一、情景設(shè)置 如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？如果將點(diǎn)P附近的曲線放大，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn) P 附近看上去有點(diǎn)像是直線．
如果將點(diǎn) P 附近的曲線再放大，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn) P 附近看上去幾乎成了直線．事實(shí)上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點(diǎn) P 附近將逼近一條確定的直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線．因此，在點(diǎn) P 附近我們可以用這條直線來(lái)代替曲線，也就是說(shuō)，點(diǎn) P 附近，曲線可以看做直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）．
如圖所示，直線為l1，l2為經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn) P 的兩條直線．1．探究1：試判斷哪一條直線在點(diǎn) P 附近更加逼近曲線；2．探究2：在點(diǎn) P 附近能作出一條比l1，l2 更加逼近曲線l3 的直線嗎？3．探究3：在點(diǎn) P 附近能作出一條比l1，l2，l3 更加逼近曲線的直線嗎？
切線定義：如圖，設(shè) Q 為曲線 C 上不同于 P 的一點(diǎn)，直線 PQ 稱為曲線的割線．隨著點(diǎn) Q 沿曲線 C 向點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)，割線 PQ 在點(diǎn) P 附近逼近曲線 C，當(dāng)點(diǎn) Q 無(wú)限逼近點(diǎn) P 時(shí)，直線 PQ 最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 處最逼近曲線的直線 l，這條直線 l也稱為曲線在點(diǎn) P 處的切線．這種方法叫割線逼近切線．

例1　已知 ，求曲線 在 處的切線斜率．
解　設(shè) P(2，4)，Q(2＋?x，(2＋?x)2 ，則割線 PQ 的斜率為： 當(dāng) ?x 無(wú)限趨近于0時(shí)， 無(wú)限趨近于常數(shù)4，從而曲線 在點(diǎn)(2，4)處的切線斜率為4．

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

5.1 導(dǎo)數(shù)的概念

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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