【三輪沖刺】高考數(shù)學(xué)（大題專(zhuān)練）04 圓錐曲線（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

圓錐曲線問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，多數(shù)情況在倒數(shù)第二題出現(xiàn)，難度為中高檔題型?？v觀近幾年高考試卷，圓錐曲線的大題主要有以下幾種類(lèi)型：已知過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)，求直線方程或斜率、多邊形面積或面積最值、證明直線過(guò)定點(diǎn)或點(diǎn)在定直線上等。各種類(lèi)型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可循。
題型一：最值問(wèn)題
（2024·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的切線，交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)是上異于的一點(diǎn)，到直線的距離分別為，求的最小值.
【思路分析】
（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出；
（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，可求出的最小值.
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，
所以，即的方程為：，如下圖所示：
設(shè)點(diǎn)，
由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)，
聯(lián)立得，所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，且，
所以.
由，得，即.
所以，故.
（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合（1）知，即
因?yàn)椋?br>所以.
同理可得，
所以.
又，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
即直線斜率為0時(shí)，取最小值；
1．（2024·吉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，焦距為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)R，S，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的定義得出，再由的關(guān)系求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，再聯(lián)立方程組，由弦長(zhǎng)公式求最值.
【解析】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，
所以，解得，
焦距為，，所以，
所以橢圓E的方程為．
（2）由（1）可知圓，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，同理，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，則，
設(shè)，
聯(lián)立橢圓于直線方程，消元得，
所以，
由，得,
,
令，
則，
由，所以當(dāng)時(shí)，，
而時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.
2．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于M，Q兩點(diǎn)，且．
（1）求C的方程；
（2）若點(diǎn)P是C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線AB的距離的最大值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性，確定拋物線過(guò)的點(diǎn)求出C的方程.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)及切線方程，再聯(lián)立切線與拋物線方程求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線過(guò)的定點(diǎn)即得.
【解析】（1）依題意，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
由，得，
不妨令點(diǎn)在第一象限，則，
設(shè)拋物線C的方程為，即有，解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）由（1）知，拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，
顯然切線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)切線方程為，
由消去x并整理得①，于是，
設(shè)方程的一個(gè)根為，則該方程的另一根為，
不妨令切線的方程為，
方程①中取得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，其橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)，
同理得，當(dāng)時(shí)，直線方程為，
整理得，
當(dāng)或時(shí)，直線方程為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，為定值，
所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離取得最大值1.
題型二：參數(shù)范圍問(wèn)題
（2023·上海浦東新·高三建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、斜率為的直線交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求橢圓的焦距和離心率；
（2）若點(diǎn)落在以線段為直徑的圓的外部，求的取值范圍；
（3）若，設(shè)直線分別交軸于點(diǎn)，求的取值范圍．
【思路分析】
（1）由橢圓方程可求出得解；
（2）點(diǎn)B落在以線段為直徑的圓的外部，即，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系代入運(yùn)算得解；
（3）設(shè)，，由，可得，即，同理可得，，由得，同理得，可得的表達(dá)式，結(jié)合（2）代入運(yùn)算得解.
【規(guī)范解答】
（1），，，，即，
所以橢圓的焦距為4，離心率為.
（2）設(shè)，，直線，又，
聯(lián)立方程，消去整理得，
，即或，
，，
點(diǎn)B落在以線段為直徑的圓的外部，即，
則，又，，
可得，
代入，運(yùn)算整理得，，解得或，又或，
所以的取值范圍為.
（3）設(shè)，，，，
由，可得，即，
同理可得，，
又即，解得，
同理可得，
又由（2）知，，，，，
，
又，.
所以的取值范圍為.
1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，與橢圓C有相同焦點(diǎn)的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點(diǎn)P，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．若橢圓C上存在點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）結(jié)合雙曲線方程可得，，結(jié)合雙曲線和橢圓的定義即可得到，進(jìn)而求解；
（2）設(shè)，，則，結(jié)合平行四邊形OAED，可得，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得，．進(jìn)而得到，從而求解.
【解析】（1）由題意，雙曲線的焦點(diǎn)為，，
雙曲線與橢圓C有相同焦點(diǎn)且在第一象限交點(diǎn)為P，
又，，．
，．．
橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，，則．
四邊形OAED為平行四邊形，
，．
點(diǎn)A，B，E均在橢圓C上，
，，．
，．
．
由消去y，得．
顯然．
，．
．，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，即，．
2．（2024·江西南昌·高三江西師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知拋物線：上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5.
