最新中考數(shù)學(xué)思想方法講與練【猜想歸納】數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想
知識方法精講
規(guī)律型：數(shù)字的變化類
探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式．
（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．
2. 猜想歸納思想
歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。
解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察→歸納→猜想→證明(驗證)”，具體做法：
（1）認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；
（2）根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個一般性的結(jié)論；
（3）結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗證結(jié)論的正確性。
歸納猜想類問題可以分成四大類：
（1）數(shù)式歸納猜想題
這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個一般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號的關(guān)系是解這類題的關(guān)鍵。
（2）圖形歸納猜想題
此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為載體考查圖形所蘊含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。
（3）結(jié)論歸納猜想題
結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，是解題的關(guān)鍵。
（4）類比歸納猜想題
類比歸納猜想題通常是指由兩類對象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對象的某些已知的性質(zhì)，推斷出另一類對象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時也指兩個對象在研究方法、學(xué)習(xí)過程上類比，考查類比歸納推理能力。
一．選擇題（共8小題）
1．（2021秋?天橋區(qū)期末）已知，，則的值為
A．B．C．1010D．1011
【考點】代數(shù)式求值；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)已知得出，再進(jìn)一步計算可得．
【解答】解：，，
，
故選：．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是將原式變形為．
2．（2021秋?遷安市期末）如圖，某“學(xué)子餐廳”把密碼做成了數(shù)學(xué)題．小紅在餐廳就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接到了餐廳網(wǎng)絡(luò)．則他輸入的密碼
A．28140B．110908C．280930D．280908
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)題中密碼規(guī)律確定出所求即可．
【解答】解：原式
．
故選：．
【點評】此題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
3．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）有依次排列的3個數(shù)：2，9，7，對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，7，9，，7，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，5，7，2，9，，，9，7，繼續(xù)操作下去，從數(shù)串2，9，7開始操作第2022以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是
A．20228B．10128C．5018D．2509
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)大小比較
【分析】根據(jù)題意分別求得第一次操作，第二次操作所增加的數(shù)，可發(fā)現(xiàn)是定值5，從而求得第2022次操作后所有數(shù)之和．
【解答】解：第一次操作增加數(shù)字：，7，
第二次操作增加數(shù)字：5，2，，9，
第一次操作增加，
第二次操作增加，
即，每次操作加5，
第2022次操作后所有數(shù)之和為．
故選：．
【點評】此題主要考查了數(shù)字變化類，關(guān)鍵是找出規(guī)律，要求要有一定的解題技巧，解題的關(guān)鍵是能找到所增加的數(shù)是定值5．
4．（2021秋?長壽區(qū)期末）觀察：世界上著名的萊布尼茨三角形，如圖所示：
請仔細(xì)觀察排列規(guī)律，則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是
A．B．C．D．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，可知第行的第個數(shù)字等于第行的第個數(shù)字與第行的第個數(shù)字之差，從而可以解答本題．
【解答】解：由圖可得，
第7行第一個數(shù)字是：，
第8行第一個數(shù)字是：，
第9行第一個數(shù)字是：，第二個數(shù)字是：，
則第10行第一個數(shù)字是：，第二個數(shù)字是：，第三個數(shù)字是：，
故選：．
【點評】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)字變化規(guī)律，求出相應(yīng)的數(shù)據(jù)．
5．（2021秋?嵩縣期末）計算的值為
A．1B．0C．2021D．
【考點】有理數(shù)的加減混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】每4個數(shù)為一組，從而可求解．
【解答】解：
．
故選：．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是分析清楚所求數(shù)據(jù)的規(guī)律．
6．（2021秋?費縣期末）已知，，，都是不等于0的有理數(shù)，若，則等于1或；若，則等于2或或0；若，則所有可能等于的值的絕對值之和等于
