一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
圖案規(guī)律中的猜想歸納思想
知識方法精講
1．規(guī)律型：圖形的變化類
圖形的變化類的規(guī)律題
首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．
2．認(rèn)識圖形
（1）幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形．
（2）立體圖形：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形．
（3）重點和難點突破：
結(jié)合實物，認(rèn)識常見的立體圖形，如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi)．
猜想歸納思想
歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。
解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察→歸納→猜想→證明(驗證)”，具體做法：
（1）認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；
（2）根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個一般性的結(jié)論；
（3）結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗證結(jié)論的正確性。
歸納猜想類問題可以分成四大類：
（1）數(shù)式歸納猜想題
這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個一般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號的關(guān)系是解這類題的關(guān)鍵。
（2）圖形歸納猜想題
此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為載體考查圖形所蘊含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。
（3）結(jié)論歸納猜想題
結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，是解題的關(guān)鍵。
（4）類比歸納猜想題
類比歸納猜想題通常是指由兩類對象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對象的某些已知的性質(zhì)，推斷出另一類對象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時也指兩個對象在研究方法、學(xué)習(xí)過程上類比，考查類比歸納推理能力。
一．選擇題（共19小題）
1．（2021?巴南區(qū)自主招生）把四邊形和三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中圖案①中共有4個三角形，圖案②中共有7個三角形，圖案③中共有10個三角形，，若按此規(guī)律拼圖案，則圖案⑧中共有
A．13個三角形B．19個三角形C．25個三角形D．31個三角形
2．（2019?渝北區(qū)自主招生）下列圖形都是由相同的☆按一定規(guī)律組成的，其中，第①個圖形中一共有3個☆，第②個圖形中一共有7個☆，第③個圖形中一共有13個☆，，則第7個圖形中☆的個數(shù)為
A．51B．57C．73D．74
3．（2021?康巴什校級三模）將一些相同的病毒“●”按如圖所示的規(guī)律依次擺放成類似“蝙蝠俠”的圖案，觀察下列“蝙蝠俠”圖案中病毒“●”的排列規(guī)律，則第21個圖形中“●”的個數(shù)為
A．347B．385C．425D．467
4．（2021?淄川區(qū)一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察，下面四個選項中的圖片，適合填補(bǔ)圖中空白處的是
A．B．C．D．
5．（2021?泗水縣一模）將一列有理數(shù)，2，，4，，6，，如圖所示有序排列．根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，有理數(shù)4在“峰1”中的處．則有理數(shù)在
A．峰處B．峰處C．峰處D．峰處
6．（2021?渝中區(qū)校級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是
A．34B．40C．49D．59
7．（2021?江北區(qū)校級模擬）下列圖形是用棋子按照一定規(guī)律擺成的，第①個圖中有2枚棋子，第②個圖中有6枚棋子，第③個圖中有12枚棋子，，按照這種擺法，第8個圖形中共有棋子
A．42B．56C．64D．72
8．（2021?九龍坡區(qū)模擬）下列圖形都是由同樣大小的實心圓點按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形一共有5個實心圓點，第②個圖形一共有8個實心圓點，第③個圖形一共有11個實心圓點，，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中實心圓點的個數(shù)為
A．19B．20C．22D．23
9．（2021秋?平陰縣期末）將全體自然數(shù)按下面的方式進(jìn)行排列，按照這樣的排列規(guī)律，2022應(yīng)位于
A．位B．位C．位D．位
10．（2021秋?中原區(qū)校級期末）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2022個圖形中黑色正方形的數(shù)量是（ ）
A．3030B．3031C．3032D．3033
11．（2021秋?泉州期末）如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個數(shù)，且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，若用表示第行從左到右第個數(shù)，如表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，則表示的數(shù)是
A．B．C．D．
12．（2021秋?秦淮區(qū)期末）在某多媒體電子雜志的某一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設(shè)每邊長為，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖形如圖（2）所示，稱為第一次變化，再對圖（2）的每個邊做相同的變化，得到圖形如圖（3），稱為第二次變化，如此連續(xù)作幾次，便可得到一個絢麗多彩的雪花圖案．如不斷發(fā)展下去到第次變化時，圖形的面積和周長分別為
A．和B．和C．和D．和
13．（2021秋?順德區(qū)期末）用木棒按如圖所示的規(guī)律擺放圖形，第100個圖形需要木棒根數(shù)是
A．501B．502C．503D．504
14．（2021秋?豐臺區(qū)期末）如圖是用棋子擺成的圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第⑨個圖案需要的棋子個數(shù)為
A．81B．91C．109D．111