（1）求拋物線的方程：
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作C的切線與，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線垂直于，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，與相交于點(diǎn)E，、、、分別與軸交于點(diǎn)P、Q、R、S.記、、、的面積分別為、、、.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）結(jié)合拋物線定義即可;
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為：（），與拋物線方程聯(lián)立得，.將每條直線表達(dá)出來(lái)，、、、表達(dá)出來(lái)，再由求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)，由題意可得，即，
解得或（舍去），所以拋物線的方程為.
（2）如圖，
設(shè)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為：（，），
與拋物線方程聯(lián)立可得，
即，
∴，.
∵，則，∴，
∴過(guò)點(diǎn)作的切線方程為，
令，得，即.
同理，過(guò)點(diǎn)作的切線方程為，
令，得，即
∴.
聯(lián)立兩直線方程，解得，即，
則到直線的距離.
又∵過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，
直線的方程為，
令，得，即.
同理，直線的方程為，
令，得，即.
∴.
聯(lián)立兩直線方程，解得，
整理后可得，即，
則到直線的距離.
由上可得，，
，，
∴，得，
故的取值范圍為.
題型三：定值問(wèn)題
（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．
【思路分析】
（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明.
【規(guī)范解答】
（1）由題可知，，解得，
故橢圓的方程為．
（2）
證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．
直線的方程為，令，得．
，，
．
由，得，
則．
故為定值．
1．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，.
（1）求C的方程；
（2）若直線AP和AQ分別與直線交于點(diǎn)M和N，證明：為定值.
【答案】（1）；（2）為定值63，證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意得，并代入求出，根據(jù)求出，得到答案；
（2）直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出，同理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式，代入兩根之和，兩根之積得到.
【解析】（1）由題意得，故，
令得，解得，
由于，故，解得，所以C的方程為；
（2）直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），故直線l的斜率不為0，
設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得，
設(shè)，則且，解得，
，
直線，令得，
同理可得，故，
則
.
為定值.
2．（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考期中）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，，求證：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義即可求解值.
（2）設(shè)出直線的方程并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及共線向量的坐標(biāo)表示推理即得.
【解析】（1）拋物線：的準(zhǔn)線，
由拋物線定義得，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，
設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，
由消去并整理得，
顯然，，，
而，，
由，得，即，解得，
由，同理得，
因此為定值，
所以為定值.
題型四：過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．
（1）求的方程；
（2）設(shè)的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之和為3，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【思路分析】
（1）根據(jù)離心率和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用韋達(dá)定理代入，然后可得，即可得證.
【規(guī)范解答】
（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
的離心率為，
的上頂點(diǎn)為，，的方程為．
（2）由的方程可知．
若直線的斜率不存在，則直線與的斜率互為相反數(shù)，不符合題意，
故設(shè)直線的方程為，且均不與重合．
由得，
，
，
，
，
令，解得．
直線的方程為，即，
直線過(guò)定點(diǎn).
1．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知為雙曲線上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之和為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角分別為和，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用及點(diǎn)在雙曲線上，可構(gòu)造方程求得，從而得到雙曲線方程；
（2）驗(yàn)證可知直線斜率均存在，由斜率與傾斜角關(guān)系可得，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；利用兩點(diǎn)連線斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出，化簡(jiǎn)整理得到或，驗(yàn)證可知滿足題意，由直線過(guò)定點(diǎn)的求法可求得結(jié)果.
【解析】（1）由題意知：，，，，
又在雙曲線上，，解得：；
雙曲線的方程為：.
（2）當(dāng)直線中的一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，則，，
，直線，即，
由得：，解得：，
即直線與雙曲線相切于點(diǎn)，不合題意；
直線斜率均存在，則，，
，，
即，；
設(shè)，
由得：，
且，
，，
，
，
由得：，
，
，
，
整理可得：，
即，或，
當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)；
綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).
2．（2024·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且被軸截得的線段長(zhǎng)為4，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）方法一：設(shè)出相應(yīng)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線點(diǎn)斜式方程，結(jié)合互相垂直直線斜率的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解即可；
方法二：設(shè)出一條直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、互相垂直直線斜率關(guān)系求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行判斷即可.
