TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22286" 【題型1 圓錐曲線的定義及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22286 \h 3
\l "_Tc3111" 【題型2 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】 PAGEREF _Tc3111 \h 4
\l "_Tc24379" 【題型3 橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問(wèn)題】 PAGEREF _Tc24379 \h 5
\l "_Tc5781" 【題型4 焦半徑問(wèn)題】 PAGEREF _Tc5781 \h 5
\l "_Tc1974" 【題型5 焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1974 \h 6
\l "_Tc13300" 【題型6 圓錐曲線中的最值問(wèn)題】 PAGEREF _Tc13300 \h 6
\l "_Tc8392" 【題型7 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】 PAGEREF _Tc8392 \h 6
\l "_Tc29783" 【題型8 阿基米德三角形】 PAGEREF _Tc29783 \h 8
\l "_Tc8052" 【題型9 蒙日?qǐng)A】 PAGEREF _Tc8052 \h 9
\l "_Tc4332" 【題型10 切線問(wèn)題】 PAGEREF _Tc4332 \h 10
\l "_Tc30602" 【題型11 定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法】 PAGEREF _Tc30602 \h 10
\l "_Tc6222" 【題型12 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc6222 \h 11
圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其中圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，在選擇、填空題中的考查主要有三個(gè)方面：一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題；難度中等.
通過(guò)對(duì)圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)1 圓錐曲線的定義及應(yīng)用】
1.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程
在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)定義判定軌跡
曲線并寫出方程．有時(shí)還要注意軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制．
2.圓錐曲線定義的應(yīng)用
(1)圓錐曲線定義的應(yīng)用主要有：求標(biāo)準(zhǔn)方程，將定義和余弦定理等結(jié)合使用，研究焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積，求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．
(2)應(yīng)用圓錐曲線的定義時(shí)，要注意定義中的限制條件．在橢圓的定義中，要求；在雙曲線的定義中，要求；在拋物線的定義中，定直線不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．此外，通過(guò)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統(tǒng)一在一起，稱為圓錐曲線．
【知識(shí)點(diǎn)2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)的研究】
1.解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
用解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)是通過(guò)方程進(jìn)行討論的，再通過(guò)方程來(lái)研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)．不僅要能由方程研究曲線的幾何性質(zhì)，還要能運(yùn)用兒何性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，如利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系等．
【知識(shí)點(diǎn)3 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法】
1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待
定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)
在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.
(3)與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為.
3.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【知識(shí)點(diǎn)4 橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】
1.求橢圓離心率或其范圍的方法
解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a, b, c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用離心率公式求解.
(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.
(3)構(gòu)造a, c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a, c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
2.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)直接求出a, c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)
求解.
【知識(shí)點(diǎn)5 圓錐曲線中的最值問(wèn)題的解題策略】
1.橢圓中的最值問(wèn)題
求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.
2.雙曲線中的最值問(wèn)題
求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.
3.與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略
(1)轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.
(2)轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.
【題型1 圓錐曲線的定義及應(yīng)用】
【例1】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）P為橢圓x26+y22=1上一點(diǎn)，曲線x2+y=1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，C，D，若PA+PB+PC+PD=46，則P到x軸的距離為（ ）
A．913B．813C．21913D．7813
【變式1-1】（2023·四川達(dá)州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24-y23=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則F1P+F1Q-|PQ|=（ ）
A．5B．6C．8D．12
【變式1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l:x=32與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸上方一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD垂直于C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D．若∠DFO=π3，則p的值為（ ）
A．12B．1C．2D．2
【變式1-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若點(diǎn)F1關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在C上，且直線PF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則cs∠F1QF2=（ ）
A．23B．45C．57D．1213
【題型2 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】
【例2】（2023·河南安陽(yáng)·二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1F2=23，P為C上一點(diǎn)，PF1的中點(diǎn)為Q，△PF2Q為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（ ）．
A．x2-y22=1B．x22-y2=1
C．2x23-2y23=1D．3x2-3y28=1
【變式2-1】（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)Mx0,x0x0≠0滿足|MF|=5，則拋物線C的方程為（ ）
A．y2=2xB．y2=xC．y2=8xD．y2=4x
【變式2-2】（2023·安徽合肥·三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四邊形OACB的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在橢圓E上，若直線AB和OC的斜率乘積為-12，四邊形OACB的面積為362，則橢圓E的方程為（ ）
A．x28+y24=1B．x26+y23=1
C．x24+y22=1D．x22+y2=1
【變式2-3】（2023·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為-1,-1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x22-y22=1B．x24-y24=1
C．x24-y2=1D．x22-y2=1
【題型3 橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問(wèn)題】
【例3】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線y=3x與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若F1、A、F2、B四點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（ ）
A．33B．3C．3-1D．3-12
【變式3-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，Q為線段F1F2上一點(diǎn)，P為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，S△PQF1=2S△PQF2，△PQF1與△PQF2的周長(zhǎng)之和為10a，且它們的內(nèi)切圓半徑相等，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．4C．5D．6
【變式3-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓C1:x212+y22=1和雙曲線C2:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=π2，則雙曲線C2的離心率為（ ）
A．52B．5C．102D．10
【變式3-3】（2023·湖南永州·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，點(diǎn)P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，且PF2與y軸平行，直線PF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，若2PF1=5F1Q，則C的離心率為（ ）
A．217B．3311C．77D．2111
【題型4 焦半徑問(wèn)題】
【例4】（2023·西藏拉薩·一模）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且MF=4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OM=（ ）
A．5B．25C．4D．5
【變式4-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上第四象限的點(diǎn)．若直線PF的方程為y=22(x-2)，則|PF|=（ ）
A．6B．4C．3D．2
【變式4-2】（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P2,y0在拋物線C:y2=2px(p>0)上，若P到C的準(zhǔn)線的距離為52，則OP= ．
【變式4-3】（2023·廣東茂名·三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線D及其準(zhǔn)線依次交于A,B,C三點(diǎn)（其中點(diǎn)B在A,C之間），若AF=4,BC=2BF.則△OAB的面積是 .
