【專項(xiàng)復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題07 數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）（題型訓(xùn)練）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc3217" 二、典型題型 PAGEREF _Tc3217 \h 1
\l "_Tc19737" 題型一：乘型 PAGEREF _Tc19737 \h 1
\l "_Tc10546" 題型二：除型 PAGEREF _Tc10546 \h 5
\l "_Tc32389" 三、專題07 數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc32389 \h 9
一、必備秘籍
錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．
溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.
2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒(méi)有參與相減的項(xiàng)的保留.
二、典型題型
題型一：乘型
例題1．（2023秋·陜西西安·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得：
，所以，兩式相加得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，所以，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以?br>所以；
（2）由（1）知，
則，，
所以，
所以.
例題2．（2023秋·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，公差，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，（）．
(1)求數(shù)列的公比q；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的n的最小值．
【答案】(1)
(2)13
【詳解】（1）∵，，，
又，，，，，
∴，故，解得或（舍去），
∴，
∴，，
∴．
（2）由（1）知，，
所以，
，
錯(cuò)位相減得：
，
∴，
由，可得，
令，
則，
令，
故當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，
而，而，
故，，，滿足，
∴滿足的n的最小值為13．
例題3．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
，
，
又，
，
，
是等差數(shù)列，
；
（2），
（1），
（2），
由（1）-（2）得，
化簡(jiǎn)得，
若為偶數(shù)時(shí)，，
若為奇數(shù)時(shí)，
因此.
例題4．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由題意知，
則當(dāng)時(shí)，，
故兩式相減得，即，
又當(dāng)時(shí)，，，故，
即也適合；
所以當(dāng)時(shí)，，
即，也適合，故；
又?jǐn)?shù)列滿足，，
則為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則，
故，即；
（2）由（1）可得，
故，
則，
故
，
故.
題型二：除型
例題1．（2023秋·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，，.
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，求非零常數(shù)的值；
(2)在（1）的條件下，，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由為遞增的等差數(shù)列，，，
故為方程的兩根，
因?yàn)閿?shù)列為遞增的等差數(shù)列，
解得，，故公差，
所以，所以，
所以，若為等差數(shù)列，設(shè)，
則，整理得，
即，
故，
又，解得，；
（2）由（1）知，所以，
因此，
又，
兩式相減得
，
所以.
例題2．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)棰伲寓?
②①兩得，即
又因，所以；當(dāng)時(shí)，
解得，所以.
（2）由（1）知，則①，
②，
①②得
，
所以.
例題3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由，
得，
兩式相減得，
即，
所以，
又因，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得，
則，
則，
，
兩式相減得
，
所以.
例題4．（2023春·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)記，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）∵,,兩式作差得: ,又，
∴是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列, 則.
設(shè)的公差為, 由, 可得,
∴.
（2）由(1)知: ,的前n項(xiàng)和，
所以,
，
兩式作差得:
.
所以.
三、專題07 數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋?br>則，
則有
兩式相減得：，
因此，有，
所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.
故選：B
2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，則的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意知，，
所以，
故，
兩式相減可得，
，
所以..
故選：A
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部為( ).
A．B．C．1011D．2022
【答案】A
【詳解】由題意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012，
故選：A
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由得：，
；
設(shè)，
則，
，
，
，即，
.
故選：B.
二、填空題
5．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，數(shù)列前項(xiàng)和．
【答案】
【詳解】由已知得，，
則，，
兩式相減得，，
所以，.
故答案為：
6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和 .
【答案】
【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：
，①
則：，②
①②：，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以，
故答案為：.
7．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)即為，且，若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)即為，且
，
，
兩式相減可得：，
. ，單調(diào)遞增，即 .
，，.
又若對(duì)任意，都有，即， .
故答案為： .
8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【詳解】①，
②，
兩式相減得：，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.
則，
則③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案為：
三、解答題
9．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為，
所以有和，
注意到，所以分別解得和，
因此由定義可知與的通項(xiàng)公式分別為.
（2）由（1）可知，
所以由題意有，
當(dāng)時(shí)，有，
所以有，
以上兩式作差得
，
當(dāng)時(shí)，有，
綜上所述：的前項(xiàng)和為.
10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考階段練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)記和分別為和的前n項(xiàng)和，求和.
【答案】(1)，；
(2)，.
【詳解】（1）設(shè)的公比為q，則，
由，，成等差數(shù)列，得，則有，解得，
所以和的通項(xiàng)公式是，.
（2）由（1）知；
，
則，
兩式相減得，
所以.
11．（2023秋·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式與；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)，．
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，則．
因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以．
故，．
（2）證明：．
記的前項(xiàng)和為，
則，
，
兩式相減得
．
所以，所以．
12．（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）得，，
，
所以.
即，即.
13．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求使成立的的最大值.
【答案】(1)
(2)5
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，則.
，則，
得，所以，
所以，所以，所以.
（2）由（1）得，
得，
得，
兩式相減得
，
所以.
由，得，
當(dāng)時(shí)，左邊，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為5.

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