【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 09 平面向量?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類（重難點(diǎn)練習(xí)）（新高考專用）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc32325" 【題型1 平面向量共線定理及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc32325 \h 3
\l "_Tc6192" 【題型2 平面向量基本定理及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc6192 \h 5
\l "_Tc18136" 【題型3 平面向量的數(shù)量積】 PAGEREF _Tc18136 \h 8
\l "_Tc2645" 【題型4 平面向量的模的問題】 PAGEREF _Tc2645 \h 10
\l "_Tc17266" 【題型5 平面向量夾角與垂直問題】 PAGEREF _Tc17266 \h 12
\l "_Tc30606" 【題型6 極化恒等式】 PAGEREF _Tc30606 \h 14
\l "_Tc15957" 【題型7 向量與解三角形綜合】 PAGEREF _Tc15957 \h 17
\l "_Tc31837" 【題型8 向量與幾何最值、范圍問題】 PAGEREF _Tc31837 \h 21
\l "_Tc6171" 【題型9 向量在幾何中的其他應(yīng)用】 PAGEREF _Tc6171 \h 24
平面向量是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來分析，平面向量的數(shù)量積、模、夾角是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，常常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、模、夾角與垂直的條件等問題，也時也會與平面解析幾何、三角函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)，試題難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對平面向量的數(shù)量積、模、夾角等知識的掌握，能靈活運(yùn)用向量知識解決有關(guān)問題.
【知識點(diǎn)1 平面向量線性運(yùn)算問題的解題策略】
1.平面向量線性運(yùn)算問題的求解思路：
(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；
(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.向量線性運(yùn)算的含參問題的解題策略：
與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
3.利用共線向量定理解題的策略：
(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線共線.
(3)若與不共線且，則.
(4)(λ,μ為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.
【知識點(diǎn)2 平面向量基本定理的解題策略】
1.應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：
用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【知識點(diǎn)3 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧】
1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.
【知識點(diǎn)4 平面向量數(shù)量積問題的解題方法】
1.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法
(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；
(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.
2.夾角與垂直問題
根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.
3.向量的模的求解思路：
(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計(jì)算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；
(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知識點(diǎn)5 極化恒等式】
1.極化恒等式的證明過程與幾何意義
(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：
.
證明：不妨設(shè)，則，，
①，
②，
①②兩式相加得：
.
(2)極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
平行四邊形模式：.
(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
【知識點(diǎn)6 平面向量的應(yīng)用的方法技巧】
1.平面向量的應(yīng)用的解題方法；
平面向量的應(yīng)用方向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模的問題，主要解題方法有：
(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.
(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.
2.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；
(2)“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．
【題型1 平面向量共線定理及其應(yīng)用】
【例1】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，AD=2DB，點(diǎn)P在CD上，且AP=mAC+13AB(m∈R)，則m=（）
A．15B．14C．13D．12
【解題思路】將AB=32AD代入AP=mAC+13AB(m∈R)，利用共線定理推論可得.
【解答過程】因?yàn)锳D=2DB，所以AB=32AD，
所以AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD=mAC+12AD，
又P，C，D三點(diǎn)共線，所以m+12=1，得m=12.
故選：D.
【變式1-1】（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（）
A．－8B．8C．6D．－6
【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)A，B，D共線，可得存在唯一實(shí)數(shù)λ使AB=λDB，進(jìn)而可得出答案.
【解答過程】由已知得DB=CB-CD=e1+3e2-2e1-e2=-e1+4e2，
∵三點(diǎn)A，B，D共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)λ使AB=λDB，
∴2e1-ke2=λ-e1+4e2=-λe1+4λe2，
∴2=-λ-k=4λ，解得λ=-2k=8.
故選：B.
【變式1-2】（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，2OA+3OB+mOC=0，若△AOB與△ABC的面積之比為47，則實(shí)數(shù)m的值為（）
A．-103B．103C．-203D．203
【解題思路】由2OA+3OB+mOC=0確定O點(diǎn)的位置，再利用△AOB與△ABC的面積之比列方程來求得m的值.
【解答過程】由2OA+3OB=-mOC得25OA+35OB=-m5OC，
設(shè)-m5OC=OD，則OD=25OA+35OB.
由于25+35=1，所以A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示，
∵OC與OD反向共線，m>0，∴ODOC=m5，∴ODCD=m5m5+1=mm+5，
∴S△AOBS△ABC=ODCD=mm+5=47?m=203.