【題型5 焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】
【例5】（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，若AF2=4，則△AF1F2的面積為（ ）
A．23B．13C．4D．15
【變式5-1】（2023·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2-y2=4的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，△AF1F2,△BF1F2,△F1AB的內(nèi)切圓圓心分別為O1,O2,O3，則△O1O2O3的面積是（ ）
A．62-8B．62-4C．8-42D．6-42
【變式5-2】（2023·安徽·一模）已知橢圓C:x2a2+y2=1a>1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若△MNF2的周長(zhǎng)為8，則△MF1F2面積的最大值為（ ）
A．32B．3C．23D．3
【變式5-3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，且F1F2=2b2a，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，則λ的值為（ ）
A．52B．12C．5-12D．5+12
【題型6 圓錐曲線中的最值問(wèn)題】
【例6】（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則1PF1+1PF2的最小值為 ．
【變式6-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，M4,0，過(guò)點(diǎn)M作直線x+a-3y-3a-2=0的垂線，垂足為Q，點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則PF+PQ的最小值為 ．
【變式6-2】（2022高三·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓E:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓M:x2+y2-10x-8y+40=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF1+PQ的最大值為 ．
【變式6-3】（2022·河北邯鄲·一模）已知點(diǎn)P在雙曲線x24-y25=1的右支上，A0,2，動(dòng)點(diǎn)B滿足AB=2，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PF-PB的最大值為 .
【題型7 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】
【例7】（2023·貴州畢節(jié)·二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦法．如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2，過(guò)軸OO1的截面為平面OAB，平行于平面OAB的平面α與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分．若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于OA,OB，則建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，雙曲線C的方程可以為（ ）
A．y2-x24=1B．y24-x2=1
C．y2-x2=1D．y22-x2=1
【變式7-1】（22-23高三下·湖北武漢·期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若從橢圓右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足AB⊥AD，且cs∠ABC=35，則該橢圓的離心率為（ ）．
A．12B．22C．32D．53
【變式7-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面α∥PQ，平面α截圓錐側(cè)面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（ ）
A．233B．133C．3D．2
【變式7-3】（2023·新疆烏魯木齊·三模）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值λλ≠1的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A-32,12，B-32,2，若點(diǎn)P是滿足λ=12的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線C:y2=6x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-32上的射影為R，則PB+2PQ+2QR的最小值為（ ）
A．34B．37C．42D．35
【題型8 阿基米德三角形】
【例8】（2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（ ）
A．p22B．p2C．2p2D．4p2
【變式8-1】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為183π，以C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．x29+4y227=1B．x236+y227=1C．x281+y212=1D．4x281+y23=1
【變式8-2】（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線y2=x的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形PAB面積的最小值為（ ）
A．12B．14C．2D．1
【變式8-3】（2024·陜西銅川·一模）古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的π倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓C的面積為125π，離心率為23，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為x236+y220=1 ②若∠F1AF2=π3，則S△F1AF2=203
③存在點(diǎn)A，使得∠F1AF2=π2 ④2AF1+1AF2的最小值為14+26
A．①③B．②④C．②③D．①④
【題型9 蒙日?qǐng)A】
【例9】（2023·青海西寧·二模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的蒙日?qǐng)A為C:x2+y2=43a2，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A．22B．32C．33D．63
【變式9-1】（2023·四川·三模）19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=a2+b2.若圓x-32+y-b2=9與橢圓x23+y2=1的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（ ）
A．±3B．±4C．±5D．25
【變式9-2】（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）定義：圓錐曲線C:x2a2+y2b2=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，a2+b2為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓C的方程為x25+y24=1，P是直線l:x+2y-3=0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線與橢圓相切于M、N兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP，當(dāng)∠MPN為直角時(shí)，則kOP=（ ）
A．-34或43B．125或0C．-95或125D．-43或0
【變式9-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形G的四邊均與橢圓M:x26+y24=1相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A．橢圓M的離心率為33B．橢圓M的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=10
C．若G為正方形，則G的邊長(zhǎng)為25D．長(zhǎng)方形G的面積的最大值為18
【題型10 切線問(wèn)題】
【例10】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知P為拋物線x2=4y上一點(diǎn)，過(guò)P作圓x2+(y-3)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則cs∠APB的最小值為（ ）