【解析】（1）設(shè)，
因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且被軸截得的線段長(zhǎng)為4，
所以有，
所以曲線的方程為；
（2）由，故，
由直線與直線垂直，故兩直線斜率都存在且不為0，
設(shè)直線分別為，有，
聯(lián)立與直線，即有，
消去可得，
故，
則，
故，即，
同理可得，
當(dāng)時(shí)，則，
即
，
由，即，
故時(shí)，有，
此時(shí)過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，
故直線過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；
方法二：設(shè)，不妨設(shè).
設(shè)，則.由，得，
故.
所以.
同理可得.
若，則直線過(guò)點(diǎn).
若，則直線過(guò)點(diǎn).
綜上，直線過(guò)定點(diǎn).
題型五：定直線問(wèn)題
（2024·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)一中?？家荒＃┮阎獧E圓的上、下頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的短軸長(zhǎng)為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．
【思路分析】
（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和點(diǎn)在橢圓上整理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，利用，坐標(biāo)表示出直線與的方程，求解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得證．
【規(guī)范解答】
（1）由題意可得，且，則.
設(shè)，則，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
所以，代入式得，
由，代入得，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，顯然直線不垂直于軸，
故可設(shè)直線的方程為，
由消去得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，
由（1）知，，
所以直線的方程為，直線的方程為，
由直線與相交于點(diǎn)，則，
消得①，
由（1）知，得，
可得
，
將代入①式得，解得，即點(diǎn)在直線上．
1．（2024·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在C上，且，的斜率之積為．
（1）求C的方程；
（2）已知直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（均與P不重合），與直線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，若，線段MN的中點(diǎn)為R，證明：點(diǎn)R在一條定直線上．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件可以得到，求出，再根據(jù)在雙曲線上，求出，求出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)已知條件可得，由M，N在直線的兩側(cè)，得，設(shè)直線l：，，，聯(lián)立得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可得到點(diǎn)在定置線上.
【解析】（1）由題意知，，
所以，解得，
又，所以，所以C的方程為．
（2）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)辄c(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，
所以直線PQ：是的平分線，所以．
由題意可知直線l的斜率存在且斜率不是，
設(shè)直線l：，，，
聯(lián)立，可得，
故，．
，
化簡(jiǎn)得，
故，
即，而直線l不過(guò)P點(diǎn)，故．
所以線段MN的中點(diǎn)R的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)R恒在直線上．
2．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線：與直線與拋物線分別交于點(diǎn)和點(diǎn).
（1）若，求的面積；
（2）若直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）聯(lián)立拋物線與直線，消去得，設(shè)，由韋達(dá)定理得出，即可根據(jù)拋物線弦長(zhǎng)公式得出，再由點(diǎn)到直線的距離公式得出點(diǎn)到直線的距離，即可根據(jù)三角形面積公式得出答案；
（2）設(shè)，，分別聯(lián)立拋物線與直線和拋物線與直線，消去根據(jù)韋達(dá)定理得出，，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得出直線與的方程，即可聯(lián)立兩直線方程消去，再代入，，化解得出定直線.
【解析】（1）依題意，，
聯(lián)立，得.
設(shè)，
故，
故，
點(diǎn)到直線的距離，故.
（2）設(shè)，，
聯(lián)立得，則.
同理可得，.
則直線，
化簡(jiǎn)得，，
同理可得，直線，
聯(lián)立①②消去可得，
故點(diǎn)在直線上.
題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為和，M是橢圓C上一點(diǎn)，且面積的最大值為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與橢圓C的頂點(diǎn)不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線OM，MF，其中直線MF不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線OM，MF與橢圓C交于異于點(diǎn)M的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)D，直線OD與直線MF相交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的軌跡方程．
【思路分析】
（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知；
（2）設(shè)出直線的方程，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，結(jié)合三點(diǎn)共線求得點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，從而求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得即可知的軌跡方程.
【規(guī)范解答】
（1）由題可知，，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知，，設(shè)，，則，
設(shè)直線的方程為，
由消去x并整理得，
∴，
∴，，且，∴，
設(shè)點(diǎn)，由三點(diǎn)共線得，即，
由三點(diǎn)共線得，即，
∴
，
所以直線的斜率，
∴直線的方程為，
由解得，，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
1．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是雙曲線的上頂點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，求出，進(jìn)而求出，得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立與雙曲線方程，由得到，求出和過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程，表達(dá)出的坐標(biāo)，結(jié)合得到軌跡方程，注意.
