【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題02 直線與平面所成角（線面角)（題型訓(xùn)練）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19591" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc19591 \h 1
\l "_Tc15536" 二、典型題型 PAGEREF _Tc15536 \h 2
\l "_Tc21289" 題型一：求線面角 PAGEREF _Tc21289 \h 2
\l "_Tc273" 題型二：已知線面角求參數(shù) PAGEREF _Tc273 \h 10
\l "_Tc28877" 題型三：求線面角最值（范圍） PAGEREF _Tc28877 \h 19
\l "_Tc3315" 三、專項訓(xùn)練 PAGEREF _Tc3315 \h 27
一、必備秘籍
1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.
注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；
（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為；
（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時，它們的所成角為0.
結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.
3、向量法
設(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則，.
二、典型題型
題型一：求線面角
1．（22·23上·河南·模擬預(yù)測）在三棱臺中，平面ABC，，．

(1)證明：平面平面；
(2)記的中點為M，過M的直線分別與直線，交于P，Q，求直線PQ與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)0
【詳解】（1）取AC的中點D，則AD與平行且相等，
可得四邊形為平行四邊形，則有，
又，故．
又，，，AC，平面，故平面，又因為平面，故，
又因為，，，平面，故平面，
而平面，故平面平面；
（2）以A為原點，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則．
設(shè)，，則，，
由題意知P，M，Q三點共線，可設(shè)，則，
解得，故，，
則，
故，
即平面，故所求線面角的正弦值為0．
2．（22·23上·河南·模擬預(yù)測）已知中，，，，，將沿折起，使點A到點處，．

(1)證明：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為，，可得，
又因為，所以，即，
又，且平面，則平面，
因為平面，所以，
又因為，即，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，故平面平面．
（2）解：以為坐標原點，以DE，DB所在直線為x軸、y軸，以垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，
在直角三角形中，，，則，
由（1）知平面，則為平面的法向量，且，
設(shè)直線CD與平面所成角的角為，
則，
故直線CD與平面所成角的余弦值為．

3．（23·24·柳州·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）
取的中點，連接，因為分別是棱的中點，
則，，∴四邊形為平行四邊形，
所以，∵平面，平面，
平面；
（2）在平面中過點作于，連接，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
由菱形，，得，，
因為點為的中點，∴，故以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，解得，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
綜上，直線與平面所成角的正弦值為.
4．（23·24上·南充·模擬預(yù)測）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點，四邊形是矩形．

(1)若點是的中點，求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）分別是中點，連接，則，

平面平面，則平面，
四邊形是矩形，，同理有平面，
又，平面，故平面平面，
又平面，故平面.
（2）解法一：
在圓錐中，平面，平面
則平面平面，平面平面，作于點，連接，
則面是在平面上的射影，是直線與平面所成的角，
在直角三角形中，，則，
平面，則平面，
在直角三角形中，，，則，
在直角三角形中，，
故，即直線與平面所成角的余弦為.
解法二：在圓錐中，平面，
在直角三角形中，，則，，
在直角三角形中，，則，
建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，
設(shè)是平面的法向量，則，
令得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
.
5．（23·24上·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點．

(1)若是中點，求證：；
(2)求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為四邊形為正方形，
所以，
因為平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因為平面，
所以，
連接，則，
在中，，
所以，
因為，，平面，且，
從而平面，
又平面，
所以，
因為，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因為，所以，
又是中點，，所以，
因為，，平面，且，
所以平面，
又因為平面，
所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則、、、，
則，，，
由得，，所以，
所以，，
設(shè)面的法向量為，由得，，取，則，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
題型二：已知線面角求參數(shù)
1．（22·23下·撫順·模擬預(yù)測）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ABC，，側(cè)面ABFE為正方形，，M為AB的中點，．

(1)證明：；
(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為，求實數(shù)λ的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為CD⊥平面ABC，，所以平面ABC，
因為側(cè)面ABFE為正方形，，所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
因為，所以，
又平面ABFE，所以平面ABFE，
又平面ABFE，所以，
因為平面ABC，平面ABC，
所以，
又平面CDM，所以平面CDM，
又平面CDM，所以．
（2）由（1）可知，，M為AB的中點，所以．
取的中點為N，連接MN，則，
因為平面ABC，所以平面ABC．
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則M（0，0，0），，，F(xiàn)（1，0，2），
所以，，，
設(shè)平面DME的法向量為，
由得，取，
則，
設(shè)直線MF與平面DME所成角為θ，
則，
由題意可知，，
解得（負值舍去），故實數(shù)λ的值為．

2．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點.

