于，故,因此為直角三角形，故，
由于，所以，進(jìn)而可得，故 或，
由在雙曲線漸近線上，所以，
進(jìn)而，
當(dāng)時(shí)，,，所以，
當(dāng)時(shí)，,，所以不符合題意，舍去，
綜上：故離心率為，
故答案為：
39．（2022上·廣西南寧·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為、，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是
①； ②的離心率為； ③若，則的面積為2；
④若的面積為，則為鈍角三角形
【答案】②④
【分析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求邊長(zhǎng)，求出可判斷④．
【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，
兩式相減可得，
由題意可得，且，，，
，，，故②正確；
的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯(cuò)誤，
，
若，不妨設(shè)在右支上，
，又，，
則的面積為，故③不正確；
設(shè)，，，，
將代入雙曲線，得，，
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，，
，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確．
故答案為：②④．
40．（2024上·安徽合肥·高二合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的弦斜率為1，則弦中點(diǎn)的軌跡方程 .
【答案】（）
【分析】聯(lián)立直線于拋物線方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．
【詳解】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
由于，所以，
設(shè),則故
因此，
設(shè)， 由于，則，
故的軌跡方程為，（）
故答案為：（）
41．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的焦距為，短半軸長(zhǎng)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解即可；
（2）利用點(diǎn)差法求解即可．
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>故橢圓C的方程為．
（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，，，
則兩式相減得，整理得．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，
所以，
所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
42．（2024上·四川廣安·高二四川省華鎣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．
(1)經(jīng)過點(diǎn)作直線l交橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．
(2)求雙曲線C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，進(jìn)而得到直線方程；
（2）求出橢圓方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合離心率得到方程組，求出，求出雙曲線方程．
【詳解】（1）設(shè)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)不是AB的中點(diǎn)，不合要求，
故，
則，
兩式相減得，
故，
因?yàn)?，故?br>又，所以，
所以直線l的方程為，即；
（2）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)雙曲線C的方程為，
則，解得，
故雙曲線方程為.
43．（2023上·江蘇南通·高二校考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：.
(1)指出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種曲線，并化簡(jiǎn)其方程；
(2)若過點(diǎn)的直線和曲線相交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．
【答案】(1)橢圓，的方程是：
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可判斷點(diǎn)的軌跡，并求解方程；
（2）先利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率，進(jìn)而求得直線l的方程．
【詳解】（1）設(shè)，，，因?yàn)椋?br>所以，且，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．
設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，
所以，，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)，則，
作差得，除以得，
又由點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則有，所以，
變形可得，所以直線的方程是即，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故直線的方程為.
44．（2023上·新疆伊犁·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中頂點(diǎn)和離心率可求解．
（2）利用“點(diǎn)差法”來求解直線與橢圓相交弦中的中點(diǎn)弦，從而求解．
【詳解】（1）由題意知：，，得：，，
所以：橢圓的方程為：.
（2）設(shè)，，得：，，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則：
得：，化簡(jiǎn)為：，即：，
所以：直線的斜率：，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，
所以：直線的方程為：，即：.