【解析】（1）由題意得，
故直線方程為，即，
聯(lián)立與得，
由韋達(dá)定理得，解得，
故，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立與得，，
，由，解得，則，
又，，
故，由題可知，
過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程為，即，
令得，令得，
因?yàn)?，所以，故，顯然，
代入中得，
化簡(jiǎn)得，即；
2．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且A，B，C三個(gè)不同的點(diǎn)均在上.
（1）若直線AB的方程為，且點(diǎn)F為的重心，求p的值；
（2）設(shè)，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線BC的斜率為1，動(dòng)點(diǎn)D在直線AC上，且，求點(diǎn)D的軌跡方程.
【答案】（1）8；（2）（且）.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角形重心坐標(biāo)公式用p表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即得.
（2）借助拋物線方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線方程求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，進(jìn)而確定點(diǎn)D的軌跡并求出方程即得.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，
由消去x得，則，，
由點(diǎn)F是的重心，得，則，
而點(diǎn)C在上，于是，又，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，的方程為，設(shè)，，，
直線的斜率，
同理得直線的斜率，直線的斜率，
直線AB的方程為，化簡(jiǎn)得.
而直線AB過(guò)點(diǎn)，即，顯然，則，
又，即，于是，整理得，
直線AC的方程為，化簡(jiǎn)得，
將代入，得，
令，得，直線AC過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)線段ME的中點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為，
因?yàn)镈在直線AC上，且，
因此D在以G為圓心，EM為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
因?yàn)?，所以D的軌跡方程為（且）.
題型七：角度關(guān)系證明問(wèn)題
（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.
（1）探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；
（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.
【思路分析】
（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個(gè)切點(diǎn)從而可得，從而求解.
（2）將直線分別與雙曲線的兩漸近線方程聯(lián)立求出，，由（1）可求出，即，分別求出，，，從而可求解.
【規(guī)范解答】
（1）聯(lián)立方程，整理得.
由，且是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，
可得，則，即為參數(shù)，滿足的關(guān)系式.
結(jié)合圖象，由點(diǎn)在第一象限，可知，且.
所以，的關(guān)系式滿足.
（2）由題可得雙曲線的左焦點(diǎn)，漸近線為.
聯(lián)立方程，解得，即；
聯(lián)立方程，解得，即.
結(jié)合，且由式可變形為，
解得，可得.
要證，即證，
即證，
即證，即證.
由，得.
根據(jù)直線的斜率公式，，，，
則，
，
可得，
因此，.
1．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）一動(dòng)圓圓E與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程；
（2）設(shè)A為E的右頂點(diǎn)，若直線與x軸交于點(diǎn)M，與E相交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)M，C之間），若N為線段上的點(diǎn)，且滿足，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)圓與圓內(nèi)切、外切的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去根，得到一元二次方程，據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系確定點(diǎn)的位置，結(jié)合等邊對(duì)等角、外角性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算證明即可.
【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓E圓心坐標(biāo)，半徑為，由題意可知，，，
當(dāng)與相外切時(shí)，有；①
當(dāng)與相內(nèi)切時(shí)，有．②
將①②兩式的兩邊分別相加，得，所以的軌跡為橢圓，
所以，所以，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．
（2）由（1）可知，圓心的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立，得，
則，即，
，.
因?yàn)?，所以，所以?br>即，
所以，，所以點(diǎn)在直線上，
所以，即，因?yàn)闉椤鞯囊粋€(gè)外角，
所以.
2．（2024·北京·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，集合，點(diǎn)，且對(duì)于S中任何異于P的點(diǎn)Q，都有．
（1）證明：P在橢圓上；
（2）求P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，證明：．
參考公式：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）分析當(dāng)在內(nèi)時(shí)，設(shè)線段與有一交點(diǎn)推導(dǎo)出矛盾即可；
（2）記在上的投影向量為，可推導(dǎo)是上與距離最小的點(diǎn)，再設(shè)，結(jié)合橢圓的方程與所給方程得出不等式求解最值即可；
（3）設(shè)直線與軸交于，根據(jù)共線可得，再結(jié)合與正弦定理，轉(zhuǎn)證即可.
【解析】（1）記，若不在上，則在內(nèi).
因?yàn)?，所以在外?br>設(shè)線段與有一交點(diǎn)，此時(shí)和共線反向，，不合題意，因此在上.
（2）等價(jià)于.
記在上的投影向量為，則條件等價(jià)于，，
這表明是上與距離最小的點(diǎn).
設(shè)，則，.
