新高考物理二輪復習高頻模型專練模型23帶電粒子在磁場中的多解問題（含解析）-試卷下載-教習網

1．如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向外。某時刻一個質子從點(L0，0)處沿y軸負方向進入磁場；一個α粒子同時從點(－L0，0)進入磁場，速度方向在xOy平面內。設質子的質量為m、電荷量為e，不計質子與α粒子的重力和它們之間的相互作用。如果α粒子第一次到達原點時恰能與質子相遇，已知質子和α粒子都帶正電，且α粒子的質量是質子質量的4倍，α粒子帶的電荷量是質子的2倍，則( )
A．質子的速度大小為 SKIPIF 1 < 0
B．質子的速度大小為 SKIPIF 1 < 0
C．兩粒子相遇時，α粒子的運動時間可能是 SKIPIF 1 < 0
D．兩粒子相遇時，α粒子的運動時間可能是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【詳解】
AB．質子的運動軌跡如圖所示。
其圓心在 SKIPIF 1 < 0 處，其半徑 SKIPIF 1 < 0 ，質子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故A錯誤，B正確；
CD．質子在磁場中做勻速圓周運動的周期
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
同理，α粒子的周期是質子周期的2倍；由于α粒子第一次到達原點時恰能與質子相遇，故相遇時質子可能運動了半個周期，也有可能運動了一個半周期。如果相遇時質子只運動了半個周期，則質子的運動時間為
SKIPIF 1 < 0
如果質子運動了一個半周期相遇，則質子的運動時間為
SKIPIF 1 < 0
兩個粒子在原點相遇，則它們運動的時間一定相同，故α粒子的運動時間可能是
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故C正確，D錯誤。
故選BC。
2．如圖所示，兩方向相反、磁感應強度大小均為B的勻強磁場被邊長為L的等邊三角形ABC分開，三角形內磁場垂直紙面向里，三角形頂點A處有一質子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速度不同的質子(質子重力不計)，所有質子均能通過C點，質子比荷 SKIPIF 1 < 0 ＝k，則質子的速度可能為( )
A．2BkLB． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【詳解】
因質子帶正電，且經過c點，其可能的軌跡如圖所示，所有圓弧所對圓心角均為 SKIPIF 1 < 0 ，所以質子運行半徑
r＝ SKIPIF 1 < 0 (n＝1，2，3．．．．．．)
由洛倫茲力提供向心力得
Bqv＝m SKIPIF 1 < 0
即
v＝ SKIPIF 1 < 0 ＝Bk SKIPIF 1 < 0 (n＝1，2，3．．．．．．)
故BD正確。
故選BD。
3．長為 SKIPIF 1 < 0 的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為 SKIPIF 1 < 0 ，板間距離也為 SKIPIF 1 < 0 ，極板不帶電?，F有質量為 SKIPIF 1 < 0 、電荷量為 SKIPIF 1 < 0 的帶正電粒子(重力不計)，從左邊極板間中點處垂直磁場以速度 SKIPIF 1 < 0 水平入射，如圖所示。欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是( )
A．使粒子速度 SKIPIF 1 < 0 B．使粒子速度 SKIPIF 1 < 0
C．使粒子速度 SKIPIF 1 < 0 D．使粒子速度 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【詳解】
如圖所示
設粒子恰好從右邊穿出時圓心在 SKIPIF 1 < 0 點，有
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又因為
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 時粒子能從右邊穿出；
粒子恰好從左邊穿出時圓心在 SKIPIF 1 < 0 點，由
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 時粒子能從左邊穿出。
故選AB。
4．如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d， SKIPIF 1 < 0 ?，F垂直AB邊射入一束質量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t0，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為 SKIPIF 1 < 0 (不計重力)，則下列說法中正確的是( )
A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0
B．該勻強磁場的磁感應強度大小為 SKIPIF 1 < 0
C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為 SKIPIF 1 < 0
D．粒子進入磁場時速度大小為 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【詳解】
A．根據題意垂直 SKIPIF 1 < 0 邊進入，垂直 SKIPIF 1 < 0 邊飛出，經過四分之一個周期，即
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
A正確；
B．洛倫茲力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
粒子運動的周期
SKIPIF 1 < 0
解得磁感應強度
SKIPIF 1 < 0
B正確；
C．粒子與 SKIPIF 1 < 0 邊相切，運動時間最長，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，在磁場中轉過圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，如圖
根據幾何關系可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
C正確；
D．根據 SKIPIF 1 < 0 可知
SKIPIF 1 < 0
D錯誤。
故選ABC。
5．如圖所示，S為一離子源，MN為熒光屏，其長度為 SKIPIF 1 < 0 ，S到MN的距離為SP=L，P為MN的中點，MN的左側區(qū)域有足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。某時刻離子源S一次性沿平行紙面的各個方向均勻地噴發(fā)大量的正離子(此后不再噴發(fā))，噴發(fā)的離子速率均相等、質量均為m、電荷量均為q。不計粒子重力，不考慮離子之間的相互作用力，下列說法正確的是( )
A．若離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為2L，則離子噴發(fā)時的速率為 SKIPIF 1 < 0
