1．在反比例函數(shù)圖象上的點為（ ）
A．(1，3)B．(-1，-3)C．(3，-1)D．(-3，-1)
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的關(guān)系，應(yīng)該滿足函數(shù)解析式，即點的橫縱坐標(biāo)的積等于比例系數(shù)k．把各個點代入檢驗即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)，
∴xy=-3，
四個答案中只有選項C的橫縱坐標(biāo)的積等于-3，
故選：C
2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝ (k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過點A，過A點作AB⊥x軸，垂足為B．若△AOB的面積為1，則k的值為（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以得到△AOB的面積等于|k|的一半，由此可以得到它們的關(guān)系．
【詳解】依據(jù)比例系數(shù)k的幾何意義可得三角形的面積等于 解得
故選B.
3．已知點A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【答案】C
【分析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計算即可．
【詳解】解：∵點A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函數(shù)的圖象上，
∴，，，
∴c＜a＜b
故選：C．
4 .如圖，點A在曲線到上，點B在雙曲線上，軸，點C是x軸上一點，
連接、，若的面積是6，則k的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)軸可以得到，轉(zhuǎn)換成反比例函數(shù)面積問題即可解題．
【詳解】連接OA、OB，設(shè)AB與y軸交點為M，
∵軸
∴AB⊥y軸，
∴，
∵
∴
解得
∵點B在雙曲線上，且B在第二象限
∴
∴
故選C
如圖，雙曲線與直線交于點M、N，并且點M的坐標(biāo)為（1,3），點N的縱坐標(biāo)為．
根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程的解為（ ）
A．，1B．，3C．，1D．，3
【答案】A
【分析】結(jié)合圖象先求出反比例函數(shù)解析式為：y=，再根據(jù)點N的縱坐標(biāo)為求出N（,），問題隨之得解．
【詳解】∵M（1,3）在反比例函數(shù)圖象上，
∴m=1×3=3，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=，
∵N也在反比例函數(shù)圖象上，點N的縱坐標(biāo)為．
∴x=，
∴N（,），
∴關(guān)于x的方程=kx+b的解為：，1．
故選：A．
6．正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，軸于點B，軸于點D（如圖），則四邊形的面積為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由正比例函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式組成的方程組可得到A點和C點的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意即可求解．
【詳解】解：解方程組，得：或，
即：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點的坐標(biāo)分別為，，
∵，，
∴，，
∴，
即：四邊形的面積是2．
故選：C
7．在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù) ()的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)k的符號，得到反比例函數(shù)與一次函數(shù)都經(jīng)過第一、三象限或第二、四象限，再根據(jù)一次函數(shù)與y軸交于負半軸，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：當(dāng)時，直線從左往右上升，雙曲線分別在第一、三象限，故A、C選項錯誤；
∵一次函數(shù)與y軸交于負半軸，
∴D選項錯誤，B選項正確，
故選：B．
8 . 如圖，點與點分別在函數(shù)與的圖像上，線段的中點在y軸上．
若△的面積為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為點E、F
設(shè)A（x，），則OE=x，
∵M是AB的中點，
∴OF=OE
∴點F的坐標(biāo)為（-x，0）
故點的坐標(biāo)為（-x，）
∴SΔAOB=S梯形AEFB-SΔBFO-SΔAEO
=(+)×2x- （）=（）=2
∴=4
故選C
9.函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點是的圖象上一動點，
作軸于點，交的圖象于點，作軸于點，交的圖象于點，
給出如下結(jié)論：①與的面積相等； ②與始終相等；
③四邊形的面積大小不會發(fā)生變化； ④，
其中正確的結(jié)論序號是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C
【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，）（m＞0），則A（m，），C（m，0），B（ ，）D（0，）．①根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S△ODB=S△OCA，該結(jié)論正確；②由點的坐標(biāo)可找出PA=，PB=，由此可得出只有m=2是PA=PB，該結(jié)論不成；③利用分割圖形法求圖形面積結(jié)合反比例系數(shù)k的幾何意義即可得知該結(jié)論成立；④結(jié)合點的坐標(biāo)即可找出PA=，AC= ，由此可得出該結(jié)論成立．綜上即可得出正確的結(jié)論為①③④．