因?yàn)椋?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以，
又，故，故，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，解得，故此時(shí).
（3）因?yàn)?，，設(shè)直線與軸交于，則，解得.
故，則要證即證.
又，故軸，故.
在和，由正弦定理，，
又和互補(bǔ)，所以，
所以，從而有.
題型八：向量共線問(wèn)題
（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，證明：三點(diǎn)共線．
【思路分析】
（1）根據(jù)焦半徑公式求得得拋物線方程；
（2）設(shè)直線的方程為，由A，D兩點(diǎn)寫(xiě)出直線方程，求出直線與軸交點(diǎn)驗(yàn)證即可.
【規(guī)范解答】
（1）拋物線的準(zhǔn)線為
點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，拋物線的方程為．
（2）由題知直線不與軸平行，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，得，解得或，．
又點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
則直線的方程為，
即．
令，得．
直線恒過(guò)定點(diǎn)，而點(diǎn)，因此三點(diǎn)共線．
1．（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)（異于，），當(dāng)垂直于軸時(shí)，.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交直線于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓中三者的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)已知條件作出圖形，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合兩直線平行的條件即可求解.
【解析】（1）如圖所示，
由，可得，
所以，即，
因?yàn)?，所以，解得，?br>所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意知，直線斜率不為，如圖所示，
設(shè)，，而，
由，整理得，
顯然，則,
因?yàn)?，所以，?
則
，
所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，
所以，，三點(diǎn)共線.
2．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓C內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q的軌跡為E.
（1）求E的方程；
（2）設(shè)M，N是曲線E上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切.證明：當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)圓方程可求得，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)以及對(duì)稱(chēng)性可得，即可求出E的方程；
（2）設(shè)出直線方程并與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離可求得時(shí)，直線方程為或，恒過(guò)點(diǎn)，即可得出證明.
【解析】（1）由，得，
故，半徑
由題意知，如圖所示：
對(duì)Q的軌跡是以C、F為焦點(diǎn)的橢圓.
設(shè)橢圓方程為，則，，
所以橢圓方程為；
（2）由（1）得曲線為，表示右半圓，
即為圖中虛線圓的右半部分（不包括和軸交點(diǎn)）；
由題意可知直線的斜率存在且不為0，
由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)直線，，如圖所示：
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
，
所以，，
可得，
化簡(jiǎn)得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過(guò)點(diǎn)，
即可得三點(diǎn)共線.
題型九：存在性問(wèn)題探究
（2024·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；
（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【思路分析】
（1）由焦距是4求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；
（2）根據(jù)題意設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，由，代入運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用不等式求出面積的最大值；
（3）根據(jù)題意有，轉(zhuǎn)化為，由第二問(wèn)代入運(yùn)算得解.
【規(guī)范解答】
（1）由題意，，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，
聯(lián)立，消去整理得，
，，且，
，令，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或.
（3）在軸上存在點(diǎn)使得，理由如下：
因?yàn)?，所以，即?br>整理得，即，
即，
則，又，解得，
所以在軸上存在點(diǎn)使得.
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）存在滿足
【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；
（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)，從而得到定點(diǎn)與定值.
【解析】（1）由題意可得，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，
代入得，
設(shè)，，，
則，，
∴
，
若要上式為定值，則必須有，即，
∴，
故存在點(diǎn)滿足.
2．（2024·山西太原·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，面積的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)任意的直線，都有.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)；理由見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，進(jìn)而求得的值，得到拋物線；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理，得到，，結(jié)合，求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）由拋物線，可得，準(zhǔn)線為，則，
易知直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為，且，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，
可得，
所以面積，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
因?yàn)槊娣e的最小值為，所以，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知拋物線，假設(shè)存在定點(diǎn)，易知直線的斜率不為零，
設(shè)直線的方程為，且，，則，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，，
因?yàn)?，可得?br>因?yàn)椋?br>所以，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn).
.
題型十：“非對(duì)稱(chēng)”韋達(dá)定理
（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過(guò)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.
【思路分析】
（1）由已知可得關(guān)于，，的方程組，從而可得，的值，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點(diǎn)的斜率公式表示出和，作比，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【規(guī)范解答】
（1）由，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，
，
，記，，
則，
由題意知和．則，，
則，
所以．
1．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線、斜率乘積為，焦距為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)以及整體代換法求得結(jié)果；
（2）設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再表示，結(jié)合韋達(dá)定理求出結(jié)果.