B．速率為 SKIPIF 1 < 0 的離子，一定打不到熒光屏上
C．速率為 SKIPIF 1 < 0 的離子，能打中熒光屏的最短時間為 SKIPIF 1 < 0
D．速率為 SKIPIF 1 < 0 的離子，能打到熒光屏MN上的范圍為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【詳解】
A．洛倫茲力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
A錯誤；
B．離子運動的半徑為
SKIPIF 1 < 0
則離子圓周運動直徑
SKIPIF 1 < 0
所以離子一定打不到熒光屏上，B正確；
C．離子運動的半徑為
SKIPIF 1 < 0
離子在距離熒光屏最短弦長為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 距離，對應圓心角最小，如圖
則打在熒光屏上的最短時間為
SKIPIF 1 < 0
C錯誤；
D．因為離子半徑滿足
SKIPIF 1 < 0
則離子打到熒光屏上的臨界距離滿足與板上邊界相切于 SKIPIF 1 < 0 點，下邊界剛好擊中 SKIPIF 1 < 0 點，此時有
SKIPIF 1 < 0
根據幾何關系可知打在熒光屏上的距離為
SKIPIF 1 < 0
D正確。
故選BD。
6．如圖為“EAST超導托卡馬克核聚變實驗裝置”的簡化模型：把核材料約束在半徑為r2的圓形區(qū)域內，等離子體只在半徑為r1的圓形區(qū)域內反應，環(huán)形區(qū)域(約束區(qū))存在著垂直于截面的勻強磁場。假設約束的核聚變材料只有氕核( SKIPIF 1 < 0 )和氘核( SKIPIF 1 < 0 )，已知氕核( SKIPIF 1 < 0 )的質量為m，電量為q，兩個同心圓的半徑滿足r2＝( SKIPIF 1 < 0 ＋1)r1，只研究在紙面內運動的核子，不考慮核子間的相互作用、中子和質子的質量差異以及速度對核子質量的影響。設核聚變材料氕核( SKIPIF 1 < 0 )和氘核( SKIPIF 1 < 0 )具有相同的動能Ek，則以下說法正確的是( )
A．氕核( SKIPIF 1 < 0 )和氘核( SKIPIF 1 < 0 )的比荷之比為1：2
B．氕核( SKIPIF 1 < 0 )和氘核( SKIPIF 1 < 0 )分別在環(huán)形區(qū)域做勻速圓周運動的半徑之比為1： SKIPIF 1 < 0
C．為了約束從反應區(qū)沿不同方向射入約束區(qū)的核子，則環(huán)形磁場區(qū)域所加磁場磁感應強度B滿足的條件為B> SKIPIF 1 < 0
D．若約束區(qū)的磁感應強度為B0，氕核( SKIPIF 1 < 0 )從圓心O點沿半徑方向以某一速度射入約束區(qū)，恰好經過約束區(qū)的外邊界，則氘核( SKIPIF 1 < 0 )再次回到反應區(qū)所用時間t＝ SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【詳解】
A．氕核( SKIPIF 1 < 0 )和氘核( SKIPIF 1 < 0 )的比荷之比為
SKIPIF 1 < 0
故A錯誤；
B．根據
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
則半徑之比為
SKIPIF 1 < 0
故B正確；
C．如圖1所示，當離子的速度沿與內邊界圓相切的方向射入磁場，且軌道與磁場外圓相切時所需磁場的磁感應強度B，即為要求的值，設軌跡圓的半徑為R1，由幾何關系得
SKIPIF 1 < 0
根據
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C正確；
D．如圖2所示，由幾何關系得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
離子在b區(qū)域中做勻速圓周運動的周期 SKIPIF 1 < 0 ，離子在b區(qū)域中一次運動的時間
SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立解得
SKIPIF 1 < 0
故D正確。
故選BCD。
7．如圖所示，真空室內有一個點狀的α粒子放射源P，它向各個方向發(fā)射α粒子(不計重力)，速率都相同。ab為P點附近的一條水平直線(P到直線ab的距離PC=L)，Q為直線ab上一點，它與P點相距PQ= SKIPIF 1 < 0 L(現只研究與放射源P和直線ab同一個平面內的α粒子的運動)，當真空室內(直線ab以上區(qū)域)只存在垂直該平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場時，水平向左射出的α粒子恰到達Q點。(α粒子的電荷量為+q，質量為m；sin37°=0.6；cs37°=0.8)求：
(1)α粒子的發(fā)射速率；
(2)能到達直線ab的α粒子所用最長時間和最短時間的比。
【答案】(1)v= SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)設α粒子做勻速圓周運動的半徑R，過O作AO垂直于PQ，垂足為A，如圖所示：

由幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
代入數據可得α粒子軌跡半徑
SKIPIF 1 < 0
洛倫茲力提供向心力，有
SKIPIF 1 < 0
解得α粒子發(fā)射速度為
SKIPIF 1 < 0
(2)粒子的運動軌跡圓弧O1和直線ab相切于D點時，α粒子轉過的圓心角最大，運動時間最長，如圖所示：

由幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
則
SKIPIF 1 < 0
最大圓心角：
SKIPIF 1 < 0
最長時間：
SKIPIF 1 < 0
粒子的運動軌跡圓弧O2經C點時，α粒子轉過的圓心角最小，運動時間最短，由幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
則
SKIPIF 1 < 0
最小圓心角
SKIPIF 1 < 0
最短時間
SKIPIF 1 < 0
則最長時間和最短時間的比值為
SKIPIF 1 < 0
8．如圖所示，左、右邊界分別為PP′、QQ′的勻強磁場的寬度為d，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。一個質量為m、電荷量絕對值為q的微觀粒子，沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場。欲使粒子不能從邊界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？(粒子不計重力)
【答案】若粒子帶正電，最大速度為 SKIPIF 1 < 0 ；若粒子帶負電，最大速度為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
解得半徑為
SKIPIF 1 < 0
若粒子帶正電，最大半徑的軌跡如圖
根據幾何關系可知
SKIPIF 1 < 0
解得半徑為
SKIPIF 1 < 0
則粒子入射速度最大值為
SKIPIF 1 < 0
若粒子帶負電，運動軌跡如圖
