湖南省懷化市2023-2024學年九年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

（總分：120分，考試時間：120分鐘）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1. 使、、三個式子都有意義，x的取值范圍是（）
A. B. 且
C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，零指數(shù)冪有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，零指數(shù)冪有意義的條件是底數(shù)不為0，分式有意義的條件是分母不為0，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵使、、三個式子都有意義，
∴，
∴且，
故選：C．
2. 下列命題中真命題是（）
A. 4的平方根是2B. 數(shù)據(jù)2，0，3，2，3的方差是
C. 數(shù)據(jù)3，5，4，1，的中位數(shù)是4D. 對角線相等的四邊形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)判斷選項A；首先計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后根據(jù)方差的計算公式求這組數(shù)據(jù)的方差，即可判斷選項B；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)的定義分析判斷選項C；根據(jù)矩形的判定定理判斷選項D．
【詳解】解：∵4的平方根是，
∴該命題假命題，選項A不符合題意；
∵，
∴數(shù)據(jù)2，0，3，2，3的方差是：，
∴該命題是真命題，選項B符合題意；
∵數(shù)據(jù)3，5，4，1，從小到大排列為，1，3，4，5，
故這組數(shù)控的中位數(shù)是3，
∴該命題假命題，選項C不符合題意；
∵對角線相等的平行四邊形是矩形，
∴該命題是假命題，選項D不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了真假命題判斷、平方根、方差、中位數(shù)、矩形的判定等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
3. 表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列選項中一定成立的是（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定出大小關系，再根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知：，
A、，∴，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項錯誤，不符合題意；
C、，選項正確，符合題意；
D、，選項錯誤，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸．不等式的性質(zhì)．根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷式子的符號，是解題的關鍵．
4. 如圖，小東展示了“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程，點為直線上一點，過點的一條直線分別交兩條平行線于點，，則有，這一步的依據(jù)是（）
A. 同位角相等，兩直線平行B. 三角形中位線定理
C. 平行線分線段成比例D. 相似三角形的對應邊成比例
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．
【詳解】解：由題意可知：，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
5. 將正三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的方式擺放，其中正方形和正五邊形的下底邊是水平共線的．如果，那么（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和和外角和定理，平角的定義，正確運用正多邊形的外角和定理是解題的關鍵．
【詳解】如圖，，
∴，，，．
故選B．
6. 一個三角形的一邊長為12，另外兩邊長是一元二次方程的兩根，則這個三角形外接圓的半徑是（）
A. B. 5C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根據(jù)直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半作答．
【詳解】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴這個三角形是直角三角形，且斜邊為13，
∴這個三角形外接圓的半徑是斜邊長的一半即，
故選C．
【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圓的半徑，熟記直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半是解題的關鍵．
7. 已知一個圓錐的三視圖如圖所示，則這個圓錐的側面積為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了圓錐的三視圖，求圓錐的側面積，勾股定理，先由三視圖得到該圓錐的高為，底面圓半徑為，則由勾股定理可得母線長為，再根據(jù)圓錐側面積底面周長母線長進行求解即可．
【詳解】解：由三視圖可知，該圓錐的高為，底面圓半徑為，
∴母線長為，
∴這個圓錐的側面積為，
故選：B．
8. 對任意非負數(shù)，若記，給出下列說法，其中正確的個數(shù)為（）
①；
②，則；
③；
④對任意大于3的正整數(shù)，有．
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了代數(shù)式求值、解分式方程、數(shù)字類規(guī)律題等知識點，找出相關規(guī)律是解題的關鍵．
將代入即可判斷①，解方程，即可判斷②，分別計算，，，，……即可判斷③，同理分別求得，找到規(guī)律，進而即可判斷④．
【詳解】解：∵，
當時，，故①錯誤，
∵，即，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，故②正確；
∵，，，，……
∴，故③正確；
∵，，，……
∴
，故④錯誤，
綜上，正確的有2個．
故選：C．
9. 如圖，在中，，．點D在上，延長到E，使得，過點B作，交射線于點F，設，，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過已知證明和全等，和全等，再通過得出的各邊關系表示出y與x的關系式即可得出結論．
【詳解】解：過E作于G，如圖所示：

