從物理學中我們知道，如果物體運動的軌跡是一條曲線，那么該物體在每一個點處的瞬時速度的方向是與曲線相切的．例如，若物體的運動軌跡如圖所示，而且物體是順次經(jīng)過A，B兩點的，則物體在A點處的瞬時速度的方向與向量v的方向相同．
[問題] 如果設(shè)曲線的方程為y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲線在點A處的切線的斜率是什么？



知識點一 導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k0＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))_eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．
知識點二 導函數(shù)概念
1．定義：若f(x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導，則f(x)在各點處的導數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)．
2．記法：f′(x)即f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))_eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)．
eq \a\vs4\al()
曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多．與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線．
1．若函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)存在，則曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是什么？
提示：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2.函數(shù)y＝f(x)的部分圖象如圖，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，你能比較f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小嗎？
提示：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，因為在A，B處的切線斜率大于零且kA>kB，在C處的切線斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
1．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案：B
2．已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
3．拋物線y2＝x與x軸、y軸都只有一個公共點，在x軸和y軸這兩條直線中，只有________是它的切線．
答案：y軸
[例1] (鏈接教科書第184頁習題4題)已知曲線C：y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)，求曲線C在點P(2，4)處的切線方程．
[解] ∵P(2，4)在曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，
∴曲線在點P(2，4)處切線的斜率為
k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)（2＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2Δx＋\f(1,3)（Δx）2))＝4.
∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
[母題探究]
(變條件)若將本例中的條件“在點P(2，4)”處換為“過點P(2，4)”，其他條件不變，結(jié)論又如何呢？
解：設(shè)曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)與過點P(2，4)的切線相切于點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率為
k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)（x0＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3))),Δx)＝xeq \\al(2,0)，
∴切線方程為y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝xeq \\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).
∵點P(2，4)在切線上，
∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0.
∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
eq \a\vs4\al()
1．已知曲線上一點P(x0，f(x0))，求在該點處切線方程的三個步驟
2．求過曲線y＝f(x)外一點P(x1，y1)的切線方程的六個步驟
(1)設(shè)切點(x0，f(x0))；
(2)利用所設(shè)切點求斜率k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)；
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率；
(4)根據(jù)斜率相等求得x0，然后求得斜率k；
(5)根據(jù)點斜式寫出切線方程；
(6)將切線方程化為一般式．
[跟蹤訓練]
過點(1，－1)且與曲線y＝x3－2x相切的直線方程為( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：選A 顯然點(1，－1)在曲線y＝x3－2x上，
若切點為(1，－1)，則由f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（1＋Δx）3－2（1＋Δx）－（－1）,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
∴切線方程為y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.
若切點不是(1，－1)，設(shè)切點為(x0，y0)，
則k＝eq \f(y0＋1,x0－1)＝eq \f(xeq \\al(3,0)－2x0＋1,x0－1)＝eq \f(（xeq \\al(3,0)－x0）－（x0－1）,x0－1)
＝xeq \\al(2,0)＋x0－1，
又由導數(shù)的幾何意義知
k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（xeq \\al(3,0)－2x0）,Δx)＝3xeq \\al(2,0)－2，
∴xeq \\al(2,0)＋x0－1＝3xeq \\al(2,0)－2，∴2xeq \\al(2,0)－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－eq \f(1,2).
∴k＝xeq \\al(2,0)＋x0－1＝－eq \f(5,4)，
∴切線方程為y－(－1)＝－eq \f(5,4)(x－1)，
即5x＋4y－1＝0，故選A.
[例2] 已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，試求出切點的坐標．
(1)切線的傾斜角為45°；
(2)切線平行于直線4x－y－2＝0；
(3)切線垂直于直線x＋8y－3＝0.
[解] 設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq \\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴eq \f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，
當Δx→0時，eq \f(Δy,Δx)→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，
∴斜率為tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq \f(1,4)，
∴切點的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(9,8))).
(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切點坐標為(1，3)．
(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，
則k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝－1，即k＝8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切點坐標為(2，9)．
eq \a\vs4\al()
求切點坐標可以按以下步驟進行
(1)設(shè)出切點坐標；
(2)利用導數(shù)或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點的橫坐標；
(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標．
[跟蹤訓練]
直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：f(x)＝x3－x2＋1相切，則a的值為___________，切點坐標為____________．
解析：設(shè)直線l與曲線C的切點為(x0，y0)，
因為f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）3－（x＋Δx）2＋1－（x3－x2＋1）,Δx)＝3x2－2x，
則f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,3)，
當x0＝1時，y0＝xeq \\al(3,0)－xeq \\al(2,0)＋1＝1，
又(x0，y0)在直線y＝x＋a上，
將x0＝1，y0＝1代入得a＝0與已知條件矛盾舍去．
當x0＝－eq \f(1,3)時，y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋1＝eq \f(23,27)，
則切點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)， \f(23,27)))，將eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)， \f(23,27)))代入直線y＝x＋a中得a＝eq \f(32,27).
答案：eq \f(32,27) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)， \f(23,27)))
[例3] (鏈接教科書第184頁習題3題)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是( )
A．0

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5.1 導數(shù)的概念

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