根據幾何關系可知
SKIPIF 1 < 0
同理解得速度最大值為
SKIPIF 1 < 0
9．如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示，設垂直紙面向里的磁場方向為正方向。有一群正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產生的電場的影響。求：
(1)磁感應強度B0的大??；
(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，(2) SKIPIF 1 < 0 (n=1，2，3…)。
【詳解】
(1)正離子射入磁場，由洛倫茲力提供向心力，即：
qv0B0= SKIPIF 1 < 0
做勻速圓周運動的周期：
T0= SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立兩式得磁感應強度：B0= SKIPIF 1 < 0 ；
(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，兩板之間正離子只運動一個周期即T0時，v0的方向應如圖所示，有：
r= SKIPIF 1 < 0
當在兩板之間正離子共運動n個周期，即nT0時，有
r= SKIPIF 1 < 0 (n=1，2，3…)
聯(lián)立方程求解，得正離子的速度的可能值為：
v0= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (n=1，2，3…)
10．如圖所示，半徑為a的圓內有一固定的邊長為1.5a的等邊三角形框架ABC，框架中心與圓心重合，S為位于BC邊中點處的狹縫．三角形框架內有一水平放置帶電的平行金屬板，框架與圓之間存在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場．一束質量為m、電量為q，不計重力的帶正電的粒子，從P點由靜止經兩板間電場加速后通過狹縫S，垂直BC邊向下進入磁場并發(fā)生偏轉．忽略粒子與框架碰撞時能量與電量損失．求：

(1)要使粒子進入磁場后第一次打在SB的中點，則加速電場的電壓為多大？
(2)要使粒子最終仍能回到狹縫S，則加速電場電壓滿足什么條件？
(3)回到狹縫S的粒子在磁場中運動的最短時間是多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】
(1)帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，進入磁場后做圓周運動，結合幾何關系找到半徑，求解加速電場的電壓；(2)要使粒子能回到S，則每次碰撞時粒子速度都應與邊垂直，則可能的情況是：粒子與框架垂直碰撞，繞過三角形頂點時的軌跡圓弧的圓心應位于三角形頂點上，即SB為半徑的奇數倍；要使粒子能繞過頂點且不飛出磁場，臨界情況為粒子軌跡圓與磁場區(qū)域圓相切；(3)根據帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圖，找到圓周運動的圓心角，結合圓周運動周期公式，求出在磁場中運動的最短時間；
【詳解】
(1)粒子在電場中加速，qU＝ SKIPIF 1 < 0 mv2
粒子在磁場中，qvB＝ SKIPIF 1 < 0
r＝ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
(2)要使粒子能回到S，則每次碰撞時粒子速度都應與邊垂直，則r和v應滿足以下條件：
①粒子與框架垂直碰撞，繞過三角形頂點時的軌跡圓弧的圓心應位于三角形頂點上，即SB為半徑的奇數倍，
即 SKIPIF 1 < 0 (n＝1，2，3，… )
②要使粒子能繞過頂點且不飛出磁場，臨界情況為粒子軌跡圓與磁場區(qū)域圓相切，
即r≤a－ SKIPIF 1 < 0 a
解得n≥3.3，即n＝4，5，6…
得加速電壓 SKIPIF 1 < 0 (n＝4，5，6，…)．
(3)粒子在磁場中運動周期為T
qvB＝ SKIPIF 1 < 0 ，T＝ SKIPIF 1 < 0
解得T＝ SKIPIF 1 < 0
當n＝4時，時間最短，即 tmin＝3×6× SKIPIF 1 < 0 ＋3× SKIPIF 1 < 0 T＝ SKIPIF 1 < 0 T
解得tmin＝ SKIPIF 1 < 0 .
11．如圖所示，真空中有以O和O＇為圓心，半徑都為r=10cm的圓柱形勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，磁場的感應強度大小相等B=0.2T，方向垂直于紙面(xy平面)向里。圓柱O沒有筒壁，圓柱O＇的筒壁光滑絕緣，粒子與筒壁碰撞后，粒子電量和速度大小不變，方向遵循反射定律。圓柱O＇與x軸的交點開有兩個小孔A、C，并在C處裝有閥門，控制粒子通過。在y1=10cm到y(tǒng)2=15cm的區(qū)域存在平行于y軸，方向沿y軸負方向的勻強電場?，F打開閥門C，有一帶正電的粒子在y軸上的y2=15cm處靜止釋放，穿出電場后依次進入勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，經磁場偏轉，與筒壁碰撞后從C孔離開磁場，到達位于x=40cm處平行于y軸的熒光屏MN，熒光屏就發(fā)光。帶電粒子的比荷1×108C/kg。不計粒子重力。求：
(1)電場強度的大小；
(2)若帶電粒子從y2=15cm，x坐標在-5cm≤x≤5cm范圍內的某位置靜止開始進入電場加速，然后進入勻強磁場，粒子進入磁場開始計時，在t=2π×10-7s時刻關閉閥門C；
①從A孔出去的粒子，與x軸夾角的范圍；
②能夠從C孔離開磁場的粒子到達熒光屏的位置(用縱坐標y來表示)。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 V/m；(2)① SKIPIF 1 < 0 ，②y=0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。
【詳解】
(1)根據幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
由動能定理可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0 V/m
(2)①根據幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
②
SKIPIF 1 < 0
粒子在筒壁兩次碰撞點對圓心的夾角
SKIPIF 1 < 0
所以
SKIPIF 1 < 0
粒子與壁碰撞n-l次后從C處飛出。
SKIPIF 1 < 0 (k=0，1，2，……)
SKIPIF 1 < 0 (k=0，1，2，……)
所以
SKIPIF 1 < 0 ，且n與2k+1互質。
當k=0，n只能取2，3。在磁場中的運動時間小于2T
n=2時， SKIPIF 1 < 0 ，θ=0
到達熒光屏的位置
y=0
n=3時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，到達熒光屏的位置
SKIPIF 1 < 0
當k=1，n可以取5，7，8。在磁場中的運動時間小于2T
n=5時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，到達熒光屏的位置
