立體幾何是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在大題中一般分兩問，第一問考查空間直線與平面的位置關(guān)系證明；第二問考查空間角、空間距離等的求解?？碱}難度中等，常結(jié)合空間向量知識(shí)進(jìn)行考查。2024年高考有很大可能延續(xù)往年的出題方式。
題型一：空間異面直線夾角的求解
（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，求異面直線與所成的角的大小.
【思路分析】
（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.
（2）分別取的中點(diǎn)，利用幾何法求出異面直線與所成的角.
【規(guī)范解答】
（1）在三棱錐中，由為的中點(diǎn)，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，所以.
（2）分別取的中點(diǎn)，連接，于是，
則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
由（1）知，，又，，
則，于是，
令，則，
又，則有，，
又平面，平面，
則，，，
由分別為的中點(diǎn)，得，
顯然，即有，，則，
所以異面直線與所成的角的大小.
1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺(tái)中，分別是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，且正四棱臺(tái)的側(cè)面積為9，其內(nèi)切球半徑為，為的中心，求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)中位線定理，結(jié)合線面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用面面平行的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)，求得各棱長，利用線線角的定義，可得答案.
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如下圖：
在梯形中，分別為的中點(diǎn)，則，同理可得，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，同理可得平面，
因?yàn)椋矫?，所以平面平面?br>又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>（2）連接，則，連接,
在平面中，作交于，
在平面中，作交于，連接，如下圖：
因?yàn)椋瑒t，且，所以為平行四邊形，
則，且，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
同理可得：為平行四邊形，則，
在正四棱臺(tái)中，易知對角面底面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面?br>所以平面，由內(nèi)切球的半徑為，則，
在等腰梯形中，且，易知，同理可得，
在中，，則，
設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，，
由正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，則等腰梯形的面積，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>在，，可得，
則，解得，
所以，，，，則，
在中，，則，
所以在中，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）點(diǎn)F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直進(jìn)而得線線垂直，由二面角定義可得，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)得線線垂直即可求；（2）由線面平行的性質(zhì)可得線線平行，由線線角的幾何法可利用三角形的邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，且兩平面交線為,，平面
所以平面，
所以，是二面角的平面角，故 ．
連接，E為棱的中點(diǎn)，則，從而．
又，，平面AED，
所以平面，平面,因此．
（2）解法1：設(shè)，則，
所以．
連交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連．
因?yàn)槠矫?，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG，所以，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以G為中點(diǎn)，故．且直線與所成角等于直線與所成角．
在中，，因?yàn)椋?br>所以．
因此直線AE與DF所成角的余弦值為．
解法2；設(shè)，則，所以．
取中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，則．
連接交于點(diǎn)，連，
因?yàn)槠矫?，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以．
與所成角等于直線與所成角．
正方形中，，，所以，故．
在中，，，
由余弦定理．在中，．
因此直線與所成角的余弦值為．
解法3:由（1）知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，
為2個(gè)單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由（1）知，得，．
則，，，．
由，得．
因?yàn)槠矫鍮DF，所以存在唯一的，，
使得，
故，解得， 從而．
所以直線與所成角的余弦值為．
題型二：空間直線與平面夾角的求解
（2024·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【思路分析】
（1）連接,則有平面平面，可得平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行計(jì)算即可.
【規(guī)范解答】
（1）連接.
因?yàn)?，且?br>又分別是棱的中點(diǎn)，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
因?yàn)椋遥?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）四邊形均為正方形，所以，所以平面.
因?yàn)?，所以平面，從?
又，所以為等邊三角形.
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，即兩兩垂直.
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，
所以.
設(shè)為平面的法向量，
則，即，可取.
因?yàn)?，所?
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角正弦值為.
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱臺(tái)中，，，．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，即可證明平面，從而得到，又即可得證；（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，即可證明平面，再證明，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，所以、、三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，
因?yàn)?，所以?br>又，，，
所以，所以，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>又平面，所以，
又，所以.
（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，連接，
由（1）平面，平面，
所以平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以，
由，，
可得，，，，
過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，所以、、三條直線兩兩垂直，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
2．（2024·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺(tái)，其中，．
（1）求證：；
（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，BD，DE，設(shè)，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；
（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，根據(jù)線面、面面垂直的判定定理可得面面ABE，如圖，則為題意所求的線面角，解三角形即可.