在和中，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
∴y關于x的函數(shù)圖象大致為開口向上的拋物線，當時，y有最小值4，
當和2時，y有最大值8，
故選：A．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，動點的函數(shù)關系與圖象，勾股定理等知識，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決動點的函數(shù)問題是解題的關鍵．
10. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊分別在y軸和x軸上，已知對角線，．F是邊上一點，過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點E，若將沿翻折后，點C恰好落在上的點M處，則k的值為（）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查矩形性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，已知正切值求邊長及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．解題的關鍵是求出，，表示出，，，利用相似的性質(zhì)求出．作交OB于點G，利用．．求出，，表示出，，進一步求出，，，證明，利用相似的性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【詳解】解：作交OB于點G，
∵矩形的對角線．．
∴，，即，
∵E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且在反比例函數(shù)上，
∴，，
∵將沿翻折后，點恰好落在上的點處，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故選：D．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11. 若，則的值為_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】通過完全平方公式化為，得到，即可得到．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案為：3
【點睛】此題考查運用完全平方公式進行因式分解，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
12. 已知關于的方程有兩個實數(shù)根，請寫出一個符合條件的的值______ ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)條件有兩個實數(shù)根，則根的判別式，建立關于的不等式，求出的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為和被開方數(shù)．
【詳解】解：關于方程的有兩個實數(shù)根，
∴，
解得：且．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，找出關于的一元一次不等式組是解題的關鍵．
13. 如圖，點A，B，C，D在上，，，則_________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本題考查了同弧上的圓周角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等相關知識點，解題的關鍵是將已知角度與待求角度集中在同一個三角形內(nèi)．
利用同弧上的圓周角相等得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．
詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
14. 以下是小亮的媽媽做晚飯的食材準備及加工時間列表，有一個炒菜鍋，一個電飯煲，一個煲湯鍋，兩個燃氣灶可用，做好這頓晚餐一般情況下至少需要______________分鐘．
【答案】33
【解析】
【分析】節(jié)約時間又不使每道程序互相矛盾的情況下進行分析解決問題．
【詳解】解：根據(jù)題意，可以這樣安排：
先準備米飯（3分鐘），然后使用電飯煲加工米飯（30分鐘）.
在加工米飯的同時，準備湯菜（5分鐘），然后使用煲湯鍋加工湯（6分鐘）
煲湯的同時摘菜（5+5=10分鐘），炒菜（6+8=14分鐘），即炒菜和湯共需29分鐘，
∴媽媽做好這頓飯，最少需要30+3=33分鐘.
故答案為：33．
【點睛】本題屬于合理安排時間問題，要抓住既節(jié)約時間又不使工序矛盾來進行分析設計．
15. 如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是__________．

