一、必備秘籍
1、超幾何分布
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為
，
其中，，，，，，，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2、公式 中個(gè)字母的含義
—總體中的個(gè)體總數(shù)
—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))
—樣本容量
—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))
注意：
(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；
(2) 不放回抽樣；
(3) 注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.
二、典型題型
題型一：超幾何分布的概率問題
1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運(yùn)會(huì)，是繼年北京亞運(yùn)會(huì)、年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式隆重舉行.某電商平臺(tái)亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點(diǎn)前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎(jiǎng)活動(dòng).每輪抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺(tái)會(huì)有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈(zèng)送.而直播時(shí)這名觀眾始終在線，記兩次抽獎(jiǎng)中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.
(1)已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；
(2)當(dāng)取到最大值時(shí)，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件，可知，利用獨(dú)立事件的概率公式可得出關(guān)于的等式，解之即可；
（2）求得，解不等式，解出的取值范圍，即可得解.
【詳解】（1）解：記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件.
，
整理可得，即，
又因?yàn)榍遥獾?
（2）解：“”表示第一次在個(gè)人中抽取個(gè)，
第二次抽取的個(gè)人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的個(gè)人在第一次抽取的人中，
，記，
由，
解得，又，所以時(shí)，取最大值.
2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）
【答案】(1)44.5
(2)
【分析】（1）求出指數(shù)，再根據(jù)百分位數(shù)的求法即可；
（2）利用組合公式結(jié)合古典概型即可得到答案.
【詳解】（1）由條件得，指數(shù)，
則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第30人與第31人的年齡平均值，
由莖葉圖可知，第30人的年齡為44，第31人的年齡為45，
則所求的第60百分位數(shù)是44.5.
（2）由莖葉圖可知，年齡在的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，
令為至少有三人投贊成票，依題意得，
被選中的4人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是
被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是，
被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是，
則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為.
3．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎(jiǎng)，抽到2個(gè)紅球得二等獎(jiǎng)，抽到1個(gè)紅球得三等獎(jiǎng)，抽到0個(gè)紅球不得獎(jiǎng)．求得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率．
【答案】得一等獎(jiǎng)的概率約為0.0686，得二等獎(jiǎng)的概率約為0.3431，得三等獎(jiǎng)的概率約為0.4412．
【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.
【詳解】解：從18個(gè)小球中抽取3個(gè)時(shí)，有種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，
則，則
P（得一等獎(jiǎng)）．
P（得二等獎(jiǎng)）．
P（得三等獎(jiǎng)）．
因此，得一等獎(jiǎng)的概率約為0.0686，得二等獎(jiǎng)的概率約為0.3431，得三等獎(jiǎng)的概率約為0.4412．
4．（2022上·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┠撑a(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)當(dāng)，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(2)當(dāng)，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(3)（1）、（2）分別對(duì)應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.
【答案】(1)；
(2)見解析；
(3)見解析.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，如果放回，是二項(xiàng)分布，計(jì)算概率值；
（2）如果不放回，是超幾何分布，分別計(jì)算概率值；
（3）對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識(shí)從共同點(diǎn)、不同點(diǎn)和聯(lián)系三個(gè)方面進(jìn)行說明．
【詳解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取時(shí)都是從這件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為，
可以把3次抽取看成是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這樣抽到的次品數(shù)，
恰好抽到1件次品的概率為.
（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品數(shù)是隨機(jī)變量，服從超幾何分布，的分布與產(chǎn)品的總數(shù)有關(guān)，
所以需要分3種情況分別計(jì)算：
①時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為490件，
從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.
②時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為4900件，
從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.
③時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為件，合格品的件數(shù)為49000件，
從50000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為.