(1)求證：平面；
(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為側(cè)面為菱形，，，
所以為邊長為的等邊三角形，
作交于點，則點為的中點，
因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，可得，
又，，平面，可得平面，
因為平面，所以，因為側(cè)面為菱形，所以，
，平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面，，取做的中點，連接，
則，所以平面，
以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
，，
設(shè)，可得，所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，可得，
可得，
解得舍去，或，所以.

3．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，
分別是線段的中點，，
底面四邊形為正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
設(shè)，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，解得：，，；
設(shè)直線與平面所成角為，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距離為，
.

4．（22·23·廈門·模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；
(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1
(2)存在；或
【詳解】（1）因為，
所以不可能為四邊形的對稱軸，則為四邊形的對稱軸，
所以垂直平分，所以．
平面平面
所以平面．
所以到平面的距離．
（2）存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為．
過作平面，所以兩兩垂直.
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系

由（1）得平面平面，因為
所以．
設(shè)，
，
，
設(shè)平面的法向量，
，所以
令，則，
所以平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，，
．
所以或，所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為或．
5．（22·23·萬州·模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；
(2)點是棱上一動點，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在圖1中，因為，，，
所以，，又，
所以，
因為，，
所以，故，

在圖2中，因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面平面，所以；
（2）由（1）知，，，
，平面，平面,
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故以為坐標原點，分別為軸，
在平面內(nèi)過點作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，
因為，平面AEB平面BCE，且，
所以點在平面的射影為中點，故，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
不妨令，則，，
所以為平面的一個法向量．
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以為中點，所以.
6．（22·23下·荊門·模擬預(yù)測）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)已知上是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，
又因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.
理由如下：
取中點，連接，因為，所以，
又，所以為等邊三角形，所以，
因為，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
以為原點，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
.
因為平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
假設(shè)上存在一點，使與平面所成角的正弦值為，設(shè)，
則，所以，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則，可取，
又，
所以，
即，解得，此時；
因此上存在點，使與平面所成角的正弦值為，且.
題型三：求線面角最值（范圍）
1．（22·23下·樂山·三模）在直三棱柱中，，，點P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】分別取中點,則,即平面,
連接,因為,所以,
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
由已知,,,,,
則,
因為，
，
，
易知平面的一個法向量是，
設(shè)直線AP與平面所成角為，則，
，
所以時，，即的最大值是．
故選：B．
2．（21·22下·山東·模擬預(yù)測）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動點.
(1)求證：；
(2)若E，F(xiàn)分別是的中點且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線與平面所成角的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為C是以為直徑的圓O上異于A，B的點，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F(xiàn)分別是的中點，連結(jié)，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.
因為異面直線與所成角的正切值為，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，過點A作的平行線即為直線l.
以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè).
因為為正三角形所以，從而
由已知E，F(xiàn)分別是的中點，所以
則，所以，
所以，
因為，所以可設(shè)，平面的一個法向量為，
則，取，得，
又，則.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的取值范圍為.
3．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點．
（1）證明：；
（2）記二面角的大小為，時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）證明：如圖，作的中點，連接，，
在等腰梯形中，，為，的中點，
∴，
在正中，為的中點，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面內(nèi)作，以為坐標原點，以，，，分別為，，，軸正向，如圖建立空間直角坐標系，
∵，，∴為二面角的平面角，即，
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則有，即，
則可取，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴，
∵，∴，
∴．
4．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為，為線段上的動點.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，.
在正六棱柱中，
因為底面為正六邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面.
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因為為線段上的動點，所以平面，
所以平面.
（2）取的中點為Q，連接，.
因為底面邊長為1，所以，
因為，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因為，所以平面，
即為平面的一個法向量.
連接，以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標系，
則，，，，，
所以，所以，，.
設(shè)（），
所以，
則，
因為，所以，所以的取值范圍是.
5．（22·23·海口·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：過點A作于，