【答案】30
【解析】
【分析】由圖可得五邊形面積為正方形ABCD的面積加上梯形DCGF的面積，根據(jù)陰影部分面積為五邊形面積減去空白部分兩個三角形面積列式計算即可．
【詳解】解：由圖可知，
五邊形ABGFD的面積=正方形ABCD的面積+梯形DCGF的面積
=a2+(a+b)b
= ，
陰影部分的面積=五邊形ABGFD的面積-三角形ABD的面積-三角形BCF的面積
=
=
=，
∵a+b=10，ab=20，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×20=60，
∴陰影部分的面積為=30．
故答案為：30．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應用，根據(jù)題意列出陰影部分面積的表達式是解決本題的關鍵．
16. 魏晉時期，數(shù)學家劉徽利用如圖所示的“青朱出入圖”證明了勾股定理，其中四邊形，和都是正方形．如果圖中與的面積比為，那么的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】證明，可得，而與的面積比為，即得，設，則，在中，有，又，故．
【詳解】解：都是正方形，
，
，
，
，
與的面積比為，
，
設，則，
，
在中，
，
由“青朱出入圖”可知：，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握正方形性質(zhì)和相似三角形的判定定理．
17. 如圖，平行四邊形A的對角線、相交于點，，，，點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動．連接并延長交于點，設點的運動時間為秒，在點的運動過程中，當是等腰三角形時，的值為______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含角直角三角形的性質(zhì)，正確分三種情況討論是解題關鍵．
若是等腰三角形，分兩種情況，第一種，第二種，第三種，分別計算即可求出點的運動時間．
【詳解】解：如圖所示，作點、、使得，，，
當點分別運動到點、、時，是等腰三角形，
①當點運動到點：
此時，
又，且，
四邊形為等腰梯形，
，
②當點運動到點：
此時，
，
③當點運動到點：，
作交于點，
，
根據(jù)等腰三角形三線合一得：
，
．
答：點的運動時間為或或．
18. 如圖，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象，點A1的坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線l于點D1，以A1D1為邊作正方形A1B1C1D1；過點C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點B2，以A2B2為邊作正方形A2B2C2D2；過點C2作x軸的垂線，垂足為A3，交直線l于點D3，以A3D3為邊作正方形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面積是_____．
【答案】（）n﹣1
【解析】
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到∠D1OA1=45°，分別求出正方形A1B1C1D1的面積、正方形A2B2C2D2的面積，總結規(guī)律解答．
【詳解】∵直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面積=1=（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=，D1A2=，
∴A2B2=A2O=，
∴正方形A2B2C2D2的面積==（）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=，
∴正方形A3B3C3D3的面積==（）3﹣1，
…
由規(guī)律可知，正方形AnBnCnDn的面積=（）n﹣1，
故答案為（）n﹣1．
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)一次函數(shù)解析式得到∠D1OA1=45°，正確找出規(guī)律是解題的關鍵．
三、解答題（本題共8小題，共66分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟）
19. （1）計算：
（2）解不等式組，并求出它的整數(shù)解．
【答案】（1）1；（2），0，1，2
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，解一元一次不等式組：
（1）先計算特殊角三角函數(shù)值，再計算零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，最后計算加減法即可；
（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進而求出其整數(shù)解即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的整數(shù)解為0，1，2．
20. 已知在中，，，為邊上的中線．
（1）求的長；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求出AB，故可得到AC的長；
（2）過點F作FG⊥BD，利用中位線的性質(zhì)得到FG，CG，再根據(jù)正切的定義即可求解．
【詳解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）過點F作FG⊥BD，
∵為邊上的中線．
∴F是AD中點
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位線
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知三角函數(shù)的定義．
21. 如圖，一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點和點B．

（1）求n的值；
（2）若，根據(jù)圖象直接寫出當時x的取值范圍；
（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點Q，若的面積為1，求點P的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
（1）將點代入一次函數(shù)，求出的值，得點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數(shù)即可得到答案；
（2）求出點B的坐標，由函數(shù)的圖像即可得到取值范圍；
（3）設，根據(jù)三角形的面積公式即可得到答案．
【小問1詳解】
解：將點代入一次函數(shù)，
，
故，
將代入反比例函數(shù)，
得；
【小問2詳解】
解：由（1）得，
聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)，得
，
解得，
故，
由圖像可知，的取值范圍為；
【小問3詳解】
解：設，且，交x軸于點M，如圖；
，
，
，
解得，
點P的坐標為或．

22. 黨的二十大報告提出：傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，滿足人民日益增長的精神文化需求．某校積極開展活動，從詩詞歌賦、戲劇戲曲、國寶非遺、飲食文化、名人書法五個方面讓傳統(tǒng)文化“活”起來．在某次競賽活動中，競賽成績按以下五組進行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并繪制出如圖的統(tǒng)計圖1和圖2．

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：
（1）圖1中A組所在扇形的圓心角度數(shù)為______°，并將條形統(tǒng)計圖補充完整．
（2）若“”這一組的數(shù)據(jù)為：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)．
（3）若此次競賽進入初賽后還要進行三輪知識問答，將這三輪知識問答的成績按20%，30%，50%確定最后得分，達到90分及以上可進入決賽，小敏這三輪的成績分別為86，89，93，問小敏能參加決賽嗎？請說明你的理由．
（4）經(jīng)過初賽，進入決賽的同學有3名女生2名男生，現(xiàn)從這五位同學中決出冠亞軍，請用列表法或畫樹狀圖的方法求冠亞軍恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）54，圖見解析
（2）眾數(shù)96，中位數(shù)為
（3）小敏能參加決賽（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)相關聯(lián)，求中位數(shù)、眾數(shù)，以及加權平均數(shù);
（1）先用組的人數(shù)除以組所占的百分比，求出參加此次競賽的總人數(shù)，再計算組人數(shù)所占的百分比，最后用360°乘以組所占百分比，即可求出A組所在扇形的圓心角度數(shù)；用總人數(shù)乘以組所占百分比，即可求出組的人數(shù)，即可補充條形統(tǒng)計圖;
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，即可進行解答即可；
（3）將小敏三輪比賽成績分別乘以其所占比例，求出其最后得分，即可進行解答；
（4）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式求解即可；
【小問1詳解】
參加此次競賽總人數(shù)：（人），
A組所占百分比：，
A組所在扇形的圓心角度數(shù)，
B組人數(shù)：（人），
條形統(tǒng)計圖如圖所示：