（3）對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識(shí)：
共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗．
不同點(diǎn)：
1、超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽取；
2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；
聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布．
題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差
1．（2024上·山東德州·高二統(tǒng)考期末）為落實(shí)“雙減”政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計(jì)劃實(shí)行課后看護(hù)工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取該小學(xué)三年級(jí)的個(gè)班級(jí)并調(diào)查需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)，分布如下：
(1)若將上述表格中人數(shù)低于人的班級(jí)兩兩組合進(jìn)行看護(hù)，求班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)的概率；
(2)從已抽取的個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取個(gè)班，記個(gè)班中需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)低于人的班級(jí)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）求出將人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于人的個(gè)班兩兩組合進(jìn)行課后看護(hù)，
共種不同的方法，其中班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)共種方法．
記表示事件“班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)”，則其概率．
（2）解：隨機(jī)變量的可能取值為、、、，
可得，，
，，
則的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為．
2．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間，，，，內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；
(2)為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；
（2）先由題意得到隨機(jī)變量的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：
．
（2）由題意可知，和的頻率之比為：，
故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，
隨機(jī)變量的取值可以為，
，，
，，
故的分布列為：
所以.
3．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動(dòng)，記錄他們?cè)谝?guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．
（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．
【答案】(1)
(2)（?。┓植剂幸娊馕觯?；（ⅱ）
【分析】（1）每一組的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率即可得到平均值；
（2）由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望，即可得到（?。┑拇鸢?；又利用條件概率即可得到（ⅱ）的答案.
【詳解】（1）該班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù):
．
（2）由題意可知進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，
頻率比為；
所以抽取的8人中，進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．
（?。┯深}意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列為
所以．
（ⅱ）記事件“抽取的3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間”，
事件“抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間”，
則，，
所以，
即這3個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率為．
4．（2023上·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，
①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；
②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，，，
(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識(shí)建立方程組，計(jì)算即可;
（2）根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列，進(jìn)一步求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．
因?yàn)榈诹〗M的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．
由頻率之和為1，得，所以．
因?yàn)轭l率分布直方圖中的滿足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因?yàn)榍?組的頻率之比為，
且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，
所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是
．
②由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是．則
故隨機(jī)變量的分布列為
故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
5．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某商家2023年1月至7月商品的月銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份與商品的月銷售量存在線性關(guān)系.

(1)求月份與商品的月銷售量的回歸直線方程；
(2)若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個(gè)月，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：回歸直線方程，其中.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）由題意先分別算出，，結(jié)合已知參數(shù)即可算出，，從而即可得解.
（2）合格月有5個(gè)，其中記為5分的月份有3個(gè)，記為10分的月份有2個(gè)，由超幾何分布的概率公式即可求出分布列，進(jìn)一步得出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1），，
，
所以，，
所以.
（2）由題可知，合格月有5個(gè)，其中記為5分的月份有3個(gè)，記為10分的月份有2個(gè)，
所以，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
三、專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）火車晚點(diǎn)是人們?cè)诼眯羞^程中最常見的問題之一，針對(duì)這個(gè)問題，許多人都會(huì)打電話進(jìn)行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率對(duì)每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對(duì)近8年（2015年~2022年）每年火車正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若預(yù)計(jì)2024年火車的正點(diǎn)率為，試估算2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；
(2)根據(jù)顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評(píng)為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評(píng)價(jià)“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
，
【答案】(1)，20次；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；
（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應(yīng)用超幾何概率公式求對(duì)應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而求期望.
【詳解】（1）由題設(shè)，，則，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，代入，得到，
所以2024年顧客對(duì)該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.
（2）由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，
，，，
所以.
2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.
(1)設(shè)其中兩只小鼠中在對(duì)照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）
對(duì)照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實(shí)驗(yàn)組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.
附：，其中.
【答案】(1)分布列見解析，期望為1
(2)（i），列聯(lián)表見解析；（ⅱ）有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求分布列，進(jìn)而可得期望；
（2）（i）直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；（ⅱ）利用卡方公式及對(duì)照表計(jì)算即可.
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為，
填二聯(lián)表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
，
所以有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.