故選：D.
【變式1-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△OAB中，OA=3OC，OB=2OD，AD，BC的交點(diǎn)為M，過M作動直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若OE=λOA，OF=μOB(λ,μ>0)，則λ+μ的最小值為（）
A．3+35B．2+237C．3+235D．3+225
【解題思路】利用平面向量共線定理的推論得到λ、μ的關(guān)系，進(jìn)而利用均值定理即可求得λ+μ的最小值
【解答過程】由A、M、D三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)t，使OM=tOA+(1-t)OD=tOA+12(1-t)OB
又由B、M、C三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)m，使得
OM=mOB+(1-m)OC=mOB+13(1-m)OA
則t=13(1-m)m=12(1-t)，解之得t=15m=25，則OM=15OA+25OB
又OE=λOA，OF=μOB(λ,μ>0)，
則OM=15λOE+25μOF，由E、M、F三點(diǎn)共線，可得15λ+25μ=1
則λ+μ=λ+μ15λ+25μ=35+μ5λ+2λ5μ≥35+2μ5λ×2λ5μ=3+225
（當(dāng)且僅當(dāng)λ=2+15，μ=2+25時等號成立）
則λ+μ的最小值為3+225，
故選：D.
【題型2 平面向量基本定理及其應(yīng)用】
【例2】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則AF=（）
A．12a+12bB．-12a+12bC．14a+12bD．-14a+12b
【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算，利用基底向量a,b表示AF即可.
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，
所以AF=AD+DF=12AC+12DE =12AC+14AB.
即AF=14a+12b.
故選：C.
【變式2-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，點(diǎn)P為AE與BF的交點(diǎn)，AP=λAB+μAC，則λ-μ=（）
A．0B．14C．12D．34
【解題思路】利用平面向量基本定理得到AP=1-kAB+12kAC，AP=13mAC+23mAB，從而列出方程組，求出k,m，得到λ=12,μ=14，求出答案.
【解答過程】因?yàn)锽F=12BA+BC，所以F為AC中點(diǎn)，
B,P,F三點(diǎn)共線，故可設(shè)BP=kBF，即AP-AB=kAF-AB，
整理得AP=kAF+1-kAB=1-kAB+12kAC，
因?yàn)锽E=12EC，所以AE-AB=12AC-12AE，即AE=13AC+23AB，
A,P,E三點(diǎn)共線，
可得AP=mAE=m13AC+23AB=13mAC+23mAB，
所以2m3=1-km3=12k，解得k=12m=34，
可得AP=12AB+14AC，則λ=12,μ=14，λ-μ=14.
故選：B.
【變式2-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5-12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且點(diǎn)E為線段BO的黃金分割點(diǎn)，則BF=（）

A．3-52BA+5+510BGB．3-52BA+5-510BG
C．5-12BA+5-510BGD．3-52BA+55BG
【解題思路】由題意得BE=5-12BO，結(jié)合矩形的特征可用BG表示出BO，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.
【解答過程】由題意得BE=5-12BO，顯然BE=DG，BO=OD=12BD，
同理有AF=5-12AO，DG=5-12DO，
所以BG=2-5-12BO=5-52BO，故BO=25-5BG=255-1BG，
因?yàn)锽F=BA+AF=BA+5-12AO
=BA+5-12BO-BA=3-52BA+5-12BO，
所以BF=3-52BA+55BG.
故選：D.
【變式2-3】（2023·重慶江北·校考一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且BD=2AD，E是邊BC的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)F，若BF是∠ABC的平分線，則BCBA=（）
A．4B．3C．2D．12
【解題思路】首先根據(jù)BF是∠ABC的平分線，則存在一個實(shí)數(shù)λ使得BF=λBABA+BCBC，
再替換向量BC=2BE和BA=32BD，利用平面向量基本定理的推論，即可求解.
【解答過程】因?yàn)锽F是∠ABC的平分線，所以存在一個實(shí)數(shù)λ使得BF=λBABA+BCBC，（根據(jù)角平分線的條件，選擇合適的基底）
因?yàn)镋是邊BC的中點(diǎn)，所以BF=λBABA+2BEBC，又點(diǎn)A，E，F(xiàn)共線，所以λBA+2λBC=1①．（三點(diǎn)共線的應(yīng)用：OA=λOB+μOC（λ，μ為實(shí)數(shù)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1）
因?yàn)锽D=2AD，所以BF=λ32BDBA+BCBC，又點(diǎn)C，F(xiàn)，D共線，所以3λ2BA+λBC=1②，聯(lián)立①②，得12BA=1BC，則BCBA=2，即BCBA=2.