故答案為：54．
【小問2詳解】
排序為90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位數(shù)為：，
∵96出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為96，
綜上：眾數(shù)為96，中位數(shù)為；
【小問3詳解】
小敏最后得分：，
∴小敏能參加決賽．
【小問4詳解】
畫樹狀圖如下：

∴一共有20種等可能的結果，其中冠亞軍的兩人恰好是一男一女的情況有12種情況，
∴冠亞軍的兩人恰好是一男一女的概率為．
23. 荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系為：
,日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如圖所示：

（1）求日銷售量與時間t的函數(shù)關系式？
（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？
（4）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間的增大而增大，求m的取值范圍.
【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）（2）第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元（3）21（4）5≤m＜7
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）設日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；
（3）求出w=2400時x的值，結合函數(shù)圖象即可得出答案；
（4）依據(jù)（2）中相等關系列出函數(shù)解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）設解析式為y=kt+b，
將（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）；
（2）設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，
①當1≤t≤40時，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，
∴當t=30時，w最大=2450；
②當41≤t≤80時，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴當t=41時，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．
（3）由（2）得：當1≤t≤40時，
w=﹣（t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函數(shù)w=﹣（t﹣30）2+2450圖象可知，當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，

而當41≤t≤80時，w最大=2301＜2400，
∴t取值范圍是20≤t≤40，
∴共有21天符合條件．
（4）設日銷售利潤為w，根據(jù)題意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函數(shù)圖象的對稱軸為t=2m+30，
∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
考點：二次函數(shù)的應用
24. 如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長PD交圓的切線BE于點E．
（1）證明：直線PD是⊙O的切線；
（2）如果∠BED=60°，PD=，求PA的長；
（3）將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．
【答案】（1）見解析；（2）1；（3）見解析
【解析】
【分析】（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，再利用角度的相互轉(zhuǎn)換求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，結合勾股定理可得出PO，最后根據(jù)PA=PO-AO可得出結果；
（3）根據(jù)折疊和已知求出∠P=∠PBF，根據(jù)平行線的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根據(jù)菱形的判定推出即可．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接OD，
∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵點D在⊙O上，
∴直線PD為⊙O的切線．
（2）解：∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，∴∠P=30°，
∵PD為⊙O的切線，∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，
∴，解得OD=1，
∴，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1．
（3）證明：如圖2中，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠AFD=∠PBD，
∴∠ADF=∠AFD=∠APD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，即BF∥DE．
又∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠ADF=90°，
∴DF⊥PB．
∵BE為切線，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四邊形DFBE為平行四邊形，
∵PE、BE為切線，
∴BE=DE，
∴四邊形DFBE為菱形．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，圓周角定理的推論，菱形的判定，平行線的判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，解直角三角形等知識，本題是一道綜合性的題目，難度較大．
25. 如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CQ，連接BP，DQ．
（1）如圖a，求證：△BCP≌△DCQ；
（2）如圖，延長BP交直線DQ于點E．
① 如圖b，求證：BE⊥DQ；
② 如圖c，若△BCP為等邊三角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由；
③ 若正方形ABCD的邊長為10，DE=2,PB=PC,直接寫出線段PB的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②△DEP為等腰直角三角形，證明見解析；③PB=或證明見解析
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BCP=∠DCQ，即可證明△BCP≌△DCQ；
（2）①由全等的性質(zhì)和對頂角相等即可得到答案；②由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，即可判斷△DEP的形狀．③由（1）結論，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)及勾股定理可得．