【點(diǎn)睛】對(duì)于直線與與橢圓相交弦中的中點(diǎn)弦，可采用“點(diǎn)差法”快速求解出直線的斜率，從而求解出直線方程．
45．（2023上·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若，是橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為M，
①求直線的方程．
②求的面積．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由離心率，過點(diǎn)，及橢圓的定義列方程組求解即可；
（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法即可求出直線的方程；再利用弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式即可求得面積．
【詳解】（1）由題意得，，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，
由，是橢圓上兩點(diǎn)得，，
兩式相減得，即，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為M，所以，
所以，即，
所以直線的方程為，即；
由得，，
則，
所以，
點(diǎn)到直線的距離，
所以．
46．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由雙曲線的離心率可得，設(shè)出雙曲線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則雙曲線方程可求；
（2）利用“點(diǎn)差法”求直線的斜率，然后結(jié)合的坐標(biāo)可求出的方程．
【詳解】（1）由，得，即，
∴，
設(shè)雙曲線的方程為或，
把代入兩個(gè)方程，得或，
解得（第二個(gè)方程無解），
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，
∵，都在雙曲線上，∴，，
兩式作差可得：，即，
∵為的中點(diǎn)，∴，，
可得，
∴直線的方程為，即，
聯(lián)立，得，
，符合題意．
∴直線的方程為．

47．（2022上·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可得雙曲線的方程；
（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程后做差，再將中點(diǎn)坐標(biāo)代入可得斜率，進(jìn)而可得直線方程．
【詳解】（1）雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，
，解得，
雙曲線的方程為；
（2）線段的中點(diǎn)為，
,
點(diǎn)都在雙曲線上，
，即，
．
直線的方程為，即．
聯(lián)立，消去得，該方程有解，
故直線的方程為.
48．（2023上·山東青島·高二青島二中校考期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)斜率之積為4列出等式，化簡(jiǎn)即可．
（2）首先直線斜率存在且經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)出直線方程并將其與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件算出斜率，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的計(jì)算公式直接計(jì)算即可．
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以?br>化簡(jiǎn)得：．所以的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

設(shè)，，直線方程為，
與聯(lián)立得：，
由且，解得且，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，
所以，解得或（舍去），
所以直線為，所以，
所以.
49．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校聯(lián)考期中）雙曲線：的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線于A，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若存在，求的方程；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可；
（2）利用點(diǎn)差法計(jì)算即可．
【詳解】（1）令，所以，
又由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）假設(shè)存在，
由題意知：該直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，
則，，
又有，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立直線與雙曲線方程得：
，
即直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，
所以存在直線，其方程為.
50．（2023上·河南·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線M：與拋物線有相同的焦點(diǎn)，且M的虛軸長(zhǎng)為4.
(1)求M的方程；
(2)是否存在直線l，使得直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為？若存在，求l的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，詳見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到雙曲線的方程；
（2）根據(jù)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)得到斜率，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程來判斷直線與雙曲線是否相交．
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
依題意可得，
解得，，故M的方程為.
（2）
設(shè)，，
則
兩式相減得.
依題意可得
所以.
所以直線:，即，
聯(lián)立得，，
所以直線l與M不相交，故不存在直線l.
51．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？计谀┤鐖D，已知拋物線，直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記拋物線C上一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用點(diǎn)差法求解即可；
（2）設(shè)，，從而可得，再聯(lián)立直線與拋物線的方程，代入韋達(dá)定理求解即可．
【詳解】（1）不妨設(shè)，，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線C上，所以，
兩式作差得，①
因?yàn)锳，B均在直線l上，所以，
又的中點(diǎn)為，此時(shí)，②
聯(lián)立①②，解得，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由為拋物線C上一點(diǎn)，所以，解得，即，
不妨設(shè)，，此時(shí)，同理得，
所以，③
聯(lián)立消去x并整理得，
由韋達(dá)定理得④
聯(lián)立③④，解得．
52．（2023上·湖南·高二邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知斜率為的直線與拋物線相交所得的弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求拋物線的方程；
(2)點(diǎn)是曲線上位于直線的上方的點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交于點(diǎn)，若為拋物線的焦點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解，
（2）根據(jù)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)可得垂直關(guān)系，即可根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得，進(jìn)而求導(dǎo)得切線斜率，聯(lián)立直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)向量夾角公式求解．
【詳解】（1）設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為，則，
則得，
得，
得，即，解得，
故拋物線的方程是.
（2）證明：設(shè)，又，則，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過點(diǎn)，
所以，則，
即，
則.