SKIPIF 1 < 0
n=7時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。到達熒光屏的位置
SKIPIF 1 < 0
n=8時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。到達熒光屏的位置
SKIPIF 1 < 0
12．如圖所示，MN長為3L，NP長為4L的矩形MNPQ區(qū)域內，存在以對角線MP為分界線的兩個勻強磁場區(qū)域I和II，方向均垂直紙面向外，區(qū)域I的磁感應強度大小可調，區(qū)域II的磁感應強度大小為B。一質量為m、電量為q的帶正電粒子從M點以平行于MN邊的方向射入磁場I區(qū)域中，速度大小為 SKIPIF 1 < 0 ，不計粒子所受重力，矩形外邊線上均存在磁場。(sin SKIPIF 1 < 0 =0.6，cs SKIPIF 1 < 0 =0.8)
(1)若粒子無法進入區(qū)域II中，求區(qū)域I磁感應強度大小范圍；
(2)若區(qū)域I的磁感應強度大小 SKIPIF 1 < 0 ，求粒子在磁場中的運動時間；
(3)若粒子能到達對角線MP的中點O點，求區(qū)域I磁場的磁感應強度大小的所有可能值。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)若粒子由區(qū)域Ⅱ達到O點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；若粒子由區(qū)域I達到O點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)當粒子速度一定時，磁感應強度越小則粒子運動的半徑越大，當運動軌跡恰好與NP相切時，粒子恰好不能進入區(qū)域Ⅱ，故粒子運動半徑R＞3L，由
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
(2)粒子在區(qū)域I中運動：由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，解得
R=L
粒子在區(qū)域Ⅱ中運動
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
畫出軌跡如圖所示，在區(qū)域I中運動所對應的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，在區(qū)域Ⅱ中運動所對應的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，所以粒子在磁場中運動的時間
SKIPIF 1 < 0
(3)因為粒子在區(qū)域Ⅱ中的運動半徑 SKIPIF 1 < 0 ，若粒子在區(qū)域I中的運動半徑R較小，則粒子會從MQ邊射出磁場，若粒子恰好不從MQ邊射出時應滿足粒子運動軌跡與MQ相切，如圖所示
∠O2O1A= SKIPIF 1 < 0 ，sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
又因為
sin SKIPIF 1 < 0 =2sin SKIPIF 1 < 0 cs SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
①若粒子由區(qū)域Ⅱ達到O點，每次前進
SKIPIF 1 < 0
由周期性可得
MO=nMC2(n=1，2，3……)
即
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得
n≤3
n=1時： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
n=2時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
n=3時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
②若粒子由區(qū)域I達到O點
由周期性可得
MO=MC1+nMC2(n=0，1，2，3……)
即
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
解得
n≤ SKIPIF 1 < 0
n=0時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
n=1時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
13．空間存在兩個垂直于 SKIPIF 1 < 0 平面的勻強磁場，y軸為兩磁場的邊界，磁感應強度分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 。甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點O沿x軸正向射入磁場，速度均為v。甲第1次、第2次經過y軸的位置分別為P、Q，其軌跡如圖所示。甲經過Q時，乙也恰好同時經過該點。已知甲的質量為m，電荷量為q。不考慮粒子間的相互作用和重力影響。求：
(1)Q到O的距離d；
(2)甲兩次經過P點的時間間隔 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)乙的比荷 SKIPIF 1 < 0 可能的最小值。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
Q、O的距離為：
SKIPIF 1 < 0
(2)由(1)可知，完成一周期運動上升的距離為d，粒子再次經過P，經過N個周期，
SKIPIF 1 < 0
所以，再次經過P點的時間為
SKIPIF 1 < 0
由勻速圓周運動的規(guī)律得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
繞一周的時間為
SKIPIF 1 < 0
所以，再次經過P點的時間為
SKIPIF 1 < 0
兩次經過P點的時間間隔為
SKIPIF 1 < 0
(3)由洛倫茲力提供向心力，由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
完成一周期運動上升的距離
SKIPIF 1 < 0
若乙粒子從第一象限進入第二象限的過程中與甲粒子在Q點相遇，則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
結合以上式子，n無解。
若乙粒子從第二象限進入第一象限的過程中與甲離子在Q點相遇，則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
計算可得
SKIPIF 1 < 0 (n=1，2，3……)
由于甲乙粒子比荷不同，則n=2時，乙的比荷 SKIPIF 1 < 0 最小，為
SKIPIF 1 < 0
14．在如圖甲所示的xOy平面內，y軸右側空間有分布均勻、隨時間變化的電場和磁場，其變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示，以y軸正方向為電場強度的正方向，電場強度大小為E0、2E0、3E0、……；垂直xOy平面向外為磁場的正方向。t=0時刻，質量為m、電荷量為q的負粒子，以初速度v0從坐標原點O沿x軸正方向射入，不計粒子的重力。已知磁感應強度大小 SKIPIF 1 < 0 ，求該粒子在：