【詳解】解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，）（m＞0），則A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）．
①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=，
∴△ODB與△OCA的面積相等，①成立；
②PA=-=，PB=m-=，
令PA=PB，即=，
解得：m=2．
∴當(dāng)m=2時，PA=PB，②不正確；
③S四邊形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3．
∴四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化，③正確；
④∵PA=-=，AC=-0=，
∵=3×，
∴PA=3AC，④正確．
綜上可知：正確的結(jié)論有①③④．
故選C．
10.如圖，在中，為坐標(biāo)原點，，，且點，都在反比例函數(shù)的圖象上．若點橫坐標(biāo)為1，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】作軸，軸，且線段和線段的延長線交于點M．根據(jù)題意易證，又可用k表示出A點坐標(biāo)．從而即可求出用k表示的B點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，解出k即可．
【詳解】如圖，作軸，軸，且線段和線段的延長線交于點M．
∵，，
∴，
∴在和中，
∴．
根據(jù)題意可知A點坐標(biāo)為，
∴，，
∴B點坐標(biāo)為，
又∵點B在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得：．
經(jīng)檢驗都是原方程的根．
∵函數(shù)圖象在第一象限，即，
∴舍去，
故．
故選C．
二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）
11．如圖，A（4，0），B（3，3），以AO，AB為邊作平行四邊形OABC，則經(jīng)過C點的反比例函數(shù)的表達式為 ．
【答案】．
【詳解】試題分析：設(shè)經(jīng)過C點的反比例函數(shù)的解析式是y=（k≠0），設(shè)C（x，y），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點C的坐標(biāo)（﹣1，3），∵點C在反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象上，∴3=，解得，k=﹣3，∴經(jīng)過C點的反比例函數(shù)的解析式是y=．
故答案為y=．
12．反比例函數(shù)，當(dāng)時，y的取值范圍為_________．
【答案】-2＜y＜0
【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，由x的取值范圍并結(jié)合反比例函數(shù)的圖象解答即可．
【詳解】解：∵k=-2＜0，
∴在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
又當(dāng)x=1時，y=-2，
∴當(dāng)x＞1時，-2＜y＜0，
故答案為：-2＜y＜0．
13．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點坐標(biāo)為，則的值為 .
【答案】?
【分析】把交點坐標(biāo)代入2個函數(shù)后，得到2個方程，求得a，b的解，整理求得的值即可．
【詳解】∵函數(shù)與y=x?1的圖象的交點坐標(biāo)為(a，b)，
∴b=，b=a?1，
∴=a?1，
a?a?2=0，
(a?2)(a+1)=0，
解得a=2或a=?1，
∴b=1或b=?2，
∴的值為?.
故答案為：?.
14．如圖，Rt△ABC的兩個銳角頂點A，B在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，AC∥x軸，AC=2，若點A的坐標(biāo)為（2，2），則點B的坐標(biāo)為 ．
【答案】（4，1）
【詳解】∵點A（2，2）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，
∴2=，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC∥x軸，AC=2，
∴點B的橫坐標(biāo)是4，
∴y==1，
∴點B的坐標(biāo)為（4，1），
故答案為（4，1）．
15．如圖，在中，，點A在反比例函數(shù)的圖像上，點B，C在x軸上，，延長交y軸于點D，連接，若的面積為5，則k的值為____________．
【答案】
【分析】連接，如圖，過點作軸于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)卡得，證明，可得，進而求得，根據(jù)的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，過點作軸于點，
，，
，
，
，
，，，
，
的面積為5，，
，
，
，
，
．
故答案為：10．
16 .如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥OA，
交x軸于點B；作，交反比例函數(shù)圖象于點A1；過點A1作A1 B1⊥A1B交x軸于點B1；
再作，交反比例函數(shù)圖象于點A2，依次進行下去······則點A2022的橫坐標(biāo)為____________.