【解析】（1）設(shè)，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距為，可得，則，
結(jié)合，∴，，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）如圖，由（1）知，，設(shè)，．
因?yàn)椴慌c重合，所以可設(shè)直線．
聯(lián)立，消得：，
故，，
，，，
∴．
2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓的右焦點(diǎn)，三點(diǎn)，，中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左右端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不同于），求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，
【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)，在橢圓上，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組，求出，，求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，，，得到兩根之和，兩根之積，由和共線得到方程組，聯(lián)立后得到，求出，得到交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線的方程.
【解析】（1）因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，所以①,
由對(duì)稱(chēng)性得，點(diǎn)，在橢圓上，代入得②,
聯(lián)立①②解得，，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，
則，，，
由（1）可得，，
由共線得：③，
由共線得：④，
由③÷④消去并整理得，，
即，所以，
綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
1．（2024·云南昆明·昆明一中校聯(lián)考一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)等于，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，進(jìn)而求得，得出中垂線的方程，求得，再由弦長(zhǎng)公式求得，即可求解.
【解析】（1）橢圓：的短軸長(zhǎng)等于，離心率
可得，，解得，所以橢圓的方程為
（2）由橢圓的方程，可得右焦點(diǎn)，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)被軸垂直平分，不符合題意；
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，；
直線斜率存在且不為0時(shí)，
設(shè)直線的方程為，，中點(diǎn)為，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，
所以，則，
即，則中垂線的方程為，
令，可得，所以，
又由，
所以（定值）；
綜上所述，為定值.
2．（2024·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，左右頂點(diǎn)分別為A，B，G為C的上頂點(diǎn)，且的面積為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與C交于M，N兩點(diǎn).證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及的面積，列出關(guān)于的方程，求出，即可得答案；
（2）設(shè)，設(shè)方程為，方程為，
分別聯(lián)立橢圓方程，求出的表達(dá)式，結(jié)合化簡(jiǎn)可得的關(guān)系式，結(jié)合，的方程，即可求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證明結(jié)論.
【解析】（1）由題意知橢圓的離心率為，
即，則；
又，聯(lián)立解得，
故橢圓C的方程為；
（2）證明：由（1）知，設(shè)，
結(jié)合題意知直線與斜率存在，設(shè)方程為，方程為，
聯(lián)立，得，，
則，故，則；
聯(lián)立，得，，
故，則，
由題意知，M，N三點(diǎn)共線且MN斜率存在，故，
故，化簡(jiǎn)得，
若，則，此時(shí)，
則重合（直線和x軸不平行且不和點(diǎn)重合），不合題意；
故，
則方程為，方程為，聯(lián)立解得，
即直線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.
3．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）由右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離以及通徑長(zhǎng)度，結(jié)合之間的平方關(guān)系即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理得，用以及的坐標(biāo)表示出點(diǎn)以及的方程，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，只需在的直線方程中，令，證明相應(yīng)的為定值即可求解.
【解析】（1）由題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，設(shè)直線的方程為，，
，
所以，
直線的方程為：，
所以的方程為，
由對(duì)稱(chēng)性可知過(guò)的定點(diǎn)一定在軸上，
令
，
又，
所以，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
4．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)，斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn).
（1）求雙曲線的方程；
（2）證明：為直角三角形；
（3）若過(guò)曲線上一點(diǎn)作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)差法計(jì)算即可得；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得與、兩點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算即可得為直角三角形；
（3）設(shè)直線方程為：，，，，結(jié)合題意計(jì)算可得，又，，可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可得與兩點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)可得，結(jié)合面積公式計(jì)算即可用表示該三角形面積，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性即可得面積范圍.
【解析】（1）設(shè)，，則，，
，兩點(diǎn)在雙曲線上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，雙曲線的方程為：；
（2）由已知可得，直線的方程為：，即，
聯(lián)立，，
則，，
，
，為直角三角形；
（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，
故設(shè)直線方程為：，
設(shè)，，，
，，
，
點(diǎn)在雙曲線上，，
，
③，
又，，
，④，
聯(lián)立，
，
⑤，⑥，
，分別在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
將⑤⑥代入⑦得：，
，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，.
5．（2023·全國(guó)·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，垂直于軸的直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求p；
（2）已知，過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，與直線分別交于兩點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意求出，然后帶入計(jì)算即可；
（2）將轉(zhuǎn)化為，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式證明即可.