(1)t0時刻的速度大??；
(2)2t0時刻的位置坐標；
(3)nt0(n=1，2，3，…)時刻的動能。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(3)當n為偶數時 SKIPIF 1 < 0 (n=2，4，6……)；當n為奇數時 SKIPIF 1 < 0 (n=1，3，5……)
【詳解】
(1)帶電粒子在偏轉電場中做類平拋運動，沿y軸負方向的速度為
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根據
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
(2)粒子在 SKIPIF 1 < 0 時間內在電場運動，則水平位移為
SKIPIF 1 < 0
豎直位移有
SKIPIF 1 < 0
粒子在 SKIPIF 1 < 0 時間內是在磁場內做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則有
SKIPIF 1 < 0
周期
SKIPIF 1 < 0
由題意可得，粒子運動軌跡如圖所示
根據幾何關系，可知水平位移為
SKIPIF 1 < 0
豎直位移為
SKIPIF 1 < 0
則2t0時刻的位置坐標為
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)由于粒子每次經過磁場時初末速度相同，每次經過電場，在y軸負方向不斷加速，經k次電場時，
SKIPIF 1 < 0 (k=1，2，3……)
當n為偶數時n=2k
SKIPIF 1 < 0 (n=2，4，6……)
當n為奇數時n=2k-1
SKIPIF 1 < 0 (n=1，3，5……)
SKIPIF 1 < 0 時刻的動能為
SKIPIF 1 < 0
當n為偶數時
SKIPIF 1 < 0 (n=2，4，6……)
當n為奇數時
SKIPIF 1 < 0 (n=1，3，5……)
15．在空間建立直角坐標系xy，以坐標原點O為圓心作兩個半徑分別為r和R的同心圓，小圓與兩坐標軸分別交于M、P、兩點，Q也是小圓上的一點；兩圓將空間分隔成三個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。在區(qū)域Ⅰ內存在垂直于坐標平面向里的勻強磁場，區(qū)域Ⅱ內也存在垂直于坐標平面的勻強磁場，區(qū)域Ⅲ內沒有磁場。一個不計重力、帶電量為+q、質量為m的粒子從M點沿－y方向進入磁場，從P點進入區(qū)域Ⅱ，又從Q點再次回到區(qū)域Ⅰ。已知∠POQ＝60°，求：
(1)求區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ內磁場的磁感應強度；
(2)若要使粒子約束在磁場內，求大圓半徑R的最小值；
(3)粒子在磁場中運動的周期。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，垂直xy平面向里； SKIPIF 1 < 0 ，垂直xy平面向外；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)設在區(qū)域Ⅰ內軌跡圓半徑為r1=r
由牛頓第二定律得
SKIPIF 1 < 0
則區(qū)域Ⅰ磁場的磁感應強度為
SKIPIF 1 < 0
垂直紙面向里
設粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為r2，部分軌跡如圖所示，由幾何關系得
SKIPIF 1 < 0
由牛頓第二定律得
SKIPIF 1 < 0
所以
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
方向與B1相反，即垂直xy平面向外
(2)由幾何關系得
R＝2r2+r2＝3r2
即
R= SKIPIF 1 < 0
(3)軌跡從M點到Q點對應圓心角θ=90°+60°=150°，要仍從M點沿y軸負方向射入，需滿足：150n=360m，m、n屬于自然數，即取最小整數m=5，n=12，其中區(qū)域Ⅰ做圓周運動周期
T1= SKIPIF 1 < 0
區(qū)域Ⅰ做圓周運動周期
T2= SKIPIF 1 < 0
粒子在磁場中運動的周期
T=12(T1+T2)= SKIPIF 1 < 0
16．運動的合成與分解告訴我們一個復雜合運動可看成幾個簡單分運動同時進行，比如平拋運動：如果我們想直接得到它的軌跡方程就比較困難，為方便處理，我們將合運動分解成一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動同時進行。這種思想方法得到了廣泛的應用。如圖所示，一人工轉變核反應的反應區(qū)A，內有α粒子以速率v′轟擊靜止的鈹核( SKIPIF 1 < 0 )，單位時間發(fā)射大量α粒子，發(fā)生核反應生成碳核(碳12)和另一個核子，三者速度在同一直線上，且碳核速度與α粒子入射速度同向。反應區(qū)A的大小忽略不計，碳核僅在如圖所示的豎直平面內，從反應區(qū)A限定角度內可以沿各個方向按平面機會均等地射出，其速率為 SKIPIF 1 < 0 (θ為碳核與水平方向的夾角，θ最大為75°)。整個空間處于一個向右的場強為B的勻強磁場中，距離反應區(qū)右側d位置處有一個圓屏，圓心O與反應區(qū)A的連線垂直于圓屏。(不考慮粒子重力作用及生成物間的相互作用)。已知電子電荷量大小為e，中子和質子質量均為m，于是各粒子的質量和電荷量均可表示，求：
(1)寫出核反應方程式，書寫時請推斷出核反應生成的另一核子，并計算θ=0時另一核子的速率；
(2)若單位時間內 SKIPIF 1 < 0 數量的碳核打到圓屏上，求圓屏的半徑；
(3)若已知圓屏的半徑為R，求單位時間內打到圓屏上碳核的數目占總生成碳核的百分比。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)見解析
【詳解】
(1)核反應方程式為
SKIPIF 1 < 0
反應前后動量守恒，有
SKIPIF 1 < 0
當θ=0時，解得
SKIPIF 1 < 0
(2)生成碳核速度v分解成水平方向與豎直方向，水平分速度為 SKIPIF 1 < 0 ，水平方向做勻速運動，豎直面內，豎直分速度 SKIPIF 1 < 0 ，做勻速圓周運動，則有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
圓周運動周期為
SKIPIF 1 < 0
向左射出的碳核不能達到圓屏所在的豎直面，只有向右射碳核才能到達豎直面，向右射出的碳核從反應區(qū)到圓屏平面的時間為
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即碳核正好轉過 SKIPIF 1 < 0 個圓周，對應圓心角β=120°，碳核做圓周運動的半徑為
SKIPIF 1 < 0
θ為碳核與水平方向的夾角，θ最大為75°，單位時間內 SKIPIF 1 < 0 數量的碳核打到圓屏上，則θ=60°。由幾何關系可得
SKIPIF 1 < 0
(3)綜上分析，圓屏的半徑為R，碳核的數目占總生成碳核的百分比為k，當θ最大為75°時，碳核打到圓屏上的位置距離圓心
SKIPIF 1 < 0
