\l "_Tc32608" 二、典型題型 PAGEREF _Tc32608 \h 2
\l "_Tc9471" 題型一：等體積法求點到平面的距離 PAGEREF _Tc9471 \h 2
\l "_Tc29999" 題型二：利用向量法求點到平面的距離 PAGEREF _Tc29999 \h 10
\l "_Tc29092" 三、專項訓練 PAGEREF _Tc29092 \h 16
一、必備秘籍
1、等體積法求點到平面的距離
（1）當點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學思維方法
（2）在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達到目的時，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點，如當線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點
2、利用向量法求點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
二、典型題型
題型一：等體積法求點到平面的距離
1．（23·24高二上·上海黃浦·階段練習）如圖，邊長為1的正方形中，分別是的中點，沿把這個正方形折成一個四面體使三點重合，重合后的點記為.則在四面體中，點到平面的距離為 .

【答案】
【詳解】由題意，折疊后的四面體如圖所示，

因為正方形邊長為，分別是的中點，
所以，即，
又平面，所以平面，
同時由，得，
又，
所以，
，
設(shè)到平面的距離為，
則，即，解得.
故答案為：.
2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如圖，已知點P在圓柱的底面圓O的圓周上，，圓O的直徑，圓柱的高．
(1)求圓柱的體積；
(2)求點A到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知可得，圓柱的底面半徑，圓柱的高，
圓柱體積為：；
（2）設(shè)點到平面的距離為，
在等腰中，由，則，
為直徑，，
在中，，
則，
由底面，底面,所以，
又，平面，所以平面，
平面，
故，
， ，
由等體積法，得，
解得：．
即點到平面的距離為．
3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如圖，已知長方體中，，，連接，過B點作的垂線交于E，交于F．

(1)求證：平面；
(2)求點A到平面的距離；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，平面，平面，得，
又（已知），平面，平面，，
所以平面，得.
同理，平面，得.
因為平面，平面，，，，
所以平面.
（2）因為平面，所以點A到平面的距離等于點B到平面的距離，設(shè)為d，
因為，，即，，
所以，.
故點A到平面的距離等于.
4．如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；
(2)求點到面的距離.
【答案】(1)答案見詳解
(2)
【詳解】（1）∵∥, 平面，平面，
∴∥平面
（2）連接,設(shè)點到面的距離為，
由已知可得,
由正方體的性質(zhì)可知平面,則,
∵，
∴，解得，
即點到面的距離為.

5．（23·24高二上·江西九江·階段練習）如圖所示的五邊形中是矩形，，沿折疊成四棱錐.
(1)從條件①；②；③中任選兩個作為補充條件，證明：平面平面：
(2)在（1）的條件下，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）選條件①②：
證明：由題意知，，，所以，
在中，，，則，，
又因為為矩形，，則，所以，
在中，，由余弦定理可得，解得，
所以，即，
又因為，、平面，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面.
選條件①③：
證明：由題意知，，，所以，
在中，，，則，，
又因為為矩形，，則，所以，
又，所以，即，
又因為，、平面，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面.
選條件②③：
證明：由題意知，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以，即，
又因為，、平面，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面.
（2）因為，平面，平面，
所以平面，
又，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離.
由（1）知，平面，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以，
在中，，，則，
所以在中，由余弦定理得，則，
所以，
設(shè)點到平面的距離為，則點到平面的距離也為，
由可得，即，解得，
故點到平面的距離為.
6．（23·24高三上·上海浦東新·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，其中，，底面，，為的中點，為的中點.

(1)證明：直線平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：

如上圖，取中點，連接、，
∵為的中點，為的中點，為的中點，
∴在矩形中，在中，
又∵平面，平面，平面，平面，
∴平面，平面，
又∵平面，平面，，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面.
（2）解：

如上圖，連接，由題意，，，，
∵底面，平面，平面，
∴，則是等腰直角三角形，
∴，
∵矩形中，，平面，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，則是直角三角形，，
∴.
∵底面，∴是三棱錐的高.
∵底面是矩形，∴.
∵點到平面的距離就是三棱錐的高，
∴由得：，
即，解得：，
即點到平面的距離為.
7．（23·24高二上·上海楊浦·期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.
(1)求證:平面;
(2)若,求到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接,如圖:
因為,四邊形為菱形,
所以,
又為棱的中點,
所以,
因為,
所以,
因為平面,平面,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
（2）因為平面,平面,
所以平面,
則到平面的距離即為點到平面的距離,
設(shè)點到平面的距離為,
因為,,平面,,四邊形為菱形,
所以,
解得,
即到平面的距離為.
題型二：利用向量法求點到平面的距離
1．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，N是的中點，P是的中點，則點A到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，以A為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，令，則，，
所以平面的一個法向量，
所以，
即點A到平面的距離為．
故選：D.
2．（23·24高二上·廣東佛山·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面面，.
(1)證明：平面；
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取中點，連接，
由題意可知：，則∥，
且，則為為平行四邊形，
由，所以四邊形為矩形，
可知，則，
又因為，可知，即，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）如圖所示，以為原點，分別為軸、軸，過作垂直平面的直線，為軸，建立空間直角坐標系.