A．0B．110C．210D．220
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；絕對值
【分析】從20個數(shù)的符號進(jìn)行討論，都相同時，有1個不同時，有2個不同時，，有10個不相同時，分別求出的值，再計算即可．
【解答】解：當(dāng)20個數(shù)的符號相同時，等于20或，
當(dāng)20個數(shù)的符號有1個相異時，等于18或，
當(dāng)20個數(shù)的符號有2個相異時，等于16或，
當(dāng)20個數(shù)的符號有3個相異時，等于14或，
，
當(dāng)20個數(shù)的符號有10個相異時，等于0，
所有可能等于的值的絕對值之和等于，
故選：．
【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給信息，通過分類討論，找到式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
7．（2021?云南模擬）組按規(guī)律排列的多項式：，，，，，其中第個式子是
A．B．
C．D．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；多項式
【分析】把已知的多項式看成由兩個單項式組成，分別找出兩個單項式的規(guī)律，也就知道了多項式的規(guī)律．
【解答】解：多項式的第一項依次是，，，，，，
第二項依次是，，，，，，
得到第個式子是：．
故選：．
【點評】此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律多項式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項式分成幾個單項式的和，分別找出各單項式的規(guī)律是解決這類問題的關(guān)鍵．
8．（2021?任城區(qū)二模）記，令，則為，，，，這列數(shù)的“凱森和”．已知，，的“凱森和”為2004，那么18，，，的“凱森和”為
A．2018B．2019C．2020D．2021
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】先根據(jù)已知求出的值，再設(shè)出新的凱森和，列出式子，把得數(shù)代入，即可求出結(jié)果．
【解答】解：，
，
設(shè)新的“凱森和”為，
，
．
故選：．
【點評】此題考查了數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是掌握“凱森和”這個新概念，找出其中的規(guī)律，再根據(jù)新概念對要求的式子進(jìn)行變形整理即可．
二．填空題（共14小題）
9．（2021秋?邵陽縣期末）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入的值為50，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為25，第2次輸出的結(jié)果為32，，則第2022次輸出的結(jié)果為 2 ．
【考點】代數(shù)式求值；有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)設(shè)計的程序進(jìn)行計算，找到循環(huán)的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)計算．
【解答】解：由設(shè)計的程序知，依次輸出的結(jié)果是25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，，發(fā)現(xiàn)從第4個數(shù)開始，以8，4，2，1循環(huán)出現(xiàn)，
則，，
故第2022次輸出的結(jié)果是2．
故答案為：2．
【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出相應(yīng)的輸出結(jié)果．
10．（2021秋?青神縣期末）根據(jù)下列各式的規(guī)律，在橫線處填空：
，，，，．
【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)給定等式的變化，可找出變化規(guī)律“為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．
【解答】解：，
，
，
，
，
為正整數(shù)），
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)等式的變化，找出變化規(guī)律“為正整數(shù)）”是解題的關(guān)鍵．
11．（2021秋?魯?shù)榭h期末）一列關(guān)于的單項式：，，，，，按上述規(guī)律，第個單項式為．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項式
【分析】不難發(fā)現(xiàn)各項的指數(shù)部分為，據(jù)此進(jìn)行作答即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
第個單項式為：．
故答案為：．
【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關(guān)鍵是分析清楚所給的單項式中系數(shù)與指數(shù)的變化規(guī)律．
12．（2021秋?石景山區(qū)期末）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，則第5個式子是；第2022個式子是．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；多項式
【分析】先根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)多項式次數(shù)的定義得出答案即可．
【解答】解：，，，，，
的指數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，，
的指數(shù)依次為1，3，5，7，，，，，，
且系數(shù)中，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，
第個式子的是，
第5個式子為：，
第2022個式子為：．
故答案為：，．
【點評】本題考查了代數(shù)式和多項式的次數(shù)定義，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?新邵縣期末）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第2次運算則輸出的結(jié)果是6，第3次運算則輸出的結(jié)果是3，，則第2021次輸出的結(jié)果是 4 ．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算；代數(shù)式求值
