2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷02一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接解出集合，再求交集即可.【解析】，，則.故選：D.2．在等差數(shù)列中，若，，則（    ）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【解析】因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，解得，所以.故選：B．3．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明,為直角三角形后可得的中點為外接球的球心，為半徑,分別計算外接球的表面積與三棱錐的體積即可.【解析】取的中點,連接，因為面 面面 所以，所以，所以，，因為面 面所以面， 又因為面， 所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球的表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D4．已知函數(shù)，則的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性即可得出選項.【解析】，令，所以在和上單調(diào)遞增，故選：C5．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入A、B兩個封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入盒子A中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個球的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．考慮第一次取球甲、乙都取到紅球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，分別求出其概率，即可求出答案.【解析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個紅球和3個白球，盒子B中有2個紅球和3個白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個球的概率為，所以兩次取球后，盒子A中恰有8個球的概率是．故選:A．6．已知p：，q：，則p是q的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】令,結(jié)合該函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性判斷不等式是否成立.【解析】令，，且，故為奇函數(shù)，時，遞增，則也遞增，又為奇函數(shù)，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價于，即，由在上遞增，則， 即，故p是q的充要條件，故選：C.7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計算（    ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)圖示規(guī)律和數(shù)列遞推關(guān)系即可求解.【解析】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故選：B8．雙曲線的左，右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意畫出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計算即可.【解析】由題意如圖所示：由雙曲線，知，所以，所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線的定義可知：由，所以，所以，解得：，因為為的的角平分線，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A. 二、多選題9．有兩組樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（    ）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同 C．樣本方差相同 D．樣本極差相同【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，方差和極差的定義依次計算得到答案.【解析】對選項A：平均數(shù)分別為，，正確；對選項B：中位數(shù)分別為，，正確；對選項C：方差分別為，，不正確；對選項D：極差分別為，，正確.故選：ABD.10．已知角的終邊與單位圓交于點，則（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】點代入單位圓的方程求出點可得，再由弦化切可得答案.【解析】角的終邊與單位圓交于點，，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故選：AC.11．如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器以BC為軸順時針旋轉(zhuǎn)，則（    ）A．有水的部分始終是棱柱B．水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C．棱始終與水面平行D．當(dāng)點H在棱CD上且點G在棱上（均不含端點）時，不是定值【答案】AC【分析】利用棱柱的幾何特征判斷A；根據(jù)水面矩形變化情況判斷B；利用線面平行的判定判斷C；利用盛水的體積判斷D作答.【解析】對于A，有水部分的幾何體，有兩個面都垂直于BC，這兩個面始終平行，而，并且BC始終與水面平行，即有，若點H在棱上，由面面平行的性質(zhì)知，，若點H在棱CD上，，因此該幾何體有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，即該幾何體是棱柱，A正確；對于B，因為水面為矩形，邊的長不變，隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，矩形的面積不是定值，B錯誤；對于C，因為始終與平行，而始終與水面平行，并且不在水面所在平面內(nèi)，即棱始終與水面平行，C正確；對于D，當(dāng)點在棱上且點在棱上（均不含端點）時，有水部分的棱柱的底面為三角形，而水的體積不變，高不變，則底面面積不變，即為定值，D錯誤.故選：AC12．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)是一個等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗證即可，其中B選項是化簡成一個等差數(shù)列進行判斷，CD兩個選項需要利用數(shù)列的單調(diào)性進行判斷，尤其是D選項，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗證單調(diào)性.【解析】由題可知，；，；，由此可知，即一個等比數(shù)列；A：，A錯誤；B：，因為，所以該數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為當(dāng)時，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時，，原式成立；當(dāng)時，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因為，所以取，由此可知時；時，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯誤.故選：BC 三、填空題13．已知點D為△ABC的邊BC的中點，，，，，的夾角為，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，兩邊同時平方即可代入求模長.【解析】因為，所以，所以，所以．故答案為：.14．某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10000次.統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.按照這種化驗方法，平均每個人需要化驗______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.【答案】0.4262【分析】設(shè)每個人需要的化驗次數(shù)為X，結(jié)合獨立重復(fù)試驗概率計算公式、對立事件概率計算公式求得，從而確定正確答案.【解析】設(shè)每個人需要的化驗次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽性，則；因此，X的分布列為，，，說明每5個人一組，平均每個人需要化驗0.4262次.故答案為：0.4262.15．已知數(shù)列的前項和為，，，若對任意，等式恒成立，則_______.【答案】＃＃0.5【分析】根據(jù)的關(guān)系可得數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而由等差數(shù)列的求和公式即可化簡求解.