一、填空題1．若過(guò)點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A、B兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),則直線AB的方程是_________________.【答案】2x-y-15=0【解析】設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x12-4y12=4,x22-4y22=4,兩式相減得(x1-x2) (x1+x2)=4(y1-y2)(y1+y2),即=2,∴kAB=2.∴AB:2x-y-15=0.2．點(diǎn)P(8,1)平分雙曲線x2－4y2=4的一條弦,則這條弦所在直線的斜率是_______.【答案】23．橢圓中有如下結(jié)論：橢圓上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線上，類比上述結(jié)論：雙曲線上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線上【答案】【解析】試題分析：將橢圓方程中的變?yōu)?/span>，變?yōu)?/span>，右邊變?yōu)?/span>0，于此得到橢圓上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線上. 類比上述結(jié)論，將雙曲線的方程作為上述變換可知：雙曲線上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線.考點(diǎn)：1.類比的思想；2.新定義題. 二、解答題4．已知兩點(diǎn)A（－2,0）和B（2,0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（x－1）2＋y2＝r2（0＜r＜）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】（1）（x≠±2；（2）【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意可得，利用斜率計(jì)算公式即可得出．化簡(jiǎn)即可．（2）把x=1代入曲線C的方程，可得點(diǎn)．由于圓（x－1）2＋y2＝r2的圓心為（1，0），利用對(duì)稱性可知直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．設(shè)直線PE的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立可得坐標(biāo)．進(jìn)而確定直線RQ的斜率為，把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去y整理得．利用弦長(zhǎng)公式可得|RQ|．再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：原點(diǎn)O到直線RQ的距離為d．利用和基本不等式即可得出試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），因?yàn)?/span>kAMkBM＝－，所以，整理得點(diǎn)M所在的曲線的方程為（x≠±2）．把直線RQ的方程y＝x＋b代入橢圓方程，消去y整理得x2＋bx＋b2－3＝0，所以|RQ|＝·＝，原點(diǎn)O到直線RQ的距離為d＝，所以S△ORQ＝··＝≤考點(diǎn)：1．直線與圓錐曲線的關(guān)系；2．軌跡方程5．已知左焦點(diǎn)為F(-1,0)的橢圓過(guò)點(diǎn)E（1,）.過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求k1;(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1) +=1   (2) -   (3)證明見(jiàn)解析（0,-）【解析】(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,①+=1.②②-①,得+=0.所以k1==-=-=-.(3)依題設(shè),k1≠k2.[來(lái)設(shè)M(xM,yM),又直線AB的方程為y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.于是,xM=,yM=,同理,xN=,yN=.此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)（0,-）.當(dāng)k1k2=0時(shí),直線MN即為y軸,此時(shí)亦過(guò)點(diǎn)（0,-）.綜上,直線MN恒過(guò)定點(diǎn),且坐標(biāo)為（0,-）.6．在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）中求過(guò)點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1)既然是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么另一個(gè)焦點(diǎn)必定是點(diǎn)，，，即，，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)只要知道本題中(斜率存在時(shí))，利用這個(gè)等式可迅速求出結(jié)論。試題解析：(1)設(shè)橢圓方程為：，則有：解得：，故所求橢圓方程為.                5分綜上所述，所求軌跡方程為.                10分考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)軌跡方程.7．已知橢圓，（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程。（2）過(guò)A（2，1）的直線L與橢圓相交，求L被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)P（0.5,0.5）且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程。【答案】（1）y=；（2）(去除包含在橢圓內(nèi)部的部分)；（3）2x+4y-3=0。【解析】 (1)設(shè)這些平行弦的方程為y=2x+m,弦的中點(diǎn)為M(x,y).聯(lián)立直線方程和橢圓方程:y=2x+m,消去y得,,因此=-,.M的坐標(biāo)是:x=,y=2x+m,,消去m得:y=.(3)由(2)可得弦所在直線的斜率為k==,因此所求直線方程是:y-=-(x-),化簡(jiǎn)得:2x+4y-3=0.8．（本小題滿分13分）已知過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線相交于P、Q兩點(diǎn)，PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（I）求直線的方程；（II）證明：為定值。【答案】(Ⅰ)  (Ⅱ)  [【解析】（I）設(shè) （2分）①—②得中點(diǎn)坐標(biāo)為則直線的方程為（4分）消去y得③于是（6分）9.已知橢圓（＞＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為.(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)，或.【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，得.所求的橢圓方程為.（Ⅱ）橢圓的焦點(diǎn)為、. 設(shè)直線被橢圓所截的弦MN的中點(diǎn)為.由平行四邊形法則知：.由得：.………………………………………………………………………①若直線的斜率不存在，則軸，這時(shí)點(diǎn)P與重合，，與題設(shè)相矛盾，故直線的斜率存在.由得： ………………………………………………………………………②10.設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn)，以拋物線的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線．（Ⅰ）試求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求；（Ⅲ）對(duì)于直線，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線 (為常數(shù))對(duì)稱，若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的值存在，.（Ⅱ）由得：.設(shè)，則..（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則是線段AB的垂直平分線. 因而，從而. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.由得：，.…………………………………………①由得：.…………………………………………………②由①、②得：.由得：，.又由得：直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，＞0，即＜6，且. 符合題意的的值存在，.11.設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線.（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F；（Ⅱ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得：. 所求的直線的方程為，即12.設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).確定的取值范圍，并求直線AB的方程；【答案】13.設(shè)A、B是雙曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn).（1）求直線AB的方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么？【答案】（1）；（2）略【解析】（1），焦點(diǎn)在上. 由得：，.所求的直線AB方程為，即.（2）設(shè)直線CD的方程為，點(diǎn)在直線CD上，，.直線CD的方程為.又設(shè)弦CD的中點(diǎn)為，由得：，即.由得.點(diǎn)M的坐標(biāo)為.又由得.由兩點(diǎn)間的距離公式可知：.故A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.14.已知拋物線，直線交C于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.（Ⅰ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）證明：，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.代入，得：，整理得：.，，即拋物線C在點(diǎn)N處的切線的斜率等于直線AB的斜率.故拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行.設(shè)，則... 即.化簡(jiǎn)，得：，即..故存在實(shí)數(shù)，使. 

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