A．12B．23C．34D．78
【變式10-1】（2023·湖北·一模）已知圓C1:x2+y2=b2b>0與雙曲線C2:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，若在雙曲線C2上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓C1的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且∠APB=π3，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是（ ）
A．1,52B．52,+∞
C．1,3D．3,+∞
【變式10-2】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知Ma,3是拋物線C：x2=2pyp>0上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為4，過(guò)點(diǎn)P4,2向拋物線C作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AF?BF=（ ）
A．-1B．1C．16D．-12
【變式10-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x2a2+y2b2a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1-c,0，F(xiàn)2c,0，過(guò)點(diǎn)F2作圓O：x2+y2=c2的切線，與C交于M，N兩點(diǎn).設(shè)圓O的面積和△MNF1的內(nèi)切圓面積分別為S1，S2，且S1:S2=4:1，則C的離心率為（ ）
A．12B．64C．22D．32
【題型11 定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法】
【例11】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的離心率為2，直線l與C交于P,Q兩點(diǎn)，D為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則l與OD的斜率的乘積為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【變式11-1】（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線l與OM的斜率之積為-13，則C的離心率為（ ）
A．12B．22C．33D．63
【變式11-2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線”．過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點(diǎn)F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，滿足F1B=3F1A．設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值是（ ）
A．26B．35C．43D．52
【變式11-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=kx與橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A,B兩點(diǎn)，M是橢圓上異于A,B的一點(diǎn)．若橢圓E的離心率的取值范圍是33,22，則直線MA，MB斜率之積的取值范圍是（ ）
A．-22,-12B．-12,-14
C．-32,-22D．-23,-12
【題型12 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題】
【例12】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)），cs∠F1F2P=7-14，則該雙曲線的離心率為（ ）

A．2B．2C．72D．7
【變式12-1】（2023·河北張家口·二模）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽(yáng)灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是80cm，燈深40cm，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（ ）
A．20cmB．10cmC．30cmD．40cm
【變式12-2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）桂林山水甲天下，那里水?山秀，聞名世界，桂林的山奇特險(xiǎn)峻，甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來(lái)到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A、B兩點(diǎn)處，甲站在A處唱歌時(shí)離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，現(xiàn)已知橢圓：C:x2100+y216=1上一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作切線l，A,B兩點(diǎn)為左右焦點(diǎn)，cs∠AMB=45，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為 （ ）
A．26B．10C．310D．7
【變式12-3】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為x2a2-y2b2=1，F(xiàn)1,F2分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（F2，A，B在同一直線上），滿足AB⊥AD,∠ABC=3π4，則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A．2+1B．2+3C．5+22D．5-22
1．（2023·北京·高考真題）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上．若M到直線x=-3的距離為5，則|MF|=（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若PF1?PF2=0，則PF1?PF2=（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓C:x29+y26=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，cs∠F1PF2=35，則|OP|=（ ）
A．135B．302C．145D．352
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（ ）
A．55B．255C．355D．455
5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．1,1B．-1,2C．1,3D．-1,-4
6．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．過(guò)F2向一條漸近線作垂線，垂足為P．若PF2=2，直線PF1的斜率為24，則雙曲線的方程為（ ）
A．x28-y24=1B．x24-y28=1
C．x24-y22=1D．x22-y24=1
7．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2．若e2=3e1，則a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
8．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-3x-1過(guò)拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．p=2B．MN=83
C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形
9．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為 ．
10．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)A1,5在拋物線C：y2=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
11．（2023·天津·高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓C:(x+2)2+y2=3相切，且l與拋物線y2=2px(p>0)交于點(diǎn)O,P兩點(diǎn)，若OP=8，則p= ．
12．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B,F2A=-23F2B，則C的離心率為 ．

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