?專題06　構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題(一)
以抽象函數(shù)為背景、題設條件或所求結(jié)論中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查導數(shù)運算法則的逆向、變形應用能力的客觀題，是近幾年高考試卷中的一位“?？汀保Ｒ詨狠S題小題的形式出現(xiàn)，解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構特征與導數(shù)運算法則結(jié)合起來，合理構造出相關的可導函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
導數(shù)是函數(shù)單調(diào)性的延伸，如果把題目中直接給出的增減性換成一個f′(x)，則單調(diào)性就變的相當隱晦了，另外在導數(shù)中的抽象函數(shù)不等式問題中，我們要研究的往往不是f(x)本身的單調(diào)性，而是包含f(x)的一個新函數(shù)的單調(diào)性，因此構造函數(shù)變的相當重要，另外題目中若給出的是f′(x)的形式，則我們要構造的則是一個包含f(x)的新函數(shù)，因為只有這個新函數(shù)求導之后才會出現(xiàn)f′(x)，因此解決導數(shù)抽象函數(shù)不等式的重中之重是構造函數(shù)．
構造函數(shù)是數(shù)學的一種重要思想方法，它體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、猜想、實驗和歸納等思想．分析近些年的高考，發(fā)現(xiàn)構造函數(shù)的思想越來越重要，而且很多都用在壓軸題(無論是主觀題還是客觀題)的解答上．
構造函數(shù)的主要步驟：
(1)分析：分析已知條件，聯(lián)想函數(shù)模型；
(2)構造：構造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化問題本質(zhì)；
(3)回歸：解析所構函數(shù)，回歸所求問題．
考點一　構造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)類型的輔助函數(shù)
【方法總結(jié)】
(1)若F(x)＝xnf(x)，則F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；
(2)若F(x)＝，則F′(x)＝＝．
由此得到結(jié)論：
(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；
(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝．
【例題選講】
[例1](1)已知f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，且滿足f(x)＜－xf′(x)，則不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)
A．(0，1)　　　　　B．(1，＋∞)　　　　　C．(1，2)　　　　　D．(2，＋∞)
答案　D　解析　因為f(x)2．選D．
(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′(x)，且滿足xf′(x)＋2f(x)＞0，則不等式＜的解集為(　　)
A．{x|x＞－2 016}　　B．{x|x＜－2 016}　　C．{x|－2 016＜x＜0}　　D．{x|－2 021＜x＜－2 016}
答案　D　解析　構造函數(shù)g(x)＝x2f(x)，則g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]．當x＞0時，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∵不等式＜，∴當x＋2 021＞0，即x＞－2 021時，(x＋2 021)2f(x＋2 021)＜52f(5)，即g(x＋2 021)＜g(5)，∴00時，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)　　　　　　　　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)　
C．(－∞，－1)∪(－1，0)　　　　　　　　D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案　A　解析　設y＝g(x)＝(x≠0)，則g′(x)＝，當x>0時，xf′(x)－f(x)0，得g(x)>0，由圖知0x2，結(jié)合x∈(－∞，0)得2xf(x)＋x2f′(x)0時，′＝0．故x2f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0，2)．
6．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)＝0，當x>0時，0的解集
為(　　)
A．(－2，0)∪(2，＋∞)　B．(－2，0)∪(0，2)　C．(－∞，－2)∪(0，2)　D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
6．答案　B　解析　設g(x)＝，則g′(x)＝′＝，當x>0時，g′(x)0的解集為(－2，0)∪(0，2)．故選B．
7．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′(x)－f(x)＜0，對任意正數(shù)a，b，若a0)，則F′(x)＝[]′＝．因為x>0，xf′(x)－f(x)＜0，所
以F′(x)＜0，故函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．又0f′(x)，且f(x)＋2 021為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 021ex0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，由f?＋f(x＋1)＝0，得f(x)＋f?＝0，f?＋f＝0，相減可得f(x)＝f，f(x)的周期為3，∴e3f＝e3f(2)＝1，g(2)＝e2f(2)＝，f(x＋2)>，結(jié)合f(x)的周期為3可化為ex－1f(x－1)>＝e2f(2)，g(x－1)>g(2)，x－1>2，x>3，∴不等式的解集為，故選B．
(8)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，f′(x)為其導函數(shù)，若對于任意實數(shù)x，有f(x)－f′(x)＞0，則(　　)
A．ef(2 021)＞f(2 022)　　　　　　　　　　　　　B．ef(2 021)＜f(2 022)
C．ef(2 021)＝f(2 022)　　　　　　　　　　　　　D．ef(2 021)與f(2 022)大小不能確定
答案　A　解析　令g(x)＝，則g′(x)＝＝，因為f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，所以g(2 021)＞g(2 022)，即＞，所以ef(2 021)＞f(2 022)，故選A．
(9)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的函數(shù)，導函數(shù)f′(x)滿足f′(x)e2f(0)，f(2 021)>e2 021f(0)　　　　　　　　B．f(2)e2 021f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2 021)3，即g(x)>g(0)，解得x>0．故選C．
7．定義在R上的可導函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)0，即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．又g(0)＝0，∴x∈[0，)時，g(x)＝f(x)sinx≥0．∵f(x)是定義在上的奇函數(shù)，∴g(x)是定義在上的偶函數(shù)．不等式cosxf(x＋)＋sinxf(－x)>0，即sin·f>sinx·f(x)，即g>g(x)，∴|x＋|>|x|，∴x>－?、?，又－

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