【解析】（1）連接BD，DE，設(shè)，則，
取AB的中點(diǎn)G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，
得，∴，∴
同理可得，，
又面BDE，∴面BDE，
又面BDE，；
（2）由（1）知，
又∵，∴，
由，得．
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)M，連接EM．
因?yàn)槊鍭BCD，所以，
又因?yàn)?，且面DEM，
則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．
過點(diǎn)D作交EM于點(diǎn)N，連接AN．
∴就是直線AD與面ABE所成的線面角．
∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角．
∵，又，，∴，
又，∴，
即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.
題型三：空間平面與平面夾角的求解
（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，，，，平面平面．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【思路分析】
（1）根據(jù)平行線性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定證明即可；（2）以A為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)面面角的向量方法求解即可.
【規(guī)范解答】
（1）證明：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以由得?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ADFE，
所以平面ABCD．
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，
連接AC，在正方形ABCD中，，
因?yàn)锳F、AC相交，且AF、平面AFC，所以平面AFC．
因?yàn)槠矫鍭FC，所以．
（2）由（1）知AB，AD，AF兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，
，
設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為
由得：，
令，則得．
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為，
由得：，
令，則，得．
．
設(shè)平面BDF與平面BCF所成角為，由圖可知為銳角，即，
所以平面BDF與平面BCF所成角的余弦值為．
1．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長方中，，E為的中點(diǎn)，.
（1）求的長；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）連接，證明平面，從而證明，結(jié)合，推出，即可利用，即求得答案；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【解析】（1）連接，由題意知，且平面，
平面，故，
平面，故平面，
又平面，故，又，
故，則，
則，即，
又，故；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
平面的法向量可取為，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
故,
由原圖可知二面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
2．（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形.
（1）證明：.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明平面，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明；
（2）利用垂直關(guān)系構(gòu)造二面角的平面角，再根據(jù)三角形的邊長，即可求解.
【解析】（1）連結(jié)，
因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面均是邊長為2的正方形，
所以四邊形是邊長為2的菱形，則，
且四邊形和也是邊長為2的正方形，
所以，且，，平面，
所以平面，平面
所以，且，且平面，
所以平面，平面，所以；
（2）由（1）可知，平面，且，
所以平面，且平面，
所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面平面，且平面平面，
因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形?br>取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面
所以平面，
再取的中點(diǎn)，連結(jié),則，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又，且，平面，
所以平面，平面，所以，
所以為二面角的平面角，
，，，
所以，
所以二面角的余弦值為.
題型四：空間點(diǎn)、線、面間的距離求解
（2024·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
（1）證明：平面；
（2）已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．
【思路分析】
（1）根據(jù)題意，利用面面垂直的判定定理，中點(diǎn)平面，結(jié)合，即可證得平面；
（2）由（1）可知，平面，中點(diǎn)平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，列出方程，即可求解．
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>且， 平面，所以平面，
又因?yàn)?，所以平面?br>（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，
過作直線的垂線，垂足為，則平面，
由，，
可得，，，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>則，可得，
在直角梯形中，因?yàn)?，可得?br>所以，
在等腰中，，
取的中點(diǎn)，連接，可得，且，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，可得，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
1．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).
（1）證明：平面.
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行可得，再由線面平行判定定理求證；
（2）利用等體積法求點(diǎn)面距離即可得解.
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
則，從而四邊形為平行四邊形，故.
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?
（2）作，垂足為，連接.
由平面，平面，所以，
又平面，所以平面.
因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，則.
因?yàn)槭沁呴L為4的等邊三角形，所以.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
則三棱錐的體積.
因?yàn)?，所以，則.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積.
因?yàn)椋?，解得?br>即點(diǎn)到平面的距離為.
2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面間的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明；（2）將面面距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，再由等體積法求出距離即可.
【解析】（1）在正六棱柱中，
因?yàn)榈酌鏋檎呅危裕?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又，所以平面平面.
（2）平面與平面間的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為.
連接，則四面體的體積.
因?yàn)椋?br>，，
所以，從而，
所以，
所以，即平面與平面間的距離為.
題型五：空間幾何體的體積求解
（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四面體中，
（1）證明：
（2）若，求四面體的體積
【思路分析】
（1）取中點(diǎn)E，連結(jié)，，證明平面即得；
（2）在中利用余弦定理求得，又在中利用余弦定理求得，繼而求出的面積，利用（1）的結(jié)論將所求體積分割求解即得.