則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
所以到平面的距離為.
3．（23·24上·滄州·階段練習）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，，，且底面，若邊上存在異于的一點，使得直線．

(1)求的最大值；
(2)當取最大值時，求異面直線與所成角的余弦值；
(3)當取最大值時，求點到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）
建立如圖空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，，
則，．
因為，所以，即．
即，
當時，的最大值為．
（2）由（1）可知，當取最大值時，，，
所以．
所以異面直線與所成角的余弦值為．
（3）設(shè)平面的法向量為，則，，
因為，，，
所以，
取，則，，所以，
所以，
因為到平面的距離等于在上的射影長，
所以．
4．（23·24上·北辰·期中）如圖，且且且平面．
(1)若為的中點，為的中點，求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的正弦值；
(3)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【詳解】（1）取GD中點為Q，連接NQ，MQ.
因為的中點，為的中點，Q為GD中點，
由三角形及梯形中位線定理，可得.
又注意到，平面EDC，平面EDC，
平面MNQ，，則平面平面.
又平面MQN，則平面.
（2）因平面ABCD，平面ABCD，
則，又，則如圖建立以D為原點的空間坐標系.
則.
.
設(shè)平面和平面的法向量分別為.
則，?。?br>，取.
設(shè)平面和平面夾角為，則.
則平面和平面夾角的正弦值為.
（3）由（2），設(shè)，其中，則
又由題可得，平面的一個法向量可取.
結(jié)合直線與平面所成的角為，
則.
則，.
設(shè)平面法向量為，則.
取，則點到平面的距離.
5．（重慶市部分區(qū)2022-2023學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，在正方體中，．

(1)求證：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標系．
∵，，，，
∴，，
∴，∴；
（2）∵，，∴，
設(shè)面的法向量為，
∵，，
∵，，∴，
令，則，，∴，
設(shè)到面的距離為d，
∴.

三、專項訓練
一、單選題
1．（23·24高二上·陜西·階段練習）如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則令，
得．
點到平面的距離為．
故選：D.
2．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意易知直線面，
所以到面的距離即為直線到平面的距離.
建立如圖所示坐標系，則：

，，，，,
所以
設(shè)面的法向量，則：
，即
取，則，所以
所以到面的距離.
故選：D
3．（23·24高二上·湖南邵陽·階段練習）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，
所以,
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，
因為，平面，平面，
所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，
所以直線到平面的距離為 .
故選：D.

4．（23·24上·邯鄲·階段練習）在正三棱柱中，，點分別為棱的中點，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】取的中點，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以令，解得，
所以平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離.
故選：C.

5．（23·24上·紹興·階段練習）在棱長為1的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的三等分點靠近C點，則點E到平面BDF的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
所以點到平面的距離為.
故選：A
6．（23·24高二上·北京·階段練習）如圖，在長方體中，，點B到平面的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
由題意得點到平面距離為三棱錐的高，
設(shè)點到平面距離為，取中點，連接，
因為為長方體，所以，所以，
，，，
所以，，解得.
故選：C.
7．（23·24高二上·湖南益陽·階段練習）如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點，則點到平面的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，連接，
因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，
因為平面，所以，又因為，平面，
所以平面，所以點到平面的距離為，
因為，所以，，
因為為棱的中點，且平面，則易知，
則，則，
設(shè)點到平面的距離為，
則，即，
即，解得．
故選：C.
8．（23·24高二上·吉林長春·階段練習）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
取中點，連結(jié)，
根據(jù)題意，平面，平面，
所以平面平面，
因為，所以，
又平面平面，平面
所以平面，且
由題意可知，
，
則，即為直角三角形，
，
設(shè)到平面的距離為，且，
即，
.
故選：B
9．（23·24高三上·河北滄州·階段練習）在三棱柱中，平面，，，點D是的中點，點E是平面的中心，則點E到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖所示，連接，則點在上，再連接交于點，則為的中點，
因為為的中點，可得，
因為平面，平面，所以平面，
所以點到平面的距離等價于點到平面的距離，
設(shè)點到平面的距離為，由，即，
由，可得,
又由，，所以，
所以為直角三角形，所以，
所以，即點到平面的距離為.
故選：C.

二、填空題
10．（23·24高二上·寧夏固原·階段練習）在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為 .

【答案】/
【詳解】如圖所示，

設(shè)到平面的距離為h，
由得，
所以，
因為正方體的棱長為1，所以，，，
所以是等邊三角形，
所以，
所以，即到平面的距離為.
故答案為：.
11．（23·24高二上·山西太原·階段練習）如下圖所示，在平行六面體中，各棱長均為2，已知，，則點A到平面的距離 .