因為平面平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如圖建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，
平面的一個法向量為，，
，所以，，即，
得令，得，
，所以，
顯然，當(dāng)時，取最小值，
綜上，當(dāng)時，的最大值為．
法2：設(shè)點到平面的距離為，因為，平面，
所以平面，所以點A到平面的距離也為，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四邊形中，當(dāng)時，取最小值，
此時四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．
三、專項訓(xùn)練
一、單選題
1．（22·23下·樂山·三模）在直三棱柱中，，，點P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】分別取中點,則,即平面,
連接,因為,所以,
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
由已知,,,,,
則,
因為，
，
，
易知平面的一個法向量是，
設(shè)直線AP與平面所成角為，則，
，
所以時，，即的最大值是．
故選：B．
2．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）將邊長為1的正方形及其內(nèi)部繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與C在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，，，
如圖所示，建立空間直角坐標系．

則，
∴
平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
∴．
故選：D．
3．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點，點P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時的正弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，
平面ABC的一個法向量為，
設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，
，
當(dāng)時，，此時角最大．
故選：D．

4．（22·23上·江西·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，為線段上的動點，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值取最大值時，（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
建立如圖所示空間直角坐標系，
設(shè)
則
設(shè)平面的法向量為
則即令則
設(shè)直線與平面所成角為，
則
當(dāng)時，最大，
故選:D.
二、填空題
5．（22·23上·廈門·期末）正方體中，E為線段的中點，則直線與平面所成角的正弦值為．
【答案】
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則;
；
設(shè)平面的一個法向量為，則，，
令，則.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
故答案為：.
6．（23·24上·濟寧·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，若平面，則直線CD與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【答案】
【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.
則、，設(shè)點，其中.
則，，
因為平面，所以為平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，
.
所以，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
故答案為：.
7．（21·22·全國·單元測試）如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側(cè)面內(nèi)的動點，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】解：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
則，
設(shè)，
則，
因為，
所以，
所以，則，
因為平面，
所以即為AM與平面所成角，即，
則，
所以當(dāng)時，取得最大值.
故答案為：.
8．（22·23上·寧波·階段練習(xí)）已知圓柱中，點在圓上，，，點、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為 .
【答案】
【詳解】取中點，則，以點為坐標原點，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，則，
設(shè)，直線的方向向量為，
所以直線與平面所成角的正弦值為，
即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
故答案為：.
9．（21·22下·綿陽·期末）在正方體中，點Р在側(cè)面(包括邊界)上運動，滿足記直線與平面所成角為，則的取值范圍是
【答案】
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則，
由題可設(shè)，則，
∴，即，
∴點在上，
又，，平面的一個法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范圍是.
故答案為：.
三、解答題
10．（21·22下·山東·模擬預(yù)測）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動點.
(1)求證：；
(2)若E，F(xiàn)分別是的中點且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線與平面所成角的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為C是以為直徑的圓O上異于A，B的點，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F(xiàn)分別是的中點，連結(jié)，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.
因為異面直線與所成角的正切值為，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，過點A作的平行線即為直線l.
以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè).
因為為正三角形所以，從而
由已知E，F(xiàn)分別是的中點，所以
則，所以，
所以，
因為，所以可設(shè)，平面的一個法向量為，
則，取，得，
又，則.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的取值范圍為.
11．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點．
（1）證明：；
（2）記二面角的大小為，時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）證明：如圖，作的中點，連接，，
在等腰梯形中，，為，的中點，
∴，
在正中，為的中點，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面內(nèi)作，以為坐標原點，以，，，分別為，，，軸正向，如圖建立空間直角坐標系，
∵，，∴為二面角的平面角，即，
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則有，即，
則可取，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴，
∵，∴，
∴．
12．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為，為線段上的動點.

(1)求證：平面；
(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，.
在正六棱柱中，
因為底面為正六邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面.
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因為為線段上的動點，所以平面，
所以平面.
（2）取的中點為Q，連接，.
因為底面邊長為1，所以，
因為，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因為，所以平面，
即為平面的一個法向量.
連接，以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標系，
則，，，，，
所以，所以，，.
設(shè)（），
所以，
則，
因為，所以，所以的取值范圍是.
13．（22·23·海口·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：過點A作于，

因為平面平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如圖建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，
平面的一個法向量為，，
，所以，，即，
得令，得，
，所以，
顯然，當(dāng)時，取最小值，
綜上，當(dāng)時，的最大值為．
法2：設(shè)點到平面的距離為，因為，平面，
所以平面，所以點A到平面的距離也為，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四邊形中，當(dāng)時，取最小值，
此時四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．
14．（23·24上·沈陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且M是的中點，，.