【規(guī)范解答】
（1）如圖，取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，，
∵，∴，
在和中，，，，
∴，∴，
∵的中點(diǎn)為E，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴．
（2）在中，，，設(shè)，
由余弦定理，解得．
因?yàn)?，，所以?br>∴在中，因，
則，，，
又由余弦定理得，∴，
∴，
由（1）知平面，∴．
1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）如圖所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，異面直線與所成角為45°.

（1）求證：平面平面；
（2）若點(diǎn)在上，當(dāng)面積最小時(shí)，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）由異面直線與所成角，得出，則，再由面面垂直得出線面垂直，再證得面面垂直；（2）取中點(diǎn)，面積最小時(shí)，線段最短. 當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，線段最短. 求此時(shí)三棱錐的體積即可.
【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以為銳角.
因?yàn)?，所以為異面直線與所成角，所以.
所以為等腰直角三角形，所以，則.
因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面?br>所以平面，，所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）取中點(diǎn)，連接，.如圖：
因?yàn)?，，，所?
因?yàn)?，所?
所以，.
所以，.
所以面積最小時(shí)，線段最短.
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，線段最短.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br>所以平面.
此時(shí)，.
2．（2023·天津西青·西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，，，四邊形為正方形，平面平面，為的中點(diǎn)，，垂足為．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的正切值；
（3）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）由，，可證得平面，得，又，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，得，則是異面直線與所成角，即可求解；
（3）可證得平面，則三棱錐的體積：，計(jì)算即可．
【解析】（1）四邊形為正方形，，
四邊形為平行四邊形，，
，，，
，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面．
（2）四邊形為平行四邊形，，，，
，，
四邊形為正方形，平面平面，
平面平面，，平面，
平面，平面，，
為的中點(diǎn)，，
設(shè)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，
是異面直線與所成角，，
，，
異面直線與所成角的正切值為．
（3）平面平面，平面平面，，平面，
平面，，
三棱錐的體積：．
題型六：空間幾何體的翻折問題
（2024·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，．沿對角線折起，形成一個(gè)四面體，且．
（1）是否存在，使得，同時(shí)成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（2）求當(dāng)二面角的正弦值為多少時(shí)，四面體的體積最大．
【思路分析】
（1）由線面垂直證明線線垂直，由勾股定理求出值；
（2）四面體的體積最大時(shí)，平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值，利用正弦和余弦的平方關(guān)系求出二面角的正弦值即可.
【規(guī)范解答】
（1）若，∵，，面，
∴平面，平面，則,
∴，即，∴；
若，∵，，面，
∴平面，面，則,
∴，即，∴，無解．故不成立．
所以不存在，使得，同時(shí)成立；
（2）要使四面體的體積最大，因?yàn)榈拿娣e為定值，
所以只需讓三棱錐的高最大即可，此時(shí)平面平面，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得平面，
在平面中作垂直于的直線，
以為原點(diǎn)分別以在平面中垂直于的直線、、為軸、軸、軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
顯然平面的法向量為．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
由 得 得 ，取，得，，得．
∴，
所以二面角的正弦值為．
1．（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，連接對角線，，，，將三角形沿折起，連接，得四棱錐（如圖2），且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.
（1）求證：平面平面；
（2）若平面和平面的夾角的余弦值為，求線段的長.
【答案】（1）證明見解析；（2）1
【分析】（1）由等腰三角形證得，勾股定理證得，可得平面，得平面平面.
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法表示兩個(gè)平面夾角的余弦值，由方程解出的值.
【解析】（1）連接，則，因?yàn)椋?br>所以四邊形為矩形，所以，
因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，
所以，且，
所以，即，
又因?yàn)?，平面，所以平面?br>又平面，所以平面平面.
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，得
又，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，得，
所以，解得，或（舍），
所以線段的長為1.
2．（2023·河北衡水·高三衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖②.
（1）設(shè)平面平面，證明：平面；
（2）若是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的正切值為，求該截面將四棱錐分成上下兩部分的體積之比.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明即可；
（2）延長截面，分別求出，從而求解.
【解析】（1）證明：如圖，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，
所以分別為以為斜邊的直角三角形，即，
又，平面平面，所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）如圖，過作，連接并延長，交于點(diǎn)，
連接，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，
連接，因?yàn)椋裕?br>又平面平面，
所以平面，連接，
則是截面與平面所成二面角的平面角，即.
在中，，所以，
又在中，由余弦定理可得，
所以在中，，
所以，所以，所以
因?yàn)?，所以，即為中點(diǎn).
又是中點(diǎn)，所以是的重心，
所以，所以，
所以，
又，所以，所以.