由，有，在點(diǎn)處的切線的斜率為，
則切線的方程為，
同理，切線的方程為，
聯(lián)立方程組解得，
由點(diǎn)是曲線上位于直線上方的點(diǎn)，可知，
則，
由于，
則
代入，得
，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或者等量的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求通過化簡(jiǎn)或者結(jié)合性質(zhì)求解．
53．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．
(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；
(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）設(shè)，其中，利用點(diǎn)差法化簡(jiǎn)求出線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；
（2）設(shè)，由直線過點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得，同理可得，代入直線化簡(jiǎn)，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）設(shè)，其中，
由，得，化簡(jiǎn)得，
，即，
線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；
（2）證明：設(shè)，
，
直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，
在直線上，解得，
同理，可得，
，
，
又直線的方程為，即，
直線恒過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查定點(diǎn)定值問題，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，關(guān)于定點(diǎn)定值問題的思路，一般有以下兩種：
1．先猜再證，通過特殊位置或者特殊點(diǎn)得出要求的定點(diǎn)或者定值，再用一般方法證明，對(duì)任意符合條件的直線都成立；
2．邊猜邊做，直接聯(lián)立直線與曲線方程，寫出韋達(dá)定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，找出直線所過的定點(diǎn)或者所求的定值．
54．（2023下·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由題意得到，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得求解；
（2）由（1）得，且直線的斜率存在，設(shè)，，利用點(diǎn)差法求解．
【詳解】（1）由題意得，
當(dāng)軸時(shí)，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
，解得，
故拋物線的方程為；
（2）由（1）得，且直線的斜率存在，
設(shè)，，且，
則，，
，即，
線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，即，
，即直線的斜率，
直線的方程為，即．
55．（2021上·浙江·高二浙江省青田縣中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A是拋物線y2＝2px（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M（2，1）的直線AM與拋物線交于另一點(diǎn)B．
(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)已知點(diǎn)P（2，0），若M為線段AB的中點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．
【答案】(1)B(9，﹣6)
(2)2
【分析】（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)求得拋物線方程和直線AM的方程，然后由直線方程和拋物線方程聯(lián)立可得；
（2）設(shè)直線方程，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積，再由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到參數(shù)關(guān)系代入面積公式，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得．
【詳解】（1）當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，則22＝2p?1，所以2p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝4x，
由題意可得直線AM的方程為：y﹣2（x﹣1），
即x＝﹣y+3，代入拋物線的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，
代入拋物線的方程可得或，所以B（9，﹣6）；
（2）易知直線AB的斜率存在且不等于0，
設(shè)直線AB的方程：x＝my+n，因?yàn)镸在直線AB上，所以m+n＝2，
P到直線AB的距離d，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由M（2，1）是AB的中點(diǎn)可得，y1+y2＝2×1＝2，聯(lián)立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，
所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，
|AB||y1﹣y1|?，
所以S△PAB|AB|?d???，
將pm＝1，代入，S△PAB2，所以當(dāng)m＝2時(shí)，取等號(hào)，
所以△PAB面積的最大值為2．
56．（2022下·河南·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，若MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由焦半徑公式計(jì)算，即可得到拋物線方程；
（2）先由MN的中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線l的斜率，表示出直線方程，
聯(lián)立求出弦長(zhǎng)，計(jì)算出到直線距離，即可求得面積．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>故拋物線C的方程為．
（2）設(shè)，，則，
兩式相減得，所以．
因?yàn)镸N的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，即直線l的斜率為．
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以直線l的方程為，
即．
聯(lián)立方程組，得，
則，．
因?yàn)椋?br>且點(diǎn)到直線l的距離，
所以的面積為．
1．（2013·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【詳解】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?
【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷．
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，
可得，
因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對(duì)于選項(xiàng)A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：D.
3．（2010·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)， 是的焦點(diǎn)，過F的直線 與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為 ,則的方程式為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】∵kAB==1,
∴直線AB的方程為y=x-3.
由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0),
∴c=3,c2=9.
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),
則-=1．整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴雙曲線E的方程為-=1．故選B.