【解析】因為，所以當(dāng)時，有，兩式相減得，即有，整理得：，所以，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，又因為對任意，等式恒成立，所以，解得.故答案為：16．若等差數(shù)列滿足，則n的最大值為___．【答案】50【分析】設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，根據(jù)，得到即有，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，求得，從而得出，即可求解.【解析】由題意知：等差數(shù)列滿足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項一定滿足或，且項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，此時，，則，且，即，故，.又，則，故，即有，則，可得，解得，又，即有的最大值為，的最大值為.故答案為：50 四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用數(shù)量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據(jù)余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及余弦和角公式，可得答案.【解析】（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.18．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)， ；，(2) ． 【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求得公比，再由求解；進而由求解. （2）由對于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.【解析】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，顯然，所以，解得，由于，所以的通項公式為，；所以，，所以的通項公式為，．（2）因為恒成立，即對于任意的恒成立．令，，則，當(dāng)時，所以，即的最小值為，所以實數(shù)的取值范圍為.19．如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以OB為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．(1)證明；平面；(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）連接，根據(jù)圓的性質(zhì)知△、△都為等腰直角三角形，進而有為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得，再求出、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.【解析】（1）連接，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面.（2）由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，過作，則為的中點，再過作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以.則，，，，所以，，，若為面的一個法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值.20．某小區(qū)有居民2000人，想通過驗血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對小區(qū)全體居民進行血液化驗，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個化驗需化驗2000次.為減輕化驗工作量，隨機按n人一組進行分組，將各組n個人的血液混合在一起化驗，若混合血樣呈陰性，則這n個人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對每個人再分別單獨化驗一次.假設(shè)每位居民的化驗結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨立.(1)若，，試估算該小區(qū)化驗的總次數(shù)；(2)若，每人單獨化驗一次花費10元，n個人混合化驗一次花費元.求n為何值時，每位居民化驗費用的數(shù)學(xué)期望最小.（注：當(dāng)時，）【答案】(1)180次；(2)10. 【分析】（1）設(shè)每位居民需化驗的次數(shù)為，則可取，，分別求概率，進而可得期望，即得；（2）設(shè)每組n人總費用為Y元，結(jié)合條件計算，然后表示出結(jié)合基本不等式即得.【解析】（1）設(shè)每位居民需化驗的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則，若混合血樣呈陽性，則，所以，，，所以2000名居民總化驗次數(shù)約為次；（2）設(shè)每組n人總費用為Y元，若混合血樣呈陰性則，若混合血樣為陽性，則，所以，，所以，每位居民的化驗費用為：元，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故時，每位居民化驗費用的期望最小.21．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓E截拋物線的準(zhǔn)線得到的弦長為3．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)兩條不同的直線m與直線l交于E的右焦點F，且互相垂直，直線l交橢圓E于點A，B，直線m交橢圓E于點C，D，探究：A、B、C、D四個點是否可以在同一個圓上？若可以，請求出所有這樣的直線m與直線l；否則請說明理由．【答案】(1)(2)可以在同一個圓上，和 【分析】（1）由拋物線焦點坐標(biāo)得，拋物線準(zhǔn)線方程代入橢圓方程求得弦長，從而可求得，得橢圓方程；（2）由題意可知當(dāng)斜率均存在且不為0時，可設(shè)直線l為，直線m為，其中，，，，，直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達定理得，若A、B、C、D四個點可以在同一個圓上，則，用直線上的弦長公式表示后，代入（同理得的相減表達式），從而求得值，得直線方程．（1）拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，    設(shè)，由已知得，，，，所以，即，，解得，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因為兩條不同的直線m與l直線均過橢圓的右焦點，且互相垂直，由題意可知當(dāng)斜率均存在且不為0時，可設(shè)直線l為，直線m為，其中，    ，，，，將直線l的方程代入橢圓方程得，，所以，，    若A、B、C、D四個點可以在同一個圓上，則，    所以，所以，所以，，同理，所以，    則，所以，此時存在這樣的直線m與直線l，其方程為和．當(dāng)直線l的斜率為0或斜率不存在時，A，B，C，D顯然不在同一個圓上．綜上，存在這樣的直線m與直線l，其方程為和．22．已知函數(shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】(1)由題意可得在上恒成立，令，求導(dǎo)，分、討論在上恒成立即可；(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求導(dǎo)得當(dāng)時，，即有，于是得以，代入①式中化簡即可得證.【解析】（1）解：當(dāng)時，，，因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，令，，所以在上遞增，即，所以在上恒成立，符合題意；當(dāng)時，，，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在唯一使得，所以當(dāng)時，，在遞減，即，，不符合題意；綜上所述；（2）證明：，當(dāng)時，由（1）可知是增函數(shù)，所以，設(shè)，，移項得，由（1）知，即，所以，即，①設(shè)，，所以當(dāng)時，，即，所以，即，所以，代入①式中得到，即，所以，命題得證.【點睛】方法點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍及證明不等式成立問題:對于函數(shù)在所給區(qū)間上單增(減)，等價于其導(dǎo)數(shù)在所給區(qū)間上恒為正(負)；對于恒成立問題，常采用方法有二：一是求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為最值與參數(shù)之間的關(guān)系；二是分離參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)的最值之間的關(guān)系. 
 

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