a.當 SKIPIF 1 < 0 時，向右射出的碳核粒子能夠全部打到圓屏上，k=50%；
b.當 SKIPIF 1 < 0 時，碳核做圓周運動的半徑
SKIPIF 1 < 0
則
SKIPIF 1 < 0
及
SKIPIF 1 < 0
17．如圖甲所示，長方形MNPQ區(qū)域(MN=PQ=3d，MQ與NP邊足夠長)存在垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度為B。有一塊長為5d、厚度不計的熒光屏ab，其上下兩表面均涂有熒光粉，平行NP邊放置在磁場中，且與NP邊相距為d，左端a與MN相距也為d。電子由陰極K均勻地發(fā)射出來(已知電子質量為m、電荷量為e、初速度可視為零)經加速電場加速后，沿MN邊進入磁場區(qū)域，若電子打到熒光屏就被吸收。忽略電子重力和一切阻力，求：
(1)如果加速器的電壓為U，求電子剛進入磁場的速度大??；
(2)調節(jié)加速電壓，求電子落在熒光屏上，使熒光屏發(fā)光的區(qū)域長度；
(3)若加速電壓按如圖乙所示的圖象變化，求從t=0開始一個周期內，打在熒光屏上的電子數相對總電子數的比例；并分析提高該比例的方法，至少提出三種。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)62.5%；方法見解析
【詳解】
(1)根據
SKIPIF 1 < 0
求得
SKIPIF 1 < 0
(2)打在熒光屏a點的電子，由幾何關系得
SKIPIF 1 < 0
求得
SKIPIF 1 < 0
①若減小粒子的速度，粒子打到熒光屏的下表面，臨界條件是軌跡相切于c點，是粒子的最小速度，
由幾何關系可知，對應粒子做圓周運動的半徑
SKIPIF 1 < 0
因此ac區(qū)域長度是
SKIPIF 1 < 0
②若增大粒子的速度，粒子打到熒光上表面，臨界條件是粒子運動軌跡與NP相切，
由幾何關系得
SKIPIF 1 < 0
那么
SKIPIF 1 < 0 ，
求得
SKIPIF 1 < 0
由于
SKIPIF 1 < 0
那么
SKIPIF 1 < 0
發(fā)光區(qū)域的總長度為
SKIPIF 1 < 0
(3)由第(2)步可知，粒子半徑在 SKIPIF 1 < 0 的區(qū)間內，粒子能打在熒光屏上
結合
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
可求得：當 SKIPIF 1 < 0 時粒子能打在熒光屏上
因此
SKIPIF 1 < 0
提高粒子打在熒光屏上比率的方法：
①擴大熒光屏上方磁場區(qū)域②熒光屏左端適當往左移一些③熒光屏適當往MQ端移動④適當減小加速電壓的最大值⑤適當增大加速電壓的最小值
18．利用電磁場可以控制帶電粒子的速度大小與方向。在圖示坐標系的第Ⅱ象限，存在一個圓心為坐標原點的 SKIPIF 1 < 0 圓環(huán)狀的均勻輻向電場，圓環(huán)在y軸上的截面長度為R，電場中各點電勢為 SKIPIF 1 < 0 ，式中k為正的已知常量，r為該點到圓心O的距離。在y軸右側，圓心為(R，0)、半徑為R的虛線圓內分布著方向垂直于圓面的勻強磁場，在 SKIPIF 1 < 0 處有一豎直放置的足夠長的探測屏。今在圓弧的 SKIPIF 1 < 0 點放置一個離子源，能不斷釋放質量為m、電荷量為 SKIPIF 1 < 0 的帶電離子。當磁場的磁感應強度大小為 SKIPIF 1 < 0 時，這些經電場加速的離子剛好能從磁場區(qū)域最高點射出。忽略離子初速度，不計離子重力及相互作用力，不考慮空氣阻力。
(1)求離子在磁場中的速率v；
(2)若磁場的磁感應強度大小可調，求離子打在屏上的縱坐標y與磁感應強度大小B、原磁感應強度大小 SKIPIF 1 < 0 的關系式；
(3)若將離子源沿環(huán)形電場外邊界緩慢移動，使所有離子均沿豎直方向射出磁場，求磁場區(qū)域的最小面積，畫出磁場形狀并標明磁感應強度的大小與方向。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)見解析
【詳解】
(1)扇形電場的電勢差為
SKIPIF 1 < 0
離子在加速電場中根據動能定理有
SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立解得速率
SKIPIF 1 < 0
(2)改變磁場磁感應強度 SKIPIF 1 < 0 ，離子運動軌跡如下圖所示
則離子打在屏上的縱坐標
SKIPIF 1 < 0
二倍角公式
SKIPIF 1 < 0
兩半徑滿足
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立解得
SKIPIF 1 < 0
(3)兩種可能情形：一是射出磁場的離子均沿整直向下( SKIPIF 1 < 0 )方向，所需磁場區(qū)域的最小面積為
SKIPIF 1 < 0
磁場形狀及磁感應強度的大小與方向如下圖所示
二是射出磁場中的離子均沿豎直向上( SKIPIF 1 < 0 )方向，所需磁場區(qū)域的最小面積為
SKIPIF 1 < 0
磁場形狀及磁感應強度的大小與方向如下圖所示
19．如圖甲所示，空間中有一半徑為2r，邊界處由特殊絕緣材料制成圓筒，粒子打到邊界會被筒壁反彈(反射后粒子動能不變，其反射規(guī)律類似于光的鏡面反射規(guī)律)。筒內有垂直紙面向外的勻強磁場，其大小隨時間呈周期變化(如圖乙所示)，周期為T(未知)。以圓心O為原點建立坐標軸， O處有一質量為m，帶電量為+q的粒子，在t=0時刻以速度v0沿向y軸正方向進入磁場，經t=0.4T恰能第一次返回O點。已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，粒子不計重力。求：
(1)通過計算，試畫出粒子剛進入磁場至第一次返回O點的運動軌跡；
(2)磁場變化的周期T；
(3)粒子經過M(-r，0)點可能的時刻t。
【答案】(1)；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (n=0，1，2，3……)
【詳解】
令粒子在 SKIPIF 1 < 0 中運動的軌跡半徑為R，則
(1)洛倫茲力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
經分析，軌跡如圖1所示
(2)令粒子在 SKIPIF 1 < 0 中的運動周期為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0
由(1)作圖可知：第一次經過O點的時刻
SKIPIF 1 < 0
故
SKIPIF 1 < 0
(3)當 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知粒子在2B0中運動的軌道半徑
SKIPIF 1 < 0
粒子在2B0中運動的周期
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 當時，粒子恰回到O點(如圖2)
當粒子第一次過M點時
SKIPIF 1 < 0
當粒子第二次過O點時
SKIPIF 1 < 0
經分析粒子運動的大周期
SKIPIF 1 < 0
(如圖3)
當第二次經過M點時
SKIPIF 1 < 0
所以經過M點時刻為
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (n=0，1，2，3……)