題型七：空間動(dòng)點(diǎn)存在性問題的探究
（2024·上海黃浦·高三大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面PEB？請說明理由
【思路分析】
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而證得；
（2）存在為中點(diǎn)時(shí)，平面，取中點(diǎn)為，可得四邊形為平行四邊形，因此，從而得證.
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
又平面，因此．
（2）存在為中點(diǎn)時(shí)，平面，理由如下：
取中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，且．
在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，
又因?yàn)槊婷?，所以面?br>1．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知三棱柱中，，，且，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面的所成角為60°.如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得.由面面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)即可證得兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可證明；
（2）由（1），設(shè)，利用空間向量法求解即可.
【解析】（1）在中，，由余弦定理，
得，解得，得.
在中，，則為正三角形，
取BD的中點(diǎn)O，連接，則，又平面平面，
平面平面平面，所以平面.
取的中點(diǎn)E，連接OE，則，而，所以，
由平面，所以，
以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，
令，則，
所以，所以，故平面平面；
（2）由（1）知，，，，，，
由，即，得，
所以，設(shè)，
則，又，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，所以，
所以，
整理，得，方程在上無實(shí)數(shù)解，
所以在上不存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角為.
2．（2024·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若
（1）求與平面所成角的正切值；
（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
【答案】（1）；（2）存在，
【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，再證明平面，則即為與平面所成角的平面角，再解即可；
（2）連接，作于點(diǎn)，證明平面，則即為點(diǎn)到平面的距離，再在中，利用等面積法求解即可.
【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又平面，所以平面，
所以即為與平面所成角的平面角，
在中，，則，
所以與平面所成角的正切值為；
（2）假設(shè)存在，設(shè)，
連接，作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又平面，所以平面，
所以即為點(diǎn)到平面的距離，
由，得，
由，解得，
所以存在，.
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.
（1）證明：平面.
（2）若，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理先證出平面，再證得平面；
（2）利用間接法，求體積.
【解析】（1）記.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，且?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，且?br>所以平面.
（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是3.
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為4的菱形，且，
所以，
則四棱錐的體積，
三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
故三棱錐的體積.
2．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐中，，，．
（1）證明：；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，即可得到△和△都是等邊三角形，從而得到，，則平面，從而得到，再由，即可得證；
（2）依題意可得二面角的平面角為，在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)椋?br>所以△和△都是等邊三角形，
所以，，，平面，
所以平面，平面，所以，
因?yàn)椋?，所?
（2）由（1）知，，
則二面角的平面角為，，
且平面，平面，
所以平面平面，平面平面，
在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，所以平面，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
3．（2024·吉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，高為，O，E分別為底面的中心和的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）答案見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，并求出平面與平面的夾角的余弦值，得到和的關(guān)系式即可求出的值.
【解析】（1）連接、，
∵O，E分別為的中點(diǎn)和的中點(diǎn)，∴∥，
∵∥，∴∥，∴四點(diǎn)、 、 、共面，
∵ ， ，且，、平面，
平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
（2）分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
令，則，∴，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
令，則，，∴，
∴，∴.
4．（2024·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）邊BC上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段BM的長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，論證即可；
（2）由，得到點(diǎn)到平面的距離為求解；
（3）假設(shè)在邊BC上存在點(diǎn)M，設(shè)，由求解.
【解析】（1）證明： 由題設(shè)可得四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所有，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，所以，
因?yàn)?，且平面，所以平面?br>（2）易知，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（3）假設(shè)在邊BC上存在點(diǎn)M，設(shè)，則，
因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，
所以，
即，解得或（舍去），
則，此時(shí).
5．（2024·北京·高三北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，，，，，，．
（1）求證：⊥；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求出的值，使得，且到平面距離為．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；
（3）利用空間向量距離公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>又，，，平面，
所以平面，平面，所以.
（2）由（1）知平面，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，為，軸的正方向，
因?yàn)?，所以：，，?
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，取.
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為：.
（3）設(shè)到平面的距離為，
.
，，.
設(shè)平面的法向量為，，.
所以：，取.
.