【答案】/
【分析】過點A，A1，A2作x軸的垂線，交x軸于點C，D，E，求出點A坐標(biāo)，進一步可求出，，，以此類推可得結(jié)果．
【詳解】解：過點A，A1，A2作x軸的垂線，交x軸于點C，D，E，
∵一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)的圖象交于點A，
∴聯(lián)立，解得，
∴，，即，
∵AB⊥OA，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，故設(shè)，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，故設(shè)，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，
同理可得：，
以此類推：點A2022的橫坐標(biāo)為．
故答案為：．
三、解答題（請寫出必要的解題過程，本題共6個小題，共66分）
17．已知函數(shù)，與x成正比例，與x成反比例，且當(dāng)時，，當(dāng)時，．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)時，求y的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由題意可設(shè)，，則有，然后代入求解即可；
（2）把代入（1）中解析式進行求解即可．
【詳解】解：（1）由題意可設(shè)，，則，把，和，代入得：
，
解得：，，
∴；
（2）由（1）可知：當(dāng)時，則．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸的交點分別為點A，點B，與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點，軸于點E，連接，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求的面積．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)表達式推出△CAE為等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的長求出AE和CE，再求出點A坐標(biāo)，得到OE的長，從而得到點C坐標(biāo)，即可求出k值；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式，求出交點D的坐標(biāo)，再用乘以CE乘以C、D兩點橫坐標(biāo)之差求出△CDE的面積．
【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)y=x+1與x軸和y軸分別交于點A和點B，
∴∠CAE=45°，即△CAE為等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵AC=，即，
解得：AE=CE=3，
在y=x+1中，令y=0，則x=-1，
∴A（-1，0），
∴OE=2，CE=3，
∴C（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)表達式為： ；
（2）聯(lián)立：，
解得：x=2或-3，
當(dāng)x=-3時，y=-2，
∴點D的坐標(biāo)為（-3，-2），
∴S△CDE==．
19 .如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=10，點B在反比例函數(shù)y=圖象上，且點B的橫坐標(biāo)為3．
(1)求OB的長；
(2)求過點A的雙曲線的解析式．
【答案】（1）OB=5；（2）．
【分析】（1）由點B的橫坐標(biāo)為3，代入y得到點B的縱坐標(biāo)，解直角三角形即可；
（2）要求函數(shù)的解析式只要求出點A的坐標(biāo)就可以，過點A作AC⊥x軸，根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到2，求得點A的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可．
【詳解】解：（1）過點B作BD⊥x軸于D，
∵點B在反比例函數(shù)y圖象上，且點B的橫坐標(biāo)為3，
∴y＝4，
∴BD＝4，OD＝3，
∴OB5；
（2）過點A作AC⊥x軸于C，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠CAO＝∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠CAO＝∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴2，
∴AC＝6，OC＝8，
∴A（﹣8，6），
設(shè)過A 的反比例函數(shù)的解析式為：y，
∴k＝﹣48，
∴過點A的雙曲線的解析式y(tǒng)．
20．如圖，過點分別作軸，軸，垂足分別為點B和點A，點F是線段上一個動點，但不與點B，C重合，反比例函數(shù)的圖象過點F，與線段交于點E，連接．

(1)當(dāng)點E是線段的中點時，求點F的坐標(biāo)；
(2)若的面積為6，求反比例函數(shù)的表達式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)題意得到，，再根據(jù)點E是線段的中點，得到，由此求出反比例函數(shù)解析式，再求出當(dāng)時，反比例函數(shù)的函數(shù)值即可得到答案；
（2）先求出，得到，則，，由，建立方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，軸，軸，
∴，，
∵點E是線段的中點，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象過點E，
∴，即，
∴反比例函數(shù)解析式為，
在中，當(dāng)時，，
∴；

（2）解：∵，軸，軸，
∴，，，
∵點E、F在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
當(dāng)時，，此時點F不在線段上，不符合題意；
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為．
21 .如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點，
過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點與點不重合），且點的橫坐標(biāo)為1，
在軸上求一點，使最小
.
【答案】（1）（，）；（2）（，）
【分析】（1）設(shè)出A點的坐標(biāo)，然后根據(jù)△OAM的面積為1，確定出k的值即可；
（2）分別求出點A、B的坐標(biāo)以及點A關(guān)于x軸的對稱點C的坐標(biāo)，然后求出直線BC的解析式，直線BC與x軸的交點即為所求.
【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為（，），則.
∴.
∵,∴.∴.
∴反比例函數(shù)的解析式為；
(2) 由，得，
∴為（，），
設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則點的坐標(biāo)為（，），
令直線的解析式為，
∵為（，）
∴，解得：，
∴的解析式為.