4．（2007·四川·高考真題）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，∴，由弦長(zhǎng)公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運(yùn)算量增大．
5．（2010·山東·高考真題）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0．設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1．故選B.
6．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式和解方程法分別求得關(guān)于的表達(dá)式，得到關(guān)于的方程，利用基本不等式消去參數(shù)，得到關(guān)于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到關(guān)于關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)得解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三利用點(diǎn)差法得到．根據(jù)判別式大于零，得到不等式，通過解方程組求得，代入求解得到的最大值；方法四利用拋物線的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式．作換元，利用點(diǎn)A在橢圓上，得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值
【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法
設(shè)，
由，
，
由在拋物線上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值為，此時(shí).
[方法二]【最優(yōu)解】：
設(shè)直線，.
將直線的方程代入橢圓得：，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
將直線的方程代入拋物線得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為.
[方法三] ：點(diǎn)差和判別式法
設(shè)，其中．
因?yàn)樗裕?br>整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因?yàn)榇嬖?，所以上述關(guān)于的二次方程有解，即判別式． ①
由得．
因此，將此式代入①式解得．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，p的最大值為．
[方法四]：參數(shù)法
設(shè)，
由，得．
令，則，點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程中，得．
所以，此時(shí)M坐標(biāo)為．
7．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：；
（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法，或設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行證明；
（2）方法一：先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出m，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】點(diǎn)差法
設(shè)，，則，．
兩式相減，并由得．
由題設(shè)知，，于是．
由題設(shè)知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，故．
［方法二］：【通性通法】常規(guī)設(shè)線
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直線與橢圓系的應(yīng)用
對(duì)原橢圓作關(guān)于對(duì)稱的橢圓為．
兩橢圓方程相減可得，即為的方程，故．
又點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用
設(shè)l的參數(shù)方程為（為l傾斜角，t為參數(shù)）代入橢圓C中得．設(shè)是線段中點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，是線段中點(diǎn)，知得，即．而點(diǎn)在C內(nèi)得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常規(guī)運(yùn)算＋整體思想
由題意得，設(shè)，則
．
由（1）及題設(shè)得，．
又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．
于是．
同理．所以．故．
［方法二］：硬算
由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，即．
由點(diǎn)P在橢圓上，把坐標(biāo)代入方程解得，即．
由（1）有，直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得，求得，不妨設(shè)，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
［方法三］：【最優(yōu)解】焦半徑公式的應(yīng)用
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，得．
由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，
由橢圓方程可知，
由橢圓的焦半徑公式得，．所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用點(diǎn)差法找出斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)得到不等關(guān)系，即可解出，對(duì)于中點(diǎn)問題，點(diǎn)差法是解決此類問題的常用解法，也是該題的最優(yōu)解；
方法二：常規(guī)設(shè)線，通過聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），再根據(jù)即可解出，該法是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的通性通法；
方法三：；類比直線與圓系，采用直線與橢圓系的應(yīng)用，可快速求出公共弦所在直線方程，從而得出斜率，進(jìn)而得證，避免聯(lián)立過程，適當(dāng)簡(jiǎn)化運(yùn)算；
方法四：利用直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，聯(lián)立求出斜率；
（2）方法一：直接根據(jù)題意運(yùn)算結(jié)合整體思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，計(jì)算量較大，一般不建議使用；
方法三：根據(jù)所求式子特證，利用焦半徑公式，很好的簡(jiǎn)化運(yùn)算，是該題的最優(yōu)解．
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；
（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零．
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立．
9．（2004·北京·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合(如圖).
（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求所在直線的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得，進(jìn)而求得拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)重心坐標(biāo)公式列方程，求得，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)
（3）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程．
【詳解】（1）將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為；
（2）設(shè)，由于，由重心坐標(biāo)公式得，
化簡(jiǎn)得，
所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）設(shè)所在直線斜率為，將代入拋物線方程得，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，解得，所以直線的方程為，即.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線中的中點(diǎn)弦問題，屬于基礎(chǔ)題．

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