故選：C．
【題型3 平面向量的數(shù)量積】
【例3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量a=1,2，b=3,4，c=5,m（m∈R），則2a-b?c=（）
A．5B．-5C．5mD．-5m
【解題思路】求出向量2a-b的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示，即可求得答案.
【解答過程】由題意向量a=1,2，b=3,4，c=5,m可得2a-b=(-1,0)，
故2a-b?c=(-1,0)?(5,m)=-5，
故選：B.
【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足a=λbλ>0，b=2，a-b=1，則a+b?a=（）
A．3B．15C．-3或15D．3或15
【解題思路】對a-b=1兩邊同時平方，將a=λbλ>0代入可求出λ的值，可求出a，代入a+b?a即可得出答案.
【解答過程】因?yàn)橄蛄縜=λbλ>0，所以a?b=a·b=λb2=4λ，
又a-b2=a2-2a?b+b2=4λ2-8λ+4=1，
解得:λ=12或32，即a=1或a=3，
所以當(dāng)a=1時，a+b?a=a?b+a2=2+1=3；
當(dāng)a=3時，a+b?a=a?b+a2=6+9=15，
故a+b?a=3或15．
故選：D.
【變式3-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）設(shè)四邊形ABCD為矩形，AB=6，AD=4，若點(diǎn)M，N滿足BM=13MC，DN=2NC，則AM?AN=（）
A．28B．32C．36D．40
【解題思路】根據(jù)矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，可得答案.
【解答過程】
由BM=13MC，則BM=14BC；由DN=2NC，則DN=23DC，
在矩形ABCD中，由AB⊥AD，則AB?AD=0，
AM?AN=AB+BM?AD+DN=AB+14BC?AD+23DC
=AB+14AD?AD+23AB=AB?AD+23AB2+14AD2+16AB?AD
=23×36+14×16=28.
故選：A.
【變式3-3】（2023·廣東廣州·華南師大附中校考一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB ∥ CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=4EB，動點(diǎn)P在以E為圓心，1為半徑的圓上，則DP?AC的最大值為（）
A．3-21B．23-6C．21-6D．-3
【解題思路】過點(diǎn)D作DO⊥AB，垂足為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用DP?AC=DE?AC+EP?AC，通過坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的定義來求解最值.
【解答過程】過點(diǎn)D作DO⊥AB，垂足為O，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A-2,0,C1,23,D0,23,E2,0，
則DP?AC=DE+EP?AC=DE?AC+EP?AC，
其中DE?AC=2,-23?3,23=6-12=-6，
EP?AC=EPACcsEP,AC=1×9+12csEP,AC=21csEP,AC，
當(dāng)csEP,AC=1，即EP,AC同向時，EP?AC取最大值21，
所以DP?AC的最大值為21-6.
故選：C.
【題型4 平面向量的模的問題】
【例4】（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┤粝蛄縜、b滿足：a=1，a+b⊥a，2a-b=10，則b=（）
A．2B．2C．10D．10
【解題思路】由平面向量垂直可得出a?b=-1，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得b的值.
【解答過程】因?yàn)橄蛄縜、b滿足：a=1，a+b⊥a，2a-b=10，
則a+b?a=a2+a?b=1+a?b=0，所以，a?b=-1，
所以，2a-b2=4a2-4a?b+b2=4+4+b2=10，故b=2.
故選：B.
【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(a-b)，且a//b，則|c|=（）
A．2B．3C．5D．6
【解題思路】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算將向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為(a+b)?(a-b)=a2-b2=0，然后利用向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算公式和向量共線的坐標(biāo)關(guān)系得到方程組，求解即得x,y的值，進(jìn)而計(jì)算向量c=(x,y)的模.
【解答過程】因?yàn)閍=(x,1)，b=(2,y)，
由(a+b)⊥(a-b)可得，(a+b)?(a-b)=a2-b2=0，
即x2+1-4+y2=0，整理得x2-y2=3.
