2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何高考解答題專項(xiàng)五第三課時(shí)證明與探究問題課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

考向1.利用直接法證明圓錐曲線中的問題
(1)求橢圓C的方程和離心率;(2)設(shè)P,Q為橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn),直線AP與y軸交于點(diǎn)E,直線AQ與y軸交于點(diǎn)F,若點(diǎn)M(1,0)滿足MF⊥ME,求證:P,O,Q三點(diǎn)共線.
(2)證明 (方法1)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠±2,x2≠±2),
當(dāng)n=2k時(shí),直線PQ的方程y=k(x+2)過A(-2,0),不合題意.故n=0,所以P,O,Q三點(diǎn)共線.綜上,P,O,Q三點(diǎn)共線.
要證P,O,Q三點(diǎn)共線,由橢圓的對(duì)稱性,只需證Q(-x0,-y0)在直線AF上.
所以Q(-x0,-y0)在直線AF上,所以P,O,Q三點(diǎn)共線.
(方法3)由題意得A(-2,0),不妨令點(diǎn)E在x軸上方,因?yàn)镸F⊥ME,所以△EMF為直角三角形,由射影定理得|OE|·|OF|=|OM|2=1.
故x1+x2=0,y1+y2=0,所以P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即P,O,Q三點(diǎn)共線.
名師點(diǎn)析對(duì)于證明問題,一般是根據(jù)已知條件,運(yùn)用所涉及的知識(shí)通過運(yùn)算化簡(jiǎn),利用定義、定理、公理等,直接推導(dǎo)出所證明的結(jié)論即可,證明不等式常用不等式的性質(zhì)或基本不等式求得最值.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為9,
(1)求拋物線C的方程.(2)經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),E為直線x=-1上任意一點(diǎn),證明:直線EA,EF,EB的斜率成等差數(shù)列.
考向2.利用轉(zhuǎn)化法證明圓錐曲線中的問題
例2.(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)( )的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,證明:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于 .
(2)證明 (方法1)設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如圖所示,設(shè)直線AB的斜率為k(k>0).不妨將A,B固定在y軸及y軸右側(cè).
成立,此時(shí)矩形ABCD為正方形.(用基本不等式將矩形周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化成正方形面積問題)
(方法2)不妨設(shè)A,B,C三點(diǎn)在W上,且AB⊥BC.
名師點(diǎn)析利用轉(zhuǎn)化法證明圓錐曲線問題的三種策略
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心為點(diǎn)Q的動(dòng)圓恒過定點(diǎn)F(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動(dòng)圓的圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)M為直線l:x=-1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M作曲線C的切線,切點(diǎn)為N,證明:MF⊥NF.
考向1.利用肯定順推法解答圓錐曲線中的探究問題例3.已知拋物線H:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線H上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
(1)求拋物線H的方程;(2)若一直線經(jīng)過拋物線H的焦點(diǎn)F,與拋物線H交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn).
②是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△ABC為正三角形?若存在,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(1)解因?yàn)閽佄锞€H的方程為y2=2px,M在拋物線H上,且橫坐標(biāo)為5,
Δ=(-4m)2-4×(-4)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=4m2+2,x1x2=1.
名師點(diǎn)析利用肯定順推法解答圓錐曲線中的探究問題的流程
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知橢圓E的上頂點(diǎn)為A,圓M:(x-1)2+y2=r2(r>0),橢圓E上是否存在兩點(diǎn)B,C使得圓M內(nèi)切于△ABC?若存在,求出直線BC的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(2)由(1)可知橢圓的上頂點(diǎn)為A(0,1),假設(shè)符合條件的兩點(diǎn)B,C存在,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
因?yàn)閥1≠1,兩邊同時(shí)除以1-y1,得(1-r2)×4×(1+y1)+(1-r2)(1-y1)-2x1=0,整理得-2x1+3(1-r2)y1+5(1-r2)=0,即點(diǎn)B在直線-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.同理,由直線AC與圓M相切,得出點(diǎn)C也在直線-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.因此直線BC的方程為-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0.
考向2.利用探究轉(zhuǎn)化法解答圓錐曲線中的探究問題
(2)存在.理由如下.假設(shè)存在這樣的直線,由題可知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y=kx+m.
名師點(diǎn)析轉(zhuǎn)化探究方向,是指將所探究的問題轉(zhuǎn)化為其他明確的問題,使所探究的問題更加具體、易求.對(duì)于范圍及最值的探究,一般轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,或?qū)Σ坏仁降难芯繂栴}.
得(m2-4)y2+2my-3=0.
∵m2-4≠0,Δ=4m2+12(m2-4)>0,∴m2>3且m2≠4.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

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