【答案】/
【詳解】取的中點，記為，連接，如下圖：

在中，，，且為中點，所以，同理可得：，
由，則，且，
因為，平面，所以平面
在中，由余弦定理可得：，
由，，解得，
在中，，
所以，易知，
三棱錐的體積，
在中，由余弦定理可得：，
則，，
設(shè)到平面的距離為，.
故答案為：.
12．（23·24高二上·安徽·階段練習）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點，則平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值為 .

【答案】
【詳解】
連接相交于點，點為底面的中心，取中點為，連接，則，因為平面平面ABCD，則平面，
以點為原點，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
且底面ABCD邊長為2，是等邊三角形，則，
，則，，則，
，設(shè)平面的法向量為，
則，解得，取，則，
，所以，且平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值即為點到平面的距離，則.
故答案為：.
13．（23·24高二上·天津西青·階段練習）如圖，棱長為2的正方體，點是棱的中點，點到直線的距離為 ．

【答案】/
【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為正方體的棱長為2，所以，，，
所以直線方向向量 ，又 ，
，
所以在上的投影長為 ，
所以點到直線的距離為

故答案為：.
三、解答題
14．（23·24高三上·四川成都·階段練習）已知正方形的邊長為2，為等邊三角形（如圖1所示）．沿著折起，點折起到點的位置，使得側(cè)面底面．是棱的中點（如圖2所示）．

(1)求證：；
(2)求點與平面的距離．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，取AB中點O，連接交于,

∵為等邊三角形，
∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故平面，
而平面，∴，
又∵,，
∴.
∴，
又∵平面,平面,，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）設(shè)點與平面的距離為，
∵ABCD是正方形，△PAB為等邊三角形，
∴,，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故⊥平面，
而平面，所以，，
∴在中，，
∴,則易得，
由（1）知，平面，
∴為三棱錐的高，
∴
又∵，
得.
故點與平面的距離為.
15．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習）如圖，已知一個組合體由一個圓錐與一個圓柱構(gòu)成（圓錐底面與圓柱上底面重合.平面為圓柱的軸截面），已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8.
(1)求這個組合體的體積
(2)設(shè)為半圓弧的中點，求到面的距離.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，圓錐的底面圓半徑為4，而其高為3，則圓錐的體積，
圓柱的底面圓半徑為4，高為5，則圓柱的體積，
所以這個組合體的體積為.
（2）連接，由為半圓弧的中點，得，，
而平面，平面，則，，平面，
于是平面，顯然圓錐與圓柱有共同的旋轉(zhuǎn)軸，即點在平面內(nèi)，
因此三棱錐的高為，且，
設(shè)到平面的距離為，由，得，
即，從而，
故到平面的距離為.
16．（23·24高三上·廣東佛山·階段練習）如圖，在正三棱柱中，點為側(cè)棱的中點，且.
(1)證明：平面平面
(2)若二面角的大小為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）法一：
取中點的中點，連接與，
則，且
又為中點，，且，
四邊形是平行四邊形，.
在正三棱柱中，平面平面，
，又為等邊三角形，，
又平面，
平面，又平面，
平面平面，
法二如圖，以原點，垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，
取，則
又平面的法向量為，
，
平面平面
（2）方法一：取中點，連接，
，
在正三棱柱中，，
是二面角的平面角，
又平面，
設(shè)點到平面的距離為，則，
，即點到平面的距離為.
方法二：由（1）得，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，
，取，則
又平面的法向量為，
二面角的大小為
，
由于，
，又，
點到平面的距離為.
17．（23·24高二上·遼寧·階段練習）如圖，六面體中，面且面，，，.
(1)求證：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求點到直線的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為面且面，
面且面，
所以且，
在面中，，
同理，在面中,，
因為，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
由面，面，知，
又因為，面，面,
所以面.
（2）取中點，由題可知，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為面，故面，
又因為為正三角形，所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，以的方向分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，
，，，，
設(shè)面的法向量為，則有，
不妨設(shè)，得，
又面，故面的法向量不妨設(shè)為，
由題意，解得，
于是，，，
所以點到到直線的距離為.
18．（23·24高二上·北京通州·期中）如圖，在正方體中，分別是棱，，，的中點.

(1)求證：四點共面；
(2)求與平面所成角的正弦值；
(3)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
(3)
【詳解】（1）如圖，取的中點 連接,

因為分別是棱，，，的中點，
易得,,所以,
所以四點共面，
又,
所以，
則四點共面，
而過不共線的的三點的平面具有唯一性，
則平面與平面重合，
故四點共面.
（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方形的的邊長為
則
則，
設(shè)是平面的法向量，
則，
取,則所以，
所以與平面所成角的正弦值為
（3）由（2）知平面的法向量，
又
所以點到平面的距離為
，
即到平面的距離為

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