【詳解】(1):如圖a
證明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ
（2）①如圖b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，
∴∠DEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥DQ；
②△DEP為等腰直角三角形
∵△BCP為等邊三角形，
∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，
∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，
∴△DEP為等腰直角三角形．
③如圖b,由∠CBF＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴，即，
設DF＝x,則BF＝5x,CF＝10?x,
∵Rt△BCF中，，
∴，
解得（舍去），
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC＋∠PFC＝∠PCB＋∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝；
如圖d,延長BE、CD，交于點F，由∠CBF＝∠CDQ＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴，即，
設DF＝x,則BF＝5x,CF＝10＋x,
∵Rt△BCF中，，
∴，
解得（舍去），，
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC＋∠PFC＝∠PCB＋∠PCF＝90°
∴∠PFC=∠PCF
∴PF=PC
∴BP=PF=BF=
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應用，掌握正方形的四條邊相等、四個角都是直角，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．解題時注意：旋轉(zhuǎn)前后的對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
26. 我們定義：點P在一次函數(shù)上，點Q在反比例函數(shù)上，若存在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數(shù)為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“向光函數(shù)”，點P稱為“幸福點”．例如：點在上，點在上，P、Q兩點關于y軸對稱，此時二次函數(shù)為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“向光函數(shù)”，點是“幸福點”．
（1）判斷一次函數(shù)和反比例函數(shù)是否存在“向光函數(shù)”，若存在，請求出“幸福點”坐標；若不存在，請說明理；
（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)只有一個“幸福點”，求其“向光函數(shù)”的解析式；
（3）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)有兩個“幸福點”A、B（A在B左側），其“向光函數(shù)”與軸x交于C、D兩點（C在D左側），若有以下條件：
①②“向光函數(shù)”經(jīng)過點，③ ，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
【答案】（1）存在；“幸福點”坐標為，；
（2）“向光函數(shù)”的解析式為：或；
（3）
【解析】
【分析】（1）假設存在“向光函數(shù)”，設“幸福點”坐標為，則，分別代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)，得到關于的一元二次方程，解方程可得，，根據(jù)向光函數(shù)的定義，即可得到“幸福點”坐標；
（2因為一次函數(shù)和反比例函數(shù)只有一個“幸福點”，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)只有一個交點，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)得到關于的一元二次方程，得到關于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函數(shù)”的解析式；
（3）一次函數(shù)與反比例函數(shù)有兩個“幸福點”、（在左側），則、關于軸對稱的點、一定在，上，根據(jù)“向光函數(shù)”滿足的條件可以得出，，進而表示邊形的面積為，即可求的取值范圍．
【小問1詳解】
假設一次函數(shù)和反比例函數(shù)是存在“向光函數(shù)”，設“幸福點”坐標為，則
∴，
解并檢驗得：，，
∴一次函數(shù)和反比例函數(shù)是存在“向光函數(shù)”， “幸福點”坐標為，；
【小問2詳解】
∵一次函數(shù)關于y軸對稱的直線函數(shù)解析式為，而且一次函數(shù)與反比例函數(shù)只有一個“幸福點”，
所以與反比例函數(shù)只有一個交點，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
當時，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)只有一個“幸福點”，向光函數(shù)”的解析式為：，
當時，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)只有一個“幸福點”，向光函數(shù)”的解析式為：，
∴“向光函數(shù)”的解析式為：或．
【小問3詳解】
∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)有兩個“幸福點”、（在左側），則、關于軸對稱的點、一定在上，
∴、關于軸對稱的點、是與的交點坐標，
∴，
整理得：，
又∵“向光函數(shù)”為，
∴與“向光函數(shù)”為關于軸對稱，
∴，
∵“向光函數(shù)”與軸交于、兩點（在左側），若有以下條件：①②“向光函數(shù)”經(jīng)過點，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函數(shù)”為
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函數(shù)”與軸交于、兩點（在左側），與“向光函數(shù)”為關于軸對稱，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函數(shù)”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范圍是：．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及到一次函數(shù)、反比例函數(shù)，理解題意是解答新定義題型的關鍵．用時
種類
準備時間（分鐘）
加工時間（分鐘）
米飯
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
湯
5
6

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