(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）∵平面，平面，
∴，又四邊形是矩形，則，
∵，、平面，
∴平面，平面PAD，
∴，
又M是PD的中點，，則，
而，、平面，
所以平面；
（2）由題易知：兩兩互相垂直，
以A為空間坐標系的原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，故，
設(shè)平面MBC法向量為，則，
即，令，，則，即，
而，則，
設(shè)MA與平面MBC所成角為，則，
所以.
15．（23·24上·東莞·階段練習(xí)）如圖1，梯形中，，過分別作，垂足分別為，已知，將梯形沿折起，得空間幾何體，如圖2．
(1)在圖2中，若，證明：平面．
(2)在圖2中，若，在線段上求一點，使與平面所成角的正弦值最大，并求出這個最大值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)點與點重合；
【詳解】（1）由已知四邊形是正方形，且邊長為，
在圖2中，,
又，,
平面,平面,
則平面,
又平面,所以,
又,,
平面,平面,
所以平面.
（2）在圖2中，
平面,平面,
則平面，
在梯形中，過點作,交于點連接,
由題意得又,根據(jù)勾股定理可得,
則
過作交于點,
可知兩兩垂直，
以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
取，得
設(shè)，則，
設(shè)與平面所成角為，
則
故當(dāng)，即時，點與點重合時，有最大值，
且此時最大值為.
16．（23·24上·河?xùn)|·期中）如圖，在四棱線中，底面為矩形，平面，點是棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)設(shè)的中點為，點在棱上（異于點），且，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）連接，設(shè)和交點為，連接，因為底面為矩形，
所以為中點，又點是棱的中點，所以為中位線，，
又因為平面，平面，所以平面；
（2）由題可知，平面，所以，又底面為矩形，
所以，故互相垂直，以方向為軸，方向為軸，
方向為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，
，易得，故，
又
，故，
化簡得，即，故，
所以，
，所以，
，設(shè)平面的法向量為，
由得，令得，
設(shè)直線與平面所成角的正弦值為，與夾角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17．（23·24上·廣東·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為4（圖1），、分別為、的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的二面角，且，點是線段上的動點（圖2）．

(1)若為的中點，為的中點（圖3），證明：直線平面；
(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時點到平面的距離，若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)是靠近或的四等分點，此時點到平面的距離為.
【詳解】（1）若是中點，連接交于，為的中點，又為矩形，易知是中點，
由，則是平行四邊形，又為的中點，
所以為中位線，即，
由面，面，故直線平面；
（2）若為中點，作面，構(gòu)建空間直角坐標系，

設(shè)，則，
所以，，，
令是面一個法向量，則，
若，則，
所以，則，
當(dāng)，則，，故；
當(dāng)，則，，故；
綜上，是靠近或的四等分點，此時點到平面的距離為.
18．（23·24上·西青·階段練習(xí)）四棱柱中，底面，為的中點．

(1)求證：；
(2)求面與面夾角的余弦值
(3)設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：以為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，

為中點，
，
，
．
（2）設(shè)平面的法向量，
．
取，得．
設(shè)平面的法向量，
，
．
取，得．
設(shè)面與面所成角為．
則．
面與面所成角的余弦值為．
（3）設(shè)點，
點在線段上，
，
，
，
直線與平面所成角的正弦值為，
平面的法向量，
，
解得，或（舍），
．
線段的長為．
19．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）已知幾何體，如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長均為1，點M在棱DG上．
(1)求證：；
(2)是否存在點M，使得直線MB與平面BEF所成的角為？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【詳解】（1）因為四邊形、、均為正方形，則兩兩互相垂直，
以為坐標原點，為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，設(shè)，
可得，，
因為，所以.
（2）由（1）知：，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，，可得，
假設(shè)存在點，使得直線與平面所成的角為，則，
可得，解得：，
又因為在棱上，則，所以，
故當(dāng)點在棱上，且時，直線與平面所成的角為.
20．（23·24上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，，.
(1)求證：；
(2)若，是線段上的一點，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，如圖所示，
因為，是的中點，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因為平面，所以，
又因為，，且平面，
所以平面，
因為平面，所以.
（2）解：設(shè)的中點為，則，又，所以，
以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，
設(shè)，
則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，解得，，所以，
又由，
所以，
解得或（舍去），
所以點為的中點，因為，
所以.

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