又因?yàn)閍∥b，所以xy=2，
聯(lián)立x2-y2=3xy=2，解得x=2y=1或x=-2y=-1，
故|c|=x2+y2=5，
故選C.
【變式4-2】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a與b的夾角為π3，則a-2b=（）
A．5B．4C．2D．0
【解題思路】a-2b平方展開后，利用向量的數(shù)量積定義進(jìn)行運(yùn)算即可.
【解答過程】因?yàn)閍-2b2=a2-4a?b+4b2
=4-4×2×1×csπ3+4=4，
所以a-2b=2，
故選：C.
【變式4-3】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）如圖，在長方形 ABCD中，AB=6,AD=4，點(diǎn) P 滿足DP=λDC，其中λ∈0,23，則PA+PB的取值范圍是（）
A．4,5
B．8,10
C．4,17
D．217,10
【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到P6λ,4，λ∈0,23，從而求出PA+PB=6-12λ2+64，求出最值.
【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A0,0,B6,0,D0,4,C6,4，設(shè)Ps,t，
因?yàn)镈P=λDC，所以s,t-4=λ6,0，即s=6λ,t=4，
故P6λ,4，λ∈0,23，
則PA+PB=-6λ,-4+6-6λ,-4=6-12λ,-8，
則PA+PB=6-12λ2+64，
因?yàn)棣恕?,23，所以6-12λ∈-2,6，6-12λ2∈0,36，
故PA+PB=6-12λ2+64∈8,10.
故選：B.
【題型5 平面向量夾角與垂直問題】
【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）向量a，b滿足a=4，b=1，2a-3b?b=3，則向量a，b夾角的余弦值為（）
A．23B．34C．-34D．-23
【解題思路】由a=4，b=1，且2a-3b·b=2，從而可求解.
【解答過程】由題意知a=4，b=1，
又因?yàn)?a-3b?b=2a?b-3b2=2abcsa,b-3b2=3，
解之得：csa,b=34，故B項(xiàng)正確.
故選：B.
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量a=-1,-2，b=4,-2，若a-λb⊥a+μb，則（）
A．4λμ=1B．4λμ=-1
C．4λ+μ=1D．4λ+μ=-1
【解題思路】用坐標(biāo)表示向量a-λb,a+μb，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，并化簡得結(jié)果.
【解答過程】法一：用坐標(biāo)表示向量a-λb,a+μb
由題意可知，a-λb=-1-4λ,-2+2λ,a+μb=-1+4μ,-2-2μ，
由a-λb⊥a+μb得，
-1-4λ-1+4μ+-2+2λ-2-2μ=0，
整理得，5-20λμ=0，
所以4λμ=1．則A對；
法二：因?yàn)橄蛄縜=-1,-2,b=4,-2，
所以a=5,b=25,a?b=-4+4=0，
又a-λb⊥a+μb，
所以a-λb?a+μb=a2+μ-λa?b-λμb2=5-20λμ=0，
所以4λμ=1.
故選：A．
【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知平面向量a=2,0，b=1,3，則向量a-b與a-12b的夾角為（）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解題思路】利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得csa-b,a-12b=32×3=32，進(jìn)而可得結(jié)果．
【解答過程】因?yàn)閍=2,0，b=1,3，所以a-b=1,-3，a-12b=32,-32，
所以a-b?a-12b=3，所以csa-b,a-12b=32×3=32，
又0≤a-b,a-12b≤π，所以向量a-b與a-12b的夾角為π6．
故選：A．
【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBC，且cs∠AOC∈13,23，則μ的取值范圍為（）
A．23,56B．15,310C．43,53D．15,35
【解題思路】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)镺為△ABC的外心，即有|OA|=|OB|=|OC|，所以△ABC為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.
【解答過程】
因?yàn)锳O=λAB+(1-λ)AC=λAB+AC-λAC，
則AO-AC=λ(AB-AC)，所以CO=λCB，即B，O，C三點(diǎn)共線．
因?yàn)镺為△ABC的外心，即有|OA|=|OB|=|OC|，
所以△ABC為直角三角形，因此AB⊥AC，O為斜邊BC的中點(diǎn)．因?yàn)閏s∠AOC∈13,23，所以∠AOC為銳角．
如圖，過點(diǎn)A作AQ⊥BC，垂足為Q．
因?yàn)锽A在BC上的投影向量為BQ= μBC，所以12

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