15．（2021秋?新都區(qū)期末）用火柴棒按如圖所示的方式擺大小不同的“3”，按此規(guī)律擺下去，第2021個“3”需要火柴棒的根數(shù)為
A．4045B．6065C．6068D．8085
16．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）如圖，用菱形紙片按照如下規(guī)律拼成下列圖案，若第個圖案中有2021張紙片，則的值為
A．503B．504C．505D．506
17．（2021秋?西山區(qū)期末）將正方形做如下操作，第1次分別連接各邊中點如圖2，得到5個正方形；第2次將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個正方形，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2025個正方形，則需要操作的次數(shù)為
A．503B．504C．505D．506
18．（2021秋?嵩縣期末）有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”（如圖；再分別以這兩個正方形的邊為斜邊，向外各自作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第二次“生長”（如圖如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是
A．1B．2020C．2021D．2022
19．（2021秋?大埔縣期末）如圖所示，直線，相交于點，“阿基米德曲線”從點開始生成，如果將該曲線與每條射線的交點依次標(biāo)記為1，，3，，5，．那么標(biāo)記為“2021”的點在
A．射線上B．射線上C．射線上D．射線上
二．填空題（共6小題）
20．（2020?通遼）如圖，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1個正方形需要4個小正方形，拼第2個正方形需要9個小正方形，按這樣的方法拼成的第個正方形比第個正方形多 個小正方形．
21．（2021?安溪縣模擬）北京天壇的國丘壇為古代祭天的場所，如圖所示分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石） 環(huán)．
22．（2021?五華區(qū)一模）如圖所示，下列各圖形是由大小相同的黑點組成，圖1中有2個點，圖2中有7個點，圖3中有14個點，，按此規(guī)律，那么圖8中黑點的個數(shù)是 ．
23．（2021?大慶模擬）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第1個圖案中有1個黑色三角形，第2個圖案中有3個黑色三角形，第3個圖案中有6個黑色三角形按此規(guī)律排列下去，則第5個圖案中黑色三角形的個數(shù)為 個．
24．（2021?黔東南州模擬）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓按此規(guī)律排列下去，第10個圖形中圓的個數(shù)是 個．
25．（2021秋?大同期末）觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個圖形中★的個數(shù)為 ．
三．解答題（共3小題）
26．（2021?膠州市一模）問題提出：
如果在一個平面內(nèi)畫出條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？
問題探究：
為解決問題，我們經(jīng)常采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)到復(fù)雜的情形，在探究的過程中，通過歸納得出一般性的結(jié)論，進(jìn)而拓展應(yīng)用．
探究一：
如圖1，當(dāng)在平面內(nèi)不畫條）直線時，顯然該平面只有1部分，可記為．
探究二：
如圖2，當(dāng)在平面內(nèi)畫1條直線時，該平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可記為（1）．
探究三：
當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線，若兩條直線平行（如圖，該平面被分成3部分；若兩條直線相交（如圖，交點將第2條直線分成2段，每一段將平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，該平面被分成4部分，因此當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線時，該平面最多被分成4部分，可記為（2），我們獲得的直接經(jīng)驗是：直線相交時，平面被分成的部分多．
探究四：
當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線，若3條直線相交于一點（如圖，該平面被分成6部分；若3條直線的交點都不相同時（如圖，第3條直線與前兩條直線有2個交點，該直線被2個交點分成了3段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分，該平面被分成7部分．因此當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線時，該平面最多被分成7部分，可記為（3）．我們獲得的經(jīng)驗是：直線相交的交點個數(shù)越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直線交點個數(shù)最多的情況即可．
探究五：
當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線（如圖，第4條直線與前3條直線有3個交點，該直線被3個交點分成了4段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，該平面被分成11部分．因此當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線時，該平面最多被分成11部分，可記為（4）．
探究六：
在平面內(nèi)畫5條直線，最多可以把這個平面分成幾部分？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖）
問題解決：
如果在一個平面內(nèi)畫出條直線，最多可以把這個平面分成 部分．
應(yīng)用與拓展：
（1）如果一個平面內(nèi)的10條直線將平面分成了50個部分，再增加2條直線，則該平面至多被分成 個部分．
（2）如果一個平面被直線分成了497部分，那么直線的條數(shù)至少有 條．
（3）一個正方體蛋糕切5刀，被分成的塊數(shù)至多為 塊．
27．（2021?蕪湖模擬）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形按此規(guī)律排列下去，解答下列問題：
（1）填寫下列表格：
若第個圖案中黑色三角形的個數(shù)有91個，求的值．
28．（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式：
（1）觀察圖形，寫出第（7）個等式： ；根據(jù)圖中規(guī)律，寫出第個圖形的規(guī)律： ；（用含有的式子表示）
（2）求出的值．圖序
①
②
③
④
黑色三角形個數(shù)
1
3
6


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