（時量：120分鐘 滿分：120）
一、選擇題（每題3分，共30分．將答案填在表格內(nèi)）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可求解，
本題考查了相反數(shù)的定義，熟記“只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)”是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：的相反數(shù)是2024，
故選：．
2. 下圖中表示函數(shù)和在同一平面直角坐標系中的圖像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了一次函數(shù)圖像及反比例函數(shù)圖像，根據(jù)a的取值分別確定一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖像所在的象限，即可得到答案
【詳解】當時，的圖像過第一，三，四象限；的圖像在第一，三象限；故C錯誤，D錯誤；
當時，的圖像過第一，二，四象限；的圖像在第二，四象限；故A錯誤，B正確；
故選：B
3. 信號的傳播速度為，將300000000用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了用科學記數(shù)法，用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
詳解】解：．
故選：A．
4. 如圖，點A，B，C均在直線l上，點P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓個數(shù)為（ ）
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不共線的三點可以確定一個圓進行求解即可．
【詳解】解：∵不共線的三點可以確定一個圓，
∴取點P，再取A、B、C中的任意兩點，都可以確定一個圓，
∴最多可以確定3個圓（過P、A、B三點，過P、A、C三點，過P、B、C三點），
故選B．
5. 如圖所示的幾何體的主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三視圖，根據(jù)主視圖是從幾何體的前面看到的圖形，即可作答．
【詳解】解：依題意，該幾何體的主視圖是
故選：A．
6. 關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中正確的是（ ）
A. 函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B. 函數(shù)的有最小值，最小值為
C. 點在函數(shù)圖象上，當時，
D. 函數(shù)值y隨x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由于，由此可以確定二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標，最大或最小值及圖象的增減性．
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為，故A不正確；
函數(shù)有最大值，最大值為，故B不正確
當，y隨x增大而增大，當，y隨x的增大而減小，故D不正確；
當時，，故C正確．
故選：C．
7. 下列圖形是圓柱側(cè)面展開圖的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了幾何體的展開圖，對幾何體的正確認識以及運用空間想象能力是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開展在一個平面上，
得到其側(cè)面展開圖是對邊平行且相等的四邊形；
又有母線垂直于上下底面，故可得是長方形．
故選：D．
8. 在不透明的袋子里裝有顏色不同的6個紅球和6個白球，每次從袋子里摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率最有可能接近的數(shù)值為（ ）
A. 1.25B. 0.98C. 0.52D. 0.03
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了概率的意義，一般地，在大量重復實驗中，如果事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，那么這個常數(shù)就叫做事件的概率，記為．明確概率的意義是解答的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知摸到白球的概率，
則白球的頻率穩(wěn)定在0.5附近，
故選：C．
9. 如圖，是的直徑，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了圓周角定理，正確作出輔助線、構(gòu)造圓周角是解答的關(guān)鍵.
如圖：連接，根據(jù)圓周角定理得到，然后利用互余的定義即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖：連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：D．
10. 諸葛亮的《誡子書》中有“非學無以廣才”，將這六個字寫在一個正方體的六個面上，如圖是該正方體的一種表面展開圖，則原正方體中與“非”字所在的面相對的面上的漢字是（ ）
A. 學B. 廣C. 才D. 以
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查正方體相對兩個面上的文字的知識；找出正方體的相對面上的漢字解題即可．
【詳解】解：由正方體的展開圖特點可得：“非”和“才”相對；“學”和“以”相對；“無”和“廣”相對；
故選：C．
二、填空題（共24分）
11. 若代數(shù)式有意義，則m的取值范圍是________．
【答案】且
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，正確掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件得出關(guān)于的不等式，進而得出答案．
【詳解】解：要使式子有意義，
則且，
解得：且．
故選：且
12. 分解因式： __________
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式求解即可得到答案；
詳解】解：，
故答案為：．
13. 如圖，在正六邊形中，，是正六邊形的一條對角線，則的長為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形與圓、解直角三角形、多邊形的內(nèi)角與外角等知識點．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出，求出度數(shù)，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：六邊形是正六邊形，
，，
，
過作于，則，，
，
，
，
故答案為：．
14. 拋物線的頂點在軸上，則的值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點縱坐標為，即可求解．
【詳解】解：∵，，頂點在x軸上
∴頂點縱坐標為0，即
解得
故答案為：16．
15. 數(shù)學活動課上，某同學制作了一頂圓錐形紙帽．若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線長為4分米，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為________
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了圓錐的有關(guān)計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．根據(jù)圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，首先求得展開圖的弧長，然后根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】解：圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：（分米），
設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則 ，
解得：．
故答案為：．
16. 如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板周長為，則投影三角板的周長為________．
【答案】50
【解析】
【分析】由三角板與其投影的相似比為2∶5，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求解．
【詳解】解：∵三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板周長為，相似三角形的周長比等于相似比，
∴投影三角板的周長為50cm．
故答案為：50．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
17. 清明時節(jié)雨紛紛，這是__________事件．（選填“必然”、“隨機”和“不可能”）
【答案】隨機
【解析】
【分析】本題考查隨機事件，解題的關(guān)鍵是需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．據(jù)此根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．
【詳解】解：清明時節(jié)雨紛紛，這是隨機事件．
故答案為：隨機．
18. 如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_______．