20．真空中有如圖所示的周期性交變磁場，設磁感應強度B垂直紙面向里為正方向，B0=1T，t0=π×l0-5s，k為正整數。某直角坐標系原點O處有一粒子源，在t=0時刻沿x軸正方向發(fā)射速度為v0=103m/s的正點電荷，比荷 SKIPIF 1 < 0 =1×l06C/kg，不計粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁場中運動的軌道半徑和粒子第3次(從O點出發(fā)記為第1次)經過y軸時的時刻；
(2)若k=2，求粒子在運動過程中與y軸交點坐標的最大值和最小值；
(3)若t0= SKIPIF 1 < 0 10-5s，則k取何值時，粒子可做周期性循環(huán)運動回到出發(fā)點？并求出循環(huán)周期的最小值Tmin和相應的k值。
【答案】(1)0.001m； SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；(3)當 SKIPIF 1 < 0 取非 SKIPIF 1 < 0 的正整數時，均可以回到出發(fā)點；當 SKIPIF 1 < 0 時，最小循環(huán)周期為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 時，因為 SKIPIF 1 < 0 ，粒子第3次經過 SKIPIF 1 < 0 軸時恰好向上經歷兩個半圓(如圖)則時間 SKIPIF 1 < 0
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，粒子一個循環(huán)周期中運動分別為半圓→整圓→半圓→整圓，因此由幾何關系得：
與 SKIPIF 1 < 0 軸交點坐標的最大值為
SKIPIF 1 < 0
與 SKIPIF 1 < 0 軸交點坐標的最小值為
SKIPIF 1 < 0
(3)因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以粒子先做 SKIPIF 1 < 0 圓弧運動，之后對 SKIPIF 1 < 0 的不同值進行分類討論：
如圖可見 SKIPIF 1 < 0 1、2、3、4時可能的分段情況．
① SKIPIF 1 < 0 ，粒子做 SKIPIF 1 < 0 圓弧交替運動，向右上45°方向無限延伸，不會循環(huán)運動
② SKIPIF 1 < 0 ，粒子做 SKIPIF 1 < 0 圓弧與 SKIPIF 1 < 0 圓弧交替運動，經過4個周期回到出發(fā)點，循環(huán)周期 SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ，粒子做 SKIPIF 1 < 0 圓弧與 SKIPIF 1 < 0 圓弧交替運動，經過2個周期回到出發(fā)點，循環(huán)周期 SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0 ，粒子做 SKIPIF 1 < 0 圓弧與 SKIPIF 1 < 0 圓弧交替運動，經過4個周期回到出發(fā)點，循環(huán)周期 SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 時，運動過程相似，每個周期中均增加 SKIPIF 1 < 0 (正整數)個圓周，能循環(huán)的運動其循環(huán)周期均延長．

綜上可得：
(1)當 SKIPIF 1 < 0 取非 SKIPIF 1 < 0 的正整數時，均可以回到出發(fā)點．
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時，最小循環(huán)周期為
SKIPIF 1 < 0 ．
21．在如圖所示的坐標系中，僅第三象限的磁場垂直坐標系所在平面向外，其余象限的磁場方向均垂直坐標系所在平面向里，四個象限中的磁感應強度大小均為B。其中M、N兩點為x軸負半軸和y軸負半軸上的點，坐標分別 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，一帶負電的粒子由M點沿MN連線方向射入，忽略粒子的重力。求：
(1)如果負粒子由M點射入后剛好能經過坐標原點第一次離開邊界線，負粒子在第三象限磁場中的路程為多少？
(2)如果負粒子由M點射入后能經O點到達N，負粒子的路程為多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)πa或2πa
【詳解】
(1)電子在勻強磁場中做勻速圓周運動，設圓周運動半徑為R，若電子從M點出發(fā)剛好經原點O第一次離開邊界線，如圖甲所示
則有
2Rcs45°＝ SKIPIF 1 < 0
解得
R＝a
運動軌跡為四分之一圓周，所以運動的路程
s＝ SKIPIF 1 < 0
(2)負粒子從M點出發(fā)經原點O到達N點，若粒子經原點O第一次射出磁場分界線，則軌跡如圖甲，運動路程為一個圓周即
s＝2πR＝2πa
若粒子第N次離開磁場邊界為O點，則要回到N點，經過O點的速度必然斜向下45°，則運動軌跡如圖乙
根據幾何關系有
SKIPIF 1 < 0
圓周運動半徑
SKIPIF 1 < 0
運動通過的路程為
s＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝πa
22．如圖所示，在第一、四象限有垂直于紙面向里和向外的磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，OM 是兩磁場區(qū)域的交界線，兩區(qū)域磁場磁感應強度大小相同 B =0.1T，OM 與 x 軸正方向夾角為α。在第二、四象限存在著沿 x 軸正向的勻強電場，電場強度大小E= 1×104V/m。一帶正電的粒子,質量m=1.6×10 ?24kg、電荷量q=1.6×10?15C，由 x 軸上某點 A 靜止釋放，經電場加速后從 O 點進入Ⅱ區(qū)域磁場(帶電粒子的重力不計)
(1)若 OA 距離l1=0.2m，求粒子進入磁場后，做圓周運動的軌道半徑大小R1；
(2)要使經電場加速后，從O 點進入磁場的所有帶電粒子僅在第一象限區(qū)域內運動，設計兩磁場區(qū)域大小時，角α最大不能超過多少？
(3)若 SKIPIF 1 < 0 =30°，OM 上有一點 P(圖中未畫出)，距 O 點距離l2=0.3πm。上述帶正電的粒子從 x 軸上某一位置 C 由靜止釋放，以速度 v 運動到 O 點后能夠通過 P 點，v 等于多大時，該粒子由 C 運動到 P 點總時間最短，并求此最短時間。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】
(1)設粒子到O點時速度大小為 SKIPIF 1 < 0 ，從P到O點過程，有
SKIPIF 1 < 0 ①
得
SKIPIF 1 < 0
在磁場中對粒子有
SKIPIF 1 < 0 ②
得
SKIPIF 1 < 0
(2)設粒子進入磁場后，在Ⅰ和Ⅱ磁場區(qū)域做圓周運動的半徑相同設為r.當a取最大值時，粒子運動軌跡如圖
由幾何關系可知
SKIPIF 1 < 0 ③
得
SKIPIF 1 < 0
又因為
SKIPIF 1 < 0 ④
得
SKIPIF 1 < 0
要使從0點進入磁場的帶電粒子僅在y軸右側區(qū)域運動， SKIPIF 1 < 0 不能超過 SKIPIF 1 < 0 .
