知識(shí)梳理1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法:把圓錐曲線方程C與直線方程l聯(lián)立消去y,整理得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.
　曲線C為雙曲線,直線l為其漸近線
對雙曲線來說,直線l可能平行于漸近線;對拋物線來說,直線l可能與拋物線的對稱軸平行或重合
(2)幾何法:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線,利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
微點(diǎn)撥1.判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一般用代數(shù)法.2.對于過定點(diǎn)的直線,也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有無交點(diǎn).
2.直線與圓錐曲線的相交弦長問題設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),則
微點(diǎn)撥1.解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的規(guī)律:“聯(lián)立方程求交點(diǎn),根與系數(shù)的關(guān)系求弦長,根的分布找范圍,曲線定義不能忘”.2.當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí),可利用焦點(diǎn)弦長公式求弦長.
提示 因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上,
微思考直線與橢圓 =1(a>b>0)相交,交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),請你推出直線AB的斜率的表達(dá)式.
對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)“直線l與橢圓C相切”的充要條件是“直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(　　)(2)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(　　)(3)“直線l與拋物線C相切”的充要條件是“直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”.(　　)(4)若拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn),則需滿足直線l與拋物線C的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式Δ>0.(　　)
2.若直線y=x+2與橢圓 =1有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍是(　　)A.(1,+∞)B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞)D.(0,3)∪(3,+∞)
3.直線y=kx-k+1與橢圓 =1的位置關(guān)系為　　　　　.?
典例突破例1.已知直線l:y=2x+m,橢圓C: =1.試問當(dāng)m取何值時(shí),直線l與橢圓C符合下列各條件.(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn).
解 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得方程組
名師點(diǎn)析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法
對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)
答案 (1)D　(2) A　
過A作BB'的垂線,垂足為M,設(shè)|AA'|=|AF|=t,∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,則|BM|=2t,|AB|=4t,∴∠ABM=60°.
即直線l的傾斜角∠AFx=120°,可得直線l的斜率為k=tan 120°= ,故選A.
例2.(多選)(2023新高考Ⅱ,10)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線 過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則(　　)A.p=2B.|MN|=C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形
突破技巧求直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題的三種常用方法
解析 設(shè)橢圓的焦距為2c,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn).
∴直線DE為線段AF2的垂直平分線,連接EF2,DF2,則四邊形ADF2E為軸對稱圖形,∴△ADE周長=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
考向1.由中點(diǎn)弦確定直線方程或曲線方程
方法總結(jié)用“點(diǎn)差法”解決有關(guān)中點(diǎn)弦問題的一般步驟
(2)(2023陜西榆林三模)已知直線y=x-m與橢圓C: 交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的中點(diǎn)P的軌跡長度為　　　　　.?
(方法2　利用雙曲線的“垂徑定理”)
考向2.對稱問題典例突破例4.已知橢圓 +y2=1的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
方法總結(jié)橢圓中對稱問題的解題策略

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