【分析】把代入程序中計算，以此類推得到一般性規(guī)律，即可確定出第2021次輸出的結(jié)果．
【解答】解：把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
以此類推，
，
第2021次輸出的結(jié)果為4，
故答案為：4．
【點評】此題考查了代數(shù)式求值，數(shù)字的變化規(guī)律，弄清題中的程序框圖是解本題的關(guān)鍵．
14．（2021秋?成都期末）小海在學(xué)習(xí)之余喜歡做智力闖關(guān)游戲，如圖所示的游戲中，各正方形中的四個數(shù)之間都具有同一種規(guī)律，按此規(guī)律得出的值為 14 ．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)各個正方形中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，從而可以求得、、的值，進(jìn)而求得的值．
【解答】解：由題意可得，
左上角的數(shù)字加2是右上角的數(shù)字，左下角的數(shù)字等于是左上角的數(shù)字的平方，右下角數(shù)字等于其它三個數(shù)的和，
則，，，
，
故答案為：14．
【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中正方形中數(shù)字的變化規(guī)律．
15．（2021秋?泗洪縣期末）為了保密，許多情況下都要采用密碼進(jìn)行交流，這時就要有破譯密碼的“鑰匙”．英語字母表中字母順序是按以下順序排列的：，如果規(guī)定又接在的后面，使26個字母排成一個圈．代數(shù)式“”代表把一個字母換成字母圈中從它開始逆時針移動2位的字母，例如：密碼“”表示“”，翻譯成漢語就是“我”，又如密碼“”表示“”，翻譯成漢語就是“鋼筆”，此時代數(shù)式“”就是破譯此密碼的“鑰匙”，如果密碼“”的鑰匙是“”，則此密碼翻譯成漢語就是我是一位學(xué)生．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)密碼的鑰匙是“”，可得密碼“”表示“”，則可得此題結(jié)果．
【解答】解：密碼的鑰匙是“”，
密碼“”應(yīng)表示“”，
翻譯成漢語就是：我是一位學(xué)生，
故答案為：我是一位學(xué)生．
【點評】此題考查了密碼規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能利用密碼鑰匙得到真正密碼，再翻譯成漢語．
16．（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù)，從下到上的第1個至第4個臺階上依次標(biāo)著，，，0，且任意相鄰4個臺階上數(shù)的和都相等．
（1）第5個臺階上的數(shù)是；
（2）若第個出現(xiàn)在第2022個臺階上，則的值為．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）由題意可得，，解方程可得的值；
（2）由題意得臺階上的數(shù)以，，，0四個數(shù)循環(huán)，用，再根據(jù)余數(shù)可得答案．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得，
故答案為：；
（2）由題意得，臺階上的數(shù)以，，，0四個數(shù)循環(huán)，
，
所以，
故答案為：506．
【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加減法，數(shù)字的變化類．解題的關(guān)鍵是根據(jù)相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等得出臺階上的數(shù)字是每4個一循環(huán)．
17．（2021秋?海珠區(qū)期末）觀察下面三行數(shù)：
1，，9，，25，，；
，，7，，23，，；
，8，，32，，72，；
那么取每行數(shù)的第10個數(shù)，則這三個數(shù)的和為．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，得出這三行中每一行的第10個數(shù)字，再計算和即可．
【解答】解：由題目中的數(shù)字可得，
第1行的數(shù)字是平方數(shù)，奇數(shù)個是正，偶數(shù)個是負(fù)，故第10個數(shù)字是，
第2行數(shù)字比第1行的數(shù)字小2，故第10個數(shù)字是，
第3行的數(shù)字是第1行數(shù)字的倍，故第10個數(shù)字是200．
所以這三個數(shù)的和為，
故答案為：．
【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出相應(yīng)的數(shù)字之和．
18．（2021秋?成華區(qū)期末）已知，，，，，（即當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，；當(dāng)為大于1的偶數(shù)時，，按此規(guī)律， 2 ．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)題意求出前7個數(shù)，可得向得的數(shù)列每6個一循環(huán)，結(jié)合，即可得出，此題得解．
【解答】解：當(dāng)時，
，
，
，
，
，
，
，
由此可得：所得的數(shù)列每6個一循環(huán)，
，
．
故答案為：2．
【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出數(shù)列的規(guī)律：每6個一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．
19．（2021秋?汕尾期末）在2022年迎新聯(lián)歡會上，數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們做了一個游戲．她在，，三個盤子里分別放了一些小球，小球數(shù)依次為，，，記為，，．游戲規(guī)則如下：三個盤子中的小球數(shù)，則從小球最多的一個盤子中拿出兩個，給另外兩個盤子各放一個，記為一次操作；次操作后的小球數(shù)記為，，．若，5，，則，8，，．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】根據(jù)題意先列出前10個數(shù)列，得出從開始每3次為一個周期循環(huán)的規(guī)律，據(jù)此可得答案．
【解答】解：，5，，
，6，，，7，，，8，，，9，，
，10，，，8，，，9，，