(3)設粒子運動至0點速度大小為v，粒子在電場中運動時間為 SKIPIF 1 < 0 ，加速度大小為a，對粒子有
SKIPIF 1 < 0 ⑤
得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ⑥
粒子在磁場中做勻速圓周運動軌道半徑為r，周期為T對粒子有
SKIPIF 1 < 0 ⑦
得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ⑧
得
SKIPIF 1 < 0
如圖由幾何關系知
SKIPIF 1 < 0 ⑨得
SKIPIF 1 < 0
粒子每次在任意磁場中運動圓弧的圓心角均為 SKIPIF 1 < 0 ，弦長 SKIPIF 1 < 0
假設粒子在磁場中剛好運動到P點時間為 SKIPIF 1 < 0 ，則有
SKIPIF 1 < 0 ⑩
粒子運動到0點時間為t，則有
SKIPIF 1 < 0
代入數據有
SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 時
SKIPIF 1 < 0
此時，將 SKIPIF 1 < 0 帶入 SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 假設成立，故粒子運動至P點最短時間為 SKIPIF 1 < 0 .
23．如圖所示，圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域外存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向外，磁感應強度大小為B。P是圓外一點，OP=3r，一質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從P點在紙面內沿著與OP成60°方向射出(不計重力)，求：
(1)若粒子運動軌跡經過圓心O，求粒子運動速度的大??；
(2)若要求粒子不能進入圓形區(qū)域，求粒子運動速度應滿足的條件。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
(1)設粒子在磁場中做圓周運動的半徑為R，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，依圖題意作出軌跡圖如圖所示：
由幾何知識可得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
根據牛頓第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(2)若速度較小，如圖甲所示：
根據余弦定理可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
若速度較大，如圖乙所示：
根據余弦定理可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
根據
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若要求粒子不能進入圓形區(qū)域，粒子運動速度應滿足的條件是
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
24．在科學研究中，可以通過施加適當的磁場來實現對帶電粒子運動的控制。在如圖所示的平面坐標系xOy內，以坐標原點O為圓心，半徑為 SKIPIF 1 < 0 d的圓形區(qū)域外存在范圍足夠大的勻強磁場。一質量為m、電荷量為＋q的粒子從P(0， SKIPIF 1 < 0 d)點沿y軸正方向射入磁場，當入射速度為v0時，粒子從a SKIPIF 1 < 0 處進入無場區(qū)射向原點O，不計粒子重力。求：
(1)磁場的磁感應強度B的大小
(2)粒子離開P點后經多長時間第一次回到P點
(3)若僅將入射速度變?yōu)?v0，則粒子離開P點后運動多少路程經過P點
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)① SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 1、2、3、…；② SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 0、1、2、3、…
【詳解】
(1)粒子的運動軌跡如圖所示
由題條件可判斷粒子做圓周運動半徑為
SKIPIF 1 < 0
粒子在磁場中
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(2)粒子運動軌跡如圖示
粒子在磁場中運動時間
SKIPIF 1 < 0
因為洛倫茲力提供向心力，則有
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
粒子在無場區(qū)運動時間
SKIPIF 1 < 0
粒子再次回到 SKIPIF 1 < 0 點時間
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
(3)粒子運動軌跡如圖所示
粒子速度變?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，則在磁場中運動半徑為
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 點出發(fā)后第一個圓弧的弧長
SKIPIF 1 < 0
無磁場區(qū)圓的直徑長度
SKIPIF 1 < 0
①粒子以 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 軸正向經過 SKIPIF 1 < 0
粒子運動路程
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 1、2、3、…
②粒子以 SKIPIF 1 < 0 大小沿 SKIPIF 1 < 0 方向經過 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 0、1、2、3、…
代入得
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 0、1、2、3、…
25．如圖所示，在直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 范圍內有兩個勻強磁場區(qū)域I和II，磁場方向均垂直紙面向里，虛線 SKIPIF 1 < 0 為它們的分界線，區(qū)域I的磁感應強度大小為 SKIPIF 1 < 0 ，區(qū)域II的磁感應強度大小可調， SKIPIF 1 < 0 點為它們分界線上的某一點，已知 SKIPIF 1 < 0 。質量為 SKIPIF 1 < 0 ，帶電量為 SKIPIF 1 < 0 的粒子從 SKIPIF 1 < 0 點沿 SKIPIF 1 < 0 軸方向射入磁場I中，速度大小為 SKIPIF 1 < 0 ，不計粒子所受重力。求：
(1)粒子不會飛出第一象限，求粒子在區(qū)域II磁場中做圓周運動的半徑大小應滿足的條件；
(2)粒子在第一象限內運動的過程中，恰好能經過 SKIPIF 1 < 0 點，求區(qū)域II磁場的磁感應強度大小的所有可能值。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，(2)若粒子是從II區(qū)通過 SKIPIF 1 < 0 點，磁感應強度可能為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；若粒子是從I區(qū)通過 SKIPIF 1 < 0 點，磁感應強度為 SKIPIF 1 < 0 。
【詳解】
(1)兩磁場分界線與x軸夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，設粒子在磁場I和II區(qū)內運動的半徑分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，粒子在磁場I內運動時，洛倫茲力提供向心力：
SKIPIF 1 < 0
解得：
SKIPIF 1 < 0
由幾何知識：粒子每在磁場I運動一次，到OP直線的位置向前推進 SKIPIF 1 < 0 ，每在磁場II運動一次，到OP直線的位置向后倒退 SKIPIF 1 < 0 ：
粒子不會飛出第一象限，需滿足：
SKIPIF 1 < 0
解得：
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) 粒子在磁場II內運動時，洛倫茲力提供向心力：
SKIPIF 1 < 0
若粒子是從II區(qū)通過P點：
SKIPIF 1 < 0
解得：
SKIPIF 1 < 0 ，其中n=1，2，3…
符合條件的有 SKIPIF 1 < 0 時：
SKIPIF 1 < 0
對應：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 時：
SKIPIF 1 < 0
對應：
SKIPIF 1 < 0
若粒子是從I區(qū)通過P點：
SKIPIF 1 < 0
解得：
SKIPIF 1 < 0 ，其中n=1，2，3…
符合條件的有 SKIPIF 1 < 0 時：
SKIPIF 1 < 0
對應：
SKIPIF 1 < 0
綜上所述：若粒子是從II區(qū)通過 SKIPIF 1 < 0 點，磁感應強度可能為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；若粒子是從I區(qū)通過 SKIPIF 1 < 0 點，磁感應強度為 SKIPIF 1 < 0 。

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