3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中紅球有個(gè)，已知從盒子中任取2個(gè)球都是紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球，記取出的球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）結(jié)合組合知識(shí)利用古典概型概率公式列方程求解即可；
（2）由題意得到隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分別求出概率，寫出分布列，求出的數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中紅球有個(gè)，
因?yàn)閺暮凶又腥稳?個(gè)球都是紅球的概率為，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由題意可能的取值為0，1，2，3，
則，，，，
故的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對(duì)市場上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取型和型設(shè)備各臺(tái)，得到如下頻率分布直方圖．
(1)將使用壽命超過小時(shí)和不超過小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷使用壽命是否超過小時(shí)與型號(hào)有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由．
(2)用分層抽樣的方法從使用壽命不超過小時(shí)的型和型設(shè)備中共抽取臺(tái)，再從這臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取臺(tái)，設(shè)其中型設(shè)備有臺(tái)，求的分布列和．
(3)現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作小時(shí)才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型號(hào)設(shè)備（更換設(shè)備的時(shí)間忽略不計(jì)）．型和型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為萬元和萬元，型和型設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)分別耗電度（度千瓦時(shí)）和度，電價(jià)為元/度．用頻率估計(jì)概率，只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號(hào)的設(shè)備？說明理由．
附：，其中．
【答案】(1)列聯(lián)表見解析；使用壽命是否超過小時(shí)與型號(hào)無關(guān)，理由見解析
(2)分布列見解析；
(3)應(yīng)選擇型設(shè)備，理由見解析
【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可計(jì)算得到列聯(lián)表所需數(shù)據(jù)，由此可得，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可得結(jié)論；
（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定抽取的型設(shè)備的臺(tái)數(shù)，進(jìn)而確定的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望值；
（3）估算出需更換的型設(shè)備的數(shù)量，從而計(jì)算出使用型設(shè)備的總費(fèi)用，比較費(fèi)用大小即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
提出零假設(shè)：使用壽命是否超過小時(shí)與型號(hào)無關(guān)，
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
可以認(rèn)為成立，即使用壽命是否超過小時(shí)與型號(hào)無關(guān)．
（2）由分層抽樣定義知：抽取的型設(shè)備有臺(tái)，抽取的型設(shè)備有臺(tái)，則所有可能的取值為，
；；；
的分布列為：
.
（3）由頻率分布直方圖中的頻率估計(jì)概率知：
型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為，臺(tái)型設(shè)備估計(jì)要更換臺(tái)；
型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為，臺(tái)型設(shè)備估計(jì)要更換臺(tái)．
則選擇A型設(shè)備的總費(fèi)用（萬元）；
選擇型設(shè)備的總費(fèi)用（萬元），
，應(yīng)選擇型設(shè)備.
5．（2023·全國·高二課堂例題）一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．
(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率：
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意，摸出20個(gè)球，采用有放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，；采用不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，可寫出分布列．
（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值，進(jìn)而可算得，進(jìn)行比較可判斷.
【詳解】（1）對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此，X的分布列為：
，，1，2，…，20．
.
對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為：
，，1，2，…，20．
.
（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.0001），如下表所示．
樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)上表，計(jì)算得
有放回摸球：．
不放回摸球：．
因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些．
兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（下圖）看，超幾何分布更集中在均值附近．

6．（2022上·上海嘉定·高二?？计谥校┮阎?5張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3輪發(fā)出，每輪隨機(jī)發(fā)出5張卡．
(1)求事件“第1輪無紅色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率；
(3)求事件“每輪均有紅色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合古典概型的概率求法求；
（2）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合互斥事件的加法公式求；
（3）討論第一輪有紅牌1、2、3張，對(duì)應(yīng)第二輪出現(xiàn)紅牌可能張數(shù)的概率和，即可求.
【詳解】（1）由題意，“第1輪無紅色卡牌”的概率.
（2）由題意，“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率.
（3）要使每輪都有紅色卡牌，有如下情況：
第一輪抽到1張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張、3張，
此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，
第一輪抽到2張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張，
此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，
第一輪抽到3張紅牌，則第二輪紅牌有1張，
此時(shí)每輪都有紅牌的概率為，
綜上，3輪中“每輪均有紅色卡牌”的概率.