當(dāng)時，，
∴點為（，）
22．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點
(1)利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
(2)連接、，求三角形的面積
(3)連接，在軸的正半軸上是否存在點，使是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式是，一次函數(shù)的解析式是．
(2)三角形的面積是4．
(3)所有符合條件的點Q的坐標(biāo)是或或．
【分析】（1）把N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，能求出反比例函數(shù)解析式，把M的坐標(biāo)代入解析式，求出M的坐標(biāo)，把M、N的坐標(biāo)代入，能求出一次函數(shù)的解析式；
（2）求出與x軸的交點坐標(biāo)，求出和的面積即可；
（3）符合條件的有3個①，②，③，再利用勾股定理列方程求解即可．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把，代入得： ，
解得：，
∴，
答：反比例函數(shù)的解析式是，一次函數(shù)的解析式是．
（2）如圖，設(shè)交x軸于C，
由，當(dāng)時，，
∴， ，
∴的面積是，
答：三角形的面積是4．
（3）設(shè)，而，，
∴，，，
如圖，為等腰三角形，
當(dāng)時，則，
∴（負根舍去）
Q的坐標(biāo)是；
當(dāng)時，則，
解得：（舍去）
Q的坐標(biāo)是；
當(dāng)時，則，
解得：，
Q的坐標(biāo)是；
答：在x軸的正半軸上存在點Q，使是等腰三角形，所有符合條件的點Q的坐標(biāo)是或或．
23．如圖，四邊形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函數(shù)的圖象過點A．
(1)求k的值．
(2)點P為反比例函數(shù)圖象上的一點，作PD⊥直線AC，PE⊥x軸，當(dāng)四邊形PDCE是正方形時，
求點P的坐標(biāo)．
點G為坐標(biāo)平面上的一點，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點Q，
使得以A、B、Q、G為頂點組成的平行四邊形面積為16？
若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)12
(2)點P坐標(biāo)為（+1，﹣1）或（1﹣，﹣1﹣）
(3)存在，點G的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）或（﹣8，﹣2）或（，14）或（﹣，14）或（8，14）或（，﹣2）
【分析】（1）先求出點A坐標(biāo)，代入解析式可求解；
（2）分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)可求解；
（3）由平行四邊形的面積為16，可求點Q坐標(biāo)，再分AB為邊和對角線兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式可求解．
【詳解】（1）∵OC=2，OB=6，
∴點C（2，0），點B（0，6），點A（2，6），
∵反比例函數(shù)的圖象過點A，
∴k=2×6=12；
（2）∵k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
設(shè)，
∵四邊形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
當(dāng)點P在第一象限時，
∴，
解得（舍去）
∴
當(dāng)點P在第三象限，
∴
解得：（舍去）
∴，
綜上所述，或
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為
若AB為邊，
∵以A、B、Q、G為頂點組成的平行四邊形面積為16，
∴，
解得：或，
∴或，
∵以A、B、Q、G為頂點組成的四邊形是平行四邊形，
∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴或或或，
若AB為對角線，
設(shè)點G（x,y），
∵以A、B、Q、G為頂點組成的四邊形是平行四邊形，
∴AB與QG互相平分，
∵以A、B、Q、G為頂點組成的平行四邊形面積為16，
或，
∴或
解得或
∴或
綜上所述，或或或或或
24.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與反比例函數(shù)的圖象交于點A (1， 3)和點B (3， n)，與x軸交于點C，與y軸交于點D，
(1)求反比例函數(shù)的表達式及n的值；
(2)將△OCD沿直線AB翻折，點O落在第一象限內(nèi)的點E處， EC與反比例函數(shù)的圖象交于點F，
①請求出點F的坐標(biāo)；
②在x軸上是否存在點P，使得△DPF是以DF為斜邊的直角三角形?若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）① ；②存在，或
【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函數(shù)的表達式為y=，把B（3，n）代入y=即可得到結(jié)論；
（2）①設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，解方程組得到直線AB的解析式為y=-x+4，求得點C （4，0），點D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四邊形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到結(jié)論；
②設(shè)點P（m，0），根據(jù)勾股定理得到DP2=m2+16，PF2=（4-m）2+（）2，F(xiàn)D2=16+（4-）2，列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵直線AB與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點A （1，3）和點B（3，n），
∴把A （1，3）代入y得，3，
∴k＝3，
∴反比例函數(shù)的表達式為y，
把B（3，n）代入y得，n1；
（2）①設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，
當(dāng)y＝0時，x＝4，當(dāng)x＝0時，y＝4，
∴點C （4，0），點D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵將△OCD沿直線AB翻折，
∴四邊形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y中得，y，
∴F（4，）；
②存在，
理由：設(shè)點P（m，0），
∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，F(xiàn)D2＝16+（4）2，
∵△DPF是以DF為斜邊的直角三角形，
∴DP2+PF2＝FD2，
即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2，
解得：m＝1或m＝3，
故在x軸上存在點P，使得△DPF是以DF為斜邊的直角三角形，此時點P的坐標(biāo)為 （1，0）或（3，0）．

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6.1 反比例函數(shù)

版本： 浙教版

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