閱讀與思考
當(dāng)一個問題涉及相當(dāng)多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法.
歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導(dǎo)，解題中的觀察活動主要有三條途徑：
1．?dāng)?shù)與式的特征觀察．
2．幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察．
3．通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.
需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明．
【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是___________.
（“東方航空杯”上海市競賽試題）
(A) (B) (C)
解題思路：認(rèn)真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。

【例2】如圖，依次連結(jié)第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結(jié)第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為1，則第n個正方形的面積是____．

（湖北省武漢市競賽試題）
解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時的簡單情形，進(jìn)而作出猜想．
【例3】如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．
(1)“17”在射線____上．
(2) 請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律．
(3)“2 007”在哪條射線上？

（貴州省貴陽市中考試題）
解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6的余數(shù)相同．
【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：
EQ \F(1,1)， EQ \F(1,2)， EQ \F(2,1)， EQ \F(1,3)， EQ \F(2,2)， EQ \F(3,1)， EQ \F(1,4)， EQ \F(2,3)， EQ \F(3,2)， EQ \F(4,1)， EQ \F(1,5)， EQ \F(2,4)， EQ \F(3,3)， EQ \F(4,2)， EQ \F(5,1)， EQ \F(1,6)，…(※)
(1)在(※)中，從左起第m個數(shù)記為F(m)，當(dāng)F(m)＝ EQ \F(2,2001)時，求m的值和這m個數(shù)的積．
(2)在(※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c．它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)c和d，使cd＝2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由．
（湖北省競賽試題）
解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵，
【例5】在2,3兩個數(shù)之間，第一次寫上 EQ \F(2＋3,1)＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上 EQ \F(2＋5,2)＝\F(7,2)和 EQ \F(5＋3,2)＝4，如圖所示：

第k次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的 EQ \F(1,k)．
(1)請寫出第3次操作后所得到的9個數(shù)，并求出它們的和．
(2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數(shù)的和記為
Sk＋1，寫出Sk＋1與Sk之間的關(guān)系式．
(3)求S6的值．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個數(shù)，再把它們相加即可．
(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù)2和3之外，中間的
n－2個數(shù)均重復(fù)計算了2次，用Sk表示出Sk＋1
(3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值．
能力訓(xùn)練
1．有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個數(shù)之和為 ．
（廣東省廣州市競賽試題）
2．如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1 cm的正六邊形排列而成．其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個黑色六邊形，則此鏈子有________個白色六邊形．
（2013年“實中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）
3．按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)：
EQ \F(1,1)． EQ －\F(1,3)， EQ \F(2,3)， EQ －\F(3,3)， EQ \F(1,5)， EQ －\F(2,5)， EQ \F(3,5)， EQ －\F(4,5)， EQ \F(5,5)， EQ －\F(1,7)， EQ \F(2,7)， EQ －\F(3,7)，…中，第98個數(shù)是__________.
（山東省競賽試題）
4．給出下列麗列數(shù)
2，4，6，8，10,…，1 994
6，13, 20, 27, 34,…，1 994
則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是( )．
A．142 B．143 C．284
（浙江省競賽試題）
如圖，∠AOB＝45°，對OA上到點Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線且與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯
形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝ .
6．一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設(shè)五條直線最多分平面為ｎ部分，則n等于( )
A．16 B．18 Ｃ．24 D．31
（北京市“迎春杯”競賽試題）
7．觀察下列正方形的四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律．那么2013這個數(shù)標(biāo)在( )．
A．第503個正方形的左下角 B．第503個正方形的右下角
C．第504個正方形的左下角 D．第504個正方形的右下角
（2013年浙江省衢江市競賽試題）
8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：
(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)．
(2)數(shù)127應(yīng)在上起第幾行，左起第幾列．

（北京市“迎春杯”競賽試題）
9．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…
問：這串?dāng)?shù)的前100個數(shù)中（包括第100個數(shù)）有多少個偶數(shù)？
（“華羅庚金杯”競賽試題）
10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由．
（“五羊杯”競賽試題）
11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：
第1個數(shù)： EQ \F(1,2)－(1＋\F(－1,2))；
第2個數(shù)：；
第3個數(shù)：；
…
第n個數(shù)：．
那么，在第10個數(shù)，第11個數(shù)，第12個數(shù)，第13個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個？
12.有依次排列的3個數(shù)：3，9，8．對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，－1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？

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