【答案】
【解析】
【分析】過點作于點，交于點，則，依題意，得出，進而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，交于點，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．
∴，
在中，
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共66分）
19. 計算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的化簡，銳角三角函數(shù)，零指數(shù)冪，二次根式的計算，即可求解，
本題考查了，實數(shù)的混合運算，特殊角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運算法則．
【詳解】解：
．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可得到答案．
【詳解】解：
，
當時，原式．
21. 新能源汽車如今已成為越來越多人購車的首選．某停車場為了解決充電難的問題，現(xiàn)將長為米，寬為米的矩形停車場進行改造．如圖，將矩形停車場的邊和邊分別減少相等的長度，減少的這部分區(qū)域用于修建充電樁，剩余停車場的面積為，求和減少的長度是多少？
【答案】米
【解析】
【分析】考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)和減少的長度為米，根據(jù)題意列出方程求解即可，
理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)和減少的長度為米，
根據(jù)題意，得，
解得：（不合題意，舍去），，
答：和減少的長度為米．
22. 某校對A《三國演義》、B《紅樓夢》、C《西游記》、D《水滸傳》四大名著開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查，隨機調(diào)查了若干名學生(每名學生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖∶
根據(jù)所給信息，回答下列問題．
（1）本次一共調(diào)查了_______名學生；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學生暑期必讀書籍，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率．
【答案】（1）50 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、補全條形統(tǒng)計圖、用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)喜歡C《西游記》人數(shù)和所占的百分比計算即可得出答案；
（2）先計算出喜歡B《紅樓夢》的人數(shù)，再畫出圖形即可；
（3）列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：本次一共調(diào)查了名學生，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：喜歡B《紅樓夢》的人數(shù)為：（名），
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：
；
【小問3詳解】
解：列表得：
共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好選擇《三國演義》和《紅樓夢》的共有種，
故恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率．
23. 如圖，為了測量風景區(qū)中一座塔的高度，某數(shù)學興趣小組在斜坡上的點處，用測角儀測得塔頂部的仰角為，用皮尺測得坡的長15米，已知坡的坡比為，請你幫助該數(shù)學興趣小組計算這座塔的高度．
【答案】這座塔的高度為米．
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過點分別作地面和的垂線，垂足分別為，證明四邊形是矩形，利用坡比的定義結(jié)合勾股定理求得，，在中，利用正切函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：過點分別作地面和的垂線，垂足分別為，如圖，
∵，∴四邊形是矩形，
∴，，
∵坡的坡比為，
∴，
設(shè)，則，
由勾股定理得，
∵的長15米，
∴，解得，
∴，，
在中，，，
∴，
∴（米），
答：這座塔的高度為米．
24. 如圖，在中，是直徑，點是圓上一點．在的延長線上取一點，連接，使．

（1）求證：直線是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）連接，由是直徑，得，再證，從而有，于是即可證明結(jié)論成立；
（2）由圓周角定理求得，在中，解直角三角形得，從而利用扇形及三角形的面積公式即可求解．
【小問1詳解】
證明：連接，

∵是直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式以及解直角三角形，熟練掌握圓周角定理，切線的判定以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
25. 閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：
在中， CD=asinB
在中，
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
（1）如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
（2）為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．
【小問1詳解】
證明：如圖2，過點作于點，
在中，，
在中，，
，
；
【小問2詳解】
解：如圖3，過點作于點，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．
26. 如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，連接．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，直線：經(jīng)過點A，點為直線上的一個動點，且位于軸的上方，點為拋物線上的一個動點，當軸時，作，交拋物線于點（點在點的右側(cè)），以，為鄰邊構(gòu)造矩形，求該矩形周長的最小值；
（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點為，在（2）的條件下，當矩形的周長取最小值時，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）直接將，兩點坐標代入拋物線解析式之中求出系數(shù)的值即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設(shè)出點的坐標，接著表示出Q點和M點的坐標后，求出線段PQ和QM的表達式，再求出它們和的兩倍，利用配方法即可求出其最小值；
（3）先利用銳角三角函數(shù)證明出，進而得到F點的其中一個位置，在BC另一側(cè)，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程組，即可求出BF與y軸的交點，進而求出BF的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，即可確定F點的坐標．
【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，
∴，
解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達式為：；
（2）∵經(jīng)過點A，
∴，
∴，
∴直線：；
設(shè)，則，
∵拋物線對稱軸為：，且Q點和M點關(guān)于對稱軸對稱，
∴M點橫坐標為，
∴；
又∵，
∴，
當時，的值最小，為；
∴該矩形周長的最小值為；
（3）存在，或；
由（2）可知，，
∵拋物線的函數(shù)表達式為：；
且，
∴頂點D坐標為，
如圖4，作DE⊥QM，
因為，，
∴；
又∵拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，
∴
令，解得：，；
∴,,
∴,
∴，
∴當F點在點A處時，能使得，此時;
如圖5，在BC另一側(cè)，當時，，
過C點作CN⊥BH，垂足為點N，
由角平分線的性質(zhì)可得：CN=CO=2，
∴BN=BO=4，
由勾股定理可得：且,
即，且；
解得：，;
∴
設(shè)直線BH的函數(shù)解析式為：，
∴，
∴，
∴直線BH的函數(shù)解析式為：，
聯(lián)立拋物線解析式與直線BH的函數(shù)解析式，得：
解得：（與B點重合，故舍去），或，
∴，
綜上可得，拋物線上存在點，使得，或．
【點睛】本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平面直角坐標系中兩點之間的距離、求函數(shù)的最大或最小值、勾股定理、三角函數(shù)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能結(jié)合圖形理解題意，能牢記和熟練運用相關(guān)公式進行計算等，本題計算量較大，對學生的綜合分析思維能力要求也較高，屬于壓軸題類型，本題蘊含的思想有分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想等．

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