【解析】（1）垂直于軸的直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)
得的方程為．又，
不妨設(shè)，代入拋物線，解得．
（2）①當(dāng)直線中有一條直線斜率不存在時(shí)，
不妨設(shè)直線的斜率不存在，則，此時(shí)直線的斜率為0．
，．
②當(dāng)直線斜率均存在時(shí)，
記直線斜率為，直線斜率為到直線的距離為，
到直線的距離為，
設(shè)，則，
．
由,得，則，
．
因?yàn)椋?br>同理，，
即,所以≌，則．
6．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）己知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0．
（1）求E的方程；
（2）直線分別交直線于兩點(diǎn)，若，求k的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，將直線FA，F(xiàn)B的斜率之和坐標(biāo)化，利用韋達(dá)定理代入整理求解系數(shù)；
（2）由直線方程，令，用表示坐標(biāo)，代入利用志達(dá)定理將條件轉(zhuǎn)化為的不等關(guān)系，求解不等式即得.
【解析】（1）由，得，設(shè)直線與拋物線線交點(diǎn)，
的斜率，的斜率，
由已知直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，
則
①，
聯(lián)立方程組，消得，
由，且，得，則.
由韋達(dá)定理得，代入①化簡(jiǎn)得，
由，解得，故拋物線E的方程為；
（2）由（1）知，焦點(diǎn)，則，，
令，得，
故，解得，
又，
由（1）知，，代入②式得，
，
且，解得，則，或，
故的取值范圍為.
7．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：（）的離心率為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求在上的射影的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由題目條件列出方程組，求出參數(shù)的值，得橢圓的方程；
（2）分直線l斜率是否存在兩種情況討論，與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)直線和的斜率之積建立參數(shù)的關(guān)系式，得直線l過(guò)定點(diǎn)，得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除去點(diǎn)），建立點(diǎn)H的軌跡方程.
【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)l：，，，
與橢圓方程聯(lián)立，，得，
，，，
因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，
所以，
得，即，所以或，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與A重合，舍去，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，l：，此時(shí)，，滿足條件，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除去點(diǎn)），圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
8．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，分別為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).證明：三點(diǎn)共線.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意得，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.
（2）由題意不妨設(shè)，則，將直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得點(diǎn)坐標(biāo)，要證三點(diǎn)共線，只需證明即可，在化簡(jiǎn)時(shí)注意利用，由此即可順利得證.
【解析】（1）由題意，
所以，所以橢圓的方程為.
（2）由題意不妨設(shè)，
其中，即，
則，且直線的方程為，
將其與橢圓方程聯(lián)立得，
消去并化簡(jiǎn)整理得，
由韋達(dá)定理有，
所以，，
即點(diǎn)，
而，
，
所以三點(diǎn)共線.
9．（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為1.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且都在軸的上方，點(diǎn)的坐標(biāo)為.證明：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)于的方程組，求解得出的值，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得出一元二次方程.設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而表示出，求和化簡(jiǎn)推得，轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，即可得出證明.
【解析】（1）依題意得解得，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由已知，直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交與不同的兩點(diǎn)，
且都在軸上方可得，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線方程為.
聯(lián)立方程，可得.
計(jì)算，
可得，且.
設(shè)，
由韋達(dá)定理可得.
又，
所以，
.
因?yàn)椋?br>所以，，.
，，
所以，，.
10．（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知A，B分別為E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線l與E交于C、D兩點(diǎn)，證明：直線AC與直線BD的交點(diǎn)M在定直線上．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于，的方程組，從而得解；
（2）設(shè)出C、D、M點(diǎn)的坐標(biāo)，直線和橢圓聯(lián)立方程組，得出韋達(dá)定理，聯(lián)立直線AC與直線BD，求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，將韋達(dá)定理代入求解可得.
【解析】（1）因?yàn)闄E圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為
所以，解得，，
橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）設(shè)直線，記，，
聯(lián)立直線和橢圓方程，
化簡(jiǎn)整理得，，
恒成立，
由韋達(dá)定理得，，
記、，，
因?yàn)橹本€：，：，
所以，
兩式相除，得
，解得，
所以直線與直線的交點(diǎn)M在定直線上．
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；
（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.
【解析】（1）依題意，得，則，
又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，
所以，即，則，
所以橢圓的方程為.