7．（2022·北京·景山學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；
(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(3)5
【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出的值，進(jìn)而估計(jì)出概率；
（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子進(jìn)行判斷.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝?，
現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大.
8．（2020·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．
（1）某校生物學(xué)科獲得等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：
現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請(qǐng)解決下列問題：
①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）
②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．
附：若，則，．
【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）①69分；②．
【分析】（1）寫出隨機(jī)變量的所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求出的每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（2）①設(shè)該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求出，代入不等式組，即求的值.
【詳解】（1）隨機(jī)變量的所有可能的取值為.
由題意可得：，，
，，
隨機(jī)變量的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
（2）①設(shè)該劃線分為，由得，
令，則，
由題意，，即，
，，，
，，?。?br>②由①討論及參考數(shù)據(jù)得
，
即每個(gè)學(xué)生生物統(tǒng)考成績不低于分的事件概率約為，
，．
由
即
解得，
，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力，屬于較難的題目．
9．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.
①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？
②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.
【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.
【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．
①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在，”為，利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率求解即可．
②隨機(jī)變量所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天對(duì)甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，判斷，通過若戶的可能性最大，列出不等式組，求解即可．
【詳解】（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在”發(fā)生的概率為.
①記事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在”為A，則.
②隨機(jī)變量所有可能的取值為0，1，2.則
，，，
所以
（2）每天對(duì)甲類生活物資的需求平均值為
（）
則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為，從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，
若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，，
若k戶的可能性最大，則，
，得，
解得，由于，故.
【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法、二項(xiàng)分布的知識(shí)和應(yīng)用、樣本估計(jì)總體的思想與方法、隨機(jī)事件概率的計(jì)算以及隨機(jī)變量期望的概率的計(jì)算與應(yīng)用，考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)分析問題、解決問題的能力.
10．（2020上·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績，等級(jí)賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級(jí)考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個(gè)等級(jí)，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級(jí)考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)分，等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：
而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算：
其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為，時(shí)，等級(jí)分分別為、
假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表：
設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績?yōu)?，根?jù)公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.
已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績，其中化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下表：
（1）從化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績不小于96分的概率；
（2）從化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.
【答案】（1）（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)成績換算公式，計(jì)算出等級(jí)成績不低于96分時(shí)的原始成績，進(jìn)而得到等級(jí)成績不低于96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；
（2）列出隨機(jī)變量的所有可能的取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可．
【詳解】（1）設(shè)化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績?yōu)?，等?jí)成績?yōu)?，由轉(zhuǎn)換公式得：
，即：，
所以，得：，
顯然原始成績滿足的同學(xué)有3人，獲得等級(jí)的考生有15人.
恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績不小于96分的概率為.
（2）由題意可得：等級(jí)成績不小于96分人數(shù)為3人，獲得等級(jí)的考生有15人，
，
，
則分布列為
則期望為：
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型、計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)表的應(yīng)用、超幾何分布，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
班級(jí)代號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
需看護(hù)學(xué)生人數(shù)
20
22
27
30
25
23
32
21
X
P
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
15
20
25
600
592
43837.2
93.8
0
1
2
合計(jì)
對(duì)照組
實(shí)驗(yàn)組
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合計(jì)
對(duì)照組
6
14
20
實(shí)驗(yàn)組
14
6
20
合計(jì)
20
20
40
0
1
2
3
型號(hào)
使用壽命
合計(jì)
超過小時(shí)
不超過小時(shí)
型
型
合計(jì)
型號(hào)
使用壽命
合計(jì)
超過小時(shí)
不超過小時(shí)
型
型
合計(jì)
k
k
0
0.00004
0.00001
11
0.07099
0.06376
1
0.00049
0.00015
12
0.03550
0.02667
2
0.00309
0.00135
13
0.01456
0.00867
3
0.01235
0.00714
14
0.00485
0.00217
4
0.03499
0.02551
15
0.00129
0.00041
5
0.07465
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等級(jí)
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