，10，，，8，，，9，，
從開始每3次為一個周期循環(huán)，
，
，8，，
故答案為：，8，，，8，．
【點評】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是弄清題意得出從開始每3次為一個周期循環(huán)的規(guī)律．
20．（2021秋?慶陽期末）觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
按照以上規(guī)律，寫出第個等式：．（用含的代數(shù)式表示）
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式
【分析】觀察一系列等式，歸納總結(jié)得到第個等式，用字母表示出所得的規(guī)律即可．
【解答】解：第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
第個等式：；
故答案為：．
【點評】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
21．（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）觀察下列等式：
①；②；③．
計算：的結(jié)果為．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算
【分析】根據(jù)所給的等式的形式，把所求的式子進(jìn)行整理，即可求解．
【解答】解：
，
故答案為：．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式分析清楚所存在的規(guī)律并運用．
22．（2021秋?唐縣期末）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和．
例如：，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；
，它有三項，中間項系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；
，它有四項，中間項系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；．
則的展開式中系數(shù)和為 16 ．
【考點】多項式；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；完全平方公式；數(shù)學(xué)常識
【分析】根據(jù)數(shù)字找規(guī)律即可解答．
【解答】解：，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2，
，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4，
，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8，
展開式的系數(shù)和為：，
所以的展開式中系數(shù)和為．
故答案為：16．
【點評】本題考查了多項式，完全平方式，數(shù)學(xué)常識，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題）
23．（2021秋?思明區(qū)校級期末）觀察下面等式：
；；；；
根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第個等式，并證明；
（2）計算：．
【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）先根據(jù)所給的式子寫出第個式子的表達(dá)式，再經(jīng)過計算可驗證；
（3）把每一個分?jǐn)?shù)拆分，進(jìn)一步相乘抵消進(jìn)行計算．
【解答】解：（1）第個等式為：，
左邊右邊，
故等式成立；
（2）原式
．
【點評】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，熟練掌握分?jǐn)?shù)的拆分計算．
24．（2021秋?中山市期末）仔細(xì)觀察下列三組數(shù)：
第一組：1，，9，，25，
第二組：0，，8，，24，
第三組：0，10，，34，，
根據(jù)它們的規(guī)律，解答下列問題：
（1）取每組數(shù)的第10個數(shù)，計算它們的和；
（2）取每組數(shù)的第個數(shù)，它們的和能否是，說明理由．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）不難看出第一組的第個數(shù)為：，第二組的數(shù)是第一組相應(yīng)的數(shù)減去1，第三組的數(shù)是第二組相應(yīng)的數(shù)乘以，據(jù)此寫出第10個數(shù)再相加即可；
（2）可設(shè)第一組的第個數(shù)是，則表示出第二組，第三組相應(yīng)的數(shù)再相加運算即可判斷．
【解答】解：（1）第一組第個數(shù)為：，則第10個數(shù)為：，
則第二組第10個數(shù)為：，
第三組第10個數(shù)為：202，
故；
（2）不能，理由如下：
設(shè)第一組的第個數(shù)是，則第二組的第個數(shù)為：，第三組第個數(shù)為，
，
所以取每組數(shù)的第個數(shù)，它們的和是1．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)字總結(jié)出存在的規(guī)律．
25．（2021秋?任城區(qū)期末）觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題：
，
，
，
．
（1）第4個等式中正整數(shù)的值是 9 ；
（2）第5個等式是：；
（3）第個等式是：．（其中是正整數(shù)）
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）根據(jù)給出的算式計算即可；
（2）總結(jié)規(guī)律繼續(xù)寫出第5個算式即可；
（3）根據(jù)上面的式子可歸納第個等式為．
【解答】解：（1），且取正整數(shù)，
，
故答案為：9；
（2）觀察上面的規(guī)律可得：
第5個等式是：，
故答案為：；
（3）根據(jù)已知等式可歸納為：
第個等式是：．
故答案為：．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
26．（2021秋?蘇州期末）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律寫出：第個等式為正整數(shù)）；
（2）求的值；
（3）探究計算：．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算