6．（2023·遼寧大連·高三育明高中校考期中）如圖，在中，，，，．將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．
（1）請?jiān)诖痤}紙的圖中作出平面與平面的交線，并指出這條直線（不必寫出作圖過程）；
（2）證明：平面平面；
（3）若直線和直線所成角的大小為，求四棱錐的體積．
【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）
【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，連接，即為所求直線；（2）由已知證得平面，結(jié)合得出平面，由平面，即可證明平面平面；（3）由直線和直線的夾角及已知得出，由勾股定理逆定理得出為直角三角形，在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出的長，根據(jù)四棱錐的體積公式計(jì)算即可．
【解析】（1）延長，交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線．
（2）因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（3）由，，，，得，
因?yàn)?，且直線和直線所成角的大小為，所以，
由（1）得，平面，且平面，
所以，即，
由得，，
在中，，則，
在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，，平面，且?br>所以平面，
則．
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．
（1）求證：平面PAB；
（2）求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，同理，所以為直角三角形，
又因?yàn)?，?br>所以，則為直角三角形，故，
又因?yàn)?，，所以平?
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，所以，
所以，
又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
（1）求證：//平面；
（2）若，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.
【解析】（1）連接，設(shè)，
則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）過作垂直的延長線交于點(diǎn)，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
在中，，所以，
因?yàn)椋裕?br>又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，即三棱錐的高為，
因?yàn)椋裕?br>所以，
又，所以.
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，求四棱錐的高．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；（2） 過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.
【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所?
又因?yàn)?，即?br>平面，，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）如圖，過點(diǎn)作，垂足為.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
所以四棱錐的高為.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，,
又因?yàn)?，為公共邊?br>所以與全等，所以.
設(shè)，則，
所以為中點(diǎn)，,
又因?yàn)?所以，即，解得，
所以，
所以四棱錐的高為．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．
（1）證明：；
（2）已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.
【解析】（1）如圖，
底面，面，，
又，平面，，平面ACC1A1，
又平面，平面平面，
過作交于，
又平面平面，平面，平面
到平面的距離為1，，
在中，，
設(shè)，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
（2），，，
過B作，交于D，則為中點(diǎn)，
由直線與距離為2，所以
，，，
在，，
延長，使，連接，
由知四邊形為平行四邊形，
，平面，
又平面，
則在中，，，
在中，，，
,
又到平面距離也為1，
所以與平面所成角的正弦值為.
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；
（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【解析】（1）連接，設(shè)，
則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，，
又平面平面，所以平面.
（2）法一：由（1）可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，則有平面，
又平面，所以平面平面.
法二：因?yàn)椋^點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
在中，，
在中，，
設(shè)，所以由可得：，
可得：，所以，
則，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
，所以平面平面BEF；
（3）法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，
由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，
又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，則，
從而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值為.
法二：平面的法向量為，平面的法向量為，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故二面角的正弦值為.
6．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：//平面；
（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；
（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；
（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解
【解析】（1）連接.由分別是的中點(diǎn)，
根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，
由可知，
四邊形是平行四邊形，則//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.
由面，面，故，
又，，平面，則平面.
由平面，故，
又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面與平面所成角即.
又，，
則，故，
在中，，則，
于是
（3）[方法一：幾何法]
過作，垂足為，作，垂足為，
連接，過作，垂足為.
由題干數(shù)據(jù)可得，，，
根據(jù)勾股定理，，
由平面，平面，則，
又，，平面，于是平面.
又平面，則，
又，，平面，故平面.
在中，，
又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，
即點(diǎn)到平面的距離是.
[方法二：等體積法]
輔助線同方法一.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
，
.
由，即.
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
【答案】（1）證明見解析；（2）1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，，
又不在同一條直線上，.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，，
，
化簡可得，，解得或，
或，.
8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【解析】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，
又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)椋?，即有?br>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
1、求異面直線所成角一般步驟：
（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．
（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．
（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．
2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：
（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；
（2）中位線平移法；
（3）補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．
3、異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
1、垂線法求線面角（也稱直接法）：
（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；
（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；
（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求線面角（也稱等體積法）：
用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。
公式為：sinθ=hl，其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長。
方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，
平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對于無棱二面角的求解很簡便。
4、直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.
1、幾何法
（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．
（2）三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角
（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面積法求二面角
2、向量法：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
1、幾何法求點(diǎn)面距
1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；
2、等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；
3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．
2、向量法求空間距離：
（1）點(diǎn)面距：已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為
（2）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
（3）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
1、處理空間幾何體體積的基本思路
（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；
（2）拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；
（3）拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘一個(gè)四棱柱，還臺(tái)位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。
2、求體積的常用方法
（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；
（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；
（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換
翻折問題的兩個(gè)解題策略
1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決
2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算
借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對象不存在．

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