（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，
因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，
易得，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即，
而，則直線的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，
顯然，與不重合，所以.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；
（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．
【解析】（1）設(shè)，
由可得，，所以，
所以，
即，因?yàn)?，解得：?br>（2）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，
由可得，，所以，，
，
因?yàn)椋裕?br>即，
亦即，
將代入得，，，
所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，
所以，當(dāng)時(shí)，的面積．
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.
【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)?，則直線，
令，解得，即，同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).
4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為；（2）.
【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.
（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.
【解析】（1）如圖，
由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去整理得：，
由韋達(dá)定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，解得，
所以直線的方程為.
5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.
法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.
法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式即可證明.
【解析】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，
易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，
則,令，
同理令，且，則，
設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，
則，
易知，則令,
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，故,即.
當(dāng)時(shí),,且，
即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.
法二：不妨設(shè)在上，且，
依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，
直線的方程為，
則聯(lián)立得，
，則，則，
同理，
令，則，設(shè)，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，，
但，
此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.
法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問(wèn)題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.
設(shè) , 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè) .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且介于之間,
則 . 令 ,
,則，
從而
故
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng) 時(shí),由于,從而,
從而又，故，
由此
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.
6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
（1）求C的方程；
（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由（1）可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；
（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.
【解析】（1）右焦點(diǎn)為，∴,
∵漸近線方程為，∴，∴，
∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，
假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知在軸上，
即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,
則,
設(shè)，則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，
,即，即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：，解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③：由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；
（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得，即雙曲線．
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，
且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡(jiǎn)得，，即，所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化
不妨設(shè)直線的傾斜角為，
因?yàn)椋?，由?）知，，
當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，
即，解得（負(fù)值舍去）
此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，
因?yàn)椋?，即?br>即，解得（負(fù)值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，
同理可得，，．
所以，，點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.
求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).
②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得顯然成立，
綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)
10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，
所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡(jiǎn)得，
反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
求最值及問(wèn)題常用的兩種方法：
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決；
（2）代數(shù)法：題中所給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等。
圓錐曲線的取范圍問(wèn)題
1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
4、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
圓錐曲線的定值問(wèn)題
（1）解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量（線段長(zhǎng)度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，
求定值問(wèn)題常見(jiàn)的解題方法有兩種：
法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān)；
法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去參數(shù)，從而得到定值。
（2）直接法解題步驟
第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：或、點(diǎn)的坐標(biāo)；
第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過(guò)題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長(zhǎng)、距離等）用引入的變量表示出來(lái)；
第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)得出目標(biāo)量與引入的變量無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。
圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題
1、參數(shù)無(wú)關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)。
2、特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線、動(dòng)曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)。
3、關(guān)系法：對(duì)滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)直線（或曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或曲線），然后再利用直線（或曲線）過(guò)定點(diǎn)的知識(shí)求解。
解決圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線問(wèn)題的解題步驟：
1、聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對(duì)稱(chēng)性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；3、將動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù)；4、設(shè)點(diǎn)，將方程變形解出定直線方程。
求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常見(jiàn)方法：
（1）定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件待定方程中的參數(shù)，即可求得軌跡方程；
（2）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足的等量關(guān)系容易建立，則可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系，即可得軌跡方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知（坐標(biāo)滿足某已知的曲線方程），則用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到點(diǎn)的軌跡方程；
（4）交軌消參法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程.
角度關(guān)系的證明往往轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題或坐標(biāo)問(wèn)題，其中角相等問(wèn)題優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)為斜率之和為零處理，或考慮用向量進(jìn)行計(jì)算。
三點(diǎn)共線問(wèn)題證明的解題策略一般有以下幾種：
（1）斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等來(lái)證明三點(diǎn)共線；
（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；
（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；
（4）直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第三點(diǎn)也在該直線上；
（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線；
（6）面積法：通過(guò)計(jì)算求出以三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”。
圓錐曲線存在性問(wèn)題的解題技巧：
1、特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立；
2、假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論。若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在。
將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)鍵方程（設(shè)方程的兩根和），在某些問(wèn)題中，可能會(huì)涉及到需計(jì)算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式。例如，運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)了、等結(jié)構(gòu)，且無(wú)法直接通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)化為系數(shù)相同的情況處理，像這種非對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，通常是無(wú)法根據(jù)偉大定理直接求出的，此時(shí)一般的處理技巧是抓住和的關(guān)系將兩根積向兩根和轉(zhuǎn)化，通過(guò)局部計(jì)算、整體約分的方法解決問(wèn)題。

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