【分析】（1）對所給的等式進(jìn)行分析，不難總結(jié)出其規(guī)律；
（2）利用所給的規(guī)律進(jìn)行求解即可；
（3）仿照所給的等式，對各項進(jìn)行拆項進(jìn)行，再運算即可．
【解答】解：（1）第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
，
第個等式：，
故答案為：；
（2）
；
（3）
．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)字分析清楚所存在的規(guī)律．
27．（2021?安徽模擬）觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第4個等式：；
（2）寫出你猜想的第個等式：（用含的式子表示），并證明；
（3）應(yīng)用：計算的值．
【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；
（2）分析所給的等式，進(jìn)行總結(jié)即可得出結(jié)果；
（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）由題意得：第4個等式：，
故答案為：；
（2），
證明：
，
；
故答案為：；
（3）
．
【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．
28．（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為，依次類推，排在第位的數(shù)稱為第項，記為．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：，，，，，．
一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示．如：數(shù)列1，3，5，7，為等差數(shù)列，其中，，公差為．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）等差數(shù)列5，10，15，的公差為 5 ，第5項是．
（2）如果一個數(shù)列，，，，，是等差數(shù)列，且公差為，那么根據(jù)定義可得到：，，，，，．
所以，
，
，
由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：．
（3）是不是等差數(shù)列，，的項？如果是，是第幾項？
（4）如果一個數(shù)列，，，，，是等差數(shù)列，且公差為，前項的和記為，請用含，，的代數(shù)式表示，．
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案；
（2）根據(jù)前面幾個式子的規(guī)律可得等差數(shù)列的通項公式；
（3）把代入（2）中得到的公式可得答案；
（4）把前面幾個數(shù)字相加可得．
【解答】解：（1），，
，后面的幾項分別是20、25、，
第5項是25．
故答案為：5，25．
（2），
，
，
．
故答案為：．
（3），
，
解得，
是等差數(shù)列，，的項，是第1346項．
（4）．
故答案為：．
【點評】本題考查了數(shù)字變化類問題，解決問題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．
29．（2021秋?石景山區(qū)期末）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．
下面是小石的探究過程，請補充完整：
（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
特例，
特例，
特例，
特例，
特例（填寫運算結(jié)果）．
（2）觀察、歸納，得出猜想．
如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運算規(guī)律為：．
（3）證明你的猜想．
（4）應(yīng)用運算規(guī)律．
①化簡：；
②若，均為正整數(shù)），則的值為．
【考點】二次根式的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）根據(jù)特例進(jìn)行分析求解；
（2）根據(jù)特例中數(shù)字的變化規(guī)律分析求解；
（3）利用二次根式的性質(zhì)和分式加減運算法則進(jìn)行計算證明；
（4）①利用運算規(guī)律和二次根式乘法運算法則進(jìn)行計算；
②利用運算規(guī)律分析求得和的值，從而代入求值．
【解答】解：（1）特例5，，
故答案為：；
（2）由題意可得：為正整數(shù)），
故答案為：為正整數(shù)）；
（3）左邊，
為正整數(shù)，
左邊．
又右邊，
左邊右邊．
即為正整數(shù)）；
（4）①原式
20，
故答案為：20；
②由題意，當(dāng)時，
，
，，
，
故答案為：57．
【點評】本題考查二次根式的混合運算，分式的加減運算，理解二次根式的性質(zhì)，探索數(shù)字變化規(guī)律，掌握分式加減運算法則是解題關(guān)鍵．
30．（2020?海淀區(qū)校級模擬）小云想用7天的時間背誦若干首詩詞，背誦計劃如下：
①將詩詞分成4組，第組有首，，2，3，4；
②對于第組詩詞，第天背誦第一遍，第天背誦第二遍，第天背誦第三遍，三遍后完成背誦，其它天無需背誦，，2，3，4；
③每天最多背誦14首，最少背誦4首．
解答下列問題：
（1）填入補全上表；
（2）若，，，則的所有可能取值為 4，5，6 ；
（3）7天后，小云背誦的詩詞最多為首．
【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)表中的規(guī)律即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列不等式，即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）
（2）每天最多背誦14首，最少背誦4首，
，，，
①，
②，
把①代入②得，，
，
的所有可能取值為4，5，6，
故答案為：4，5，6；
（3）每天最多背誦14首，最少背誦4首，
由第2天，第3天，第4天，第5天得，
①，②，③，④，
①②③④得，，
，
，
，
天后，小云背誦的詩詞最多為23首，
故答案為：23．
【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，不等式的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1組
第2組
第3組
第4組
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1組
第2組
第3組
第4組

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