立體幾何是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在大題中一般分兩問，第一問考查空間直線與平面的位置關(guān)系證明；第二問考查空間角、空間距離等的求解?？碱}難度中等，常結(jié)合空間向量知識進(jìn)行考查。2024年高考有很大可能延續(xù)往年的出題方式。
題型一：空間異面直線夾角的求解
（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，求異面直線與所成的角的大小.
1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺中，分別是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，且正四棱臺的側(cè)面積為9，其內(nèi)切球半徑為，為的中心，求異面直線與所成角的余弦值.
2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）點(diǎn)F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．
題型二：空間直線與平面夾角的求解
（2024·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱臺中，，，．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
2．（2024·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．
（1）求證：；
（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．
題型三：空間平面與平面夾角的求解
（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，，，，平面平面．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
1．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長方中，，E為的中點(diǎn)，.
（1）求的長；
（2）求二面角的余弦值.
2．（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形.
（1）證明：.
（2）若，求二面角的余弦值.
題型四：空間點(diǎn)、線、面間的距離求解
（2024·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
（1）證明：平面；
（2）已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．
1．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).
（1）證明：平面.
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面間的距離.
題型五：空間幾何體的體積求解
（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四面體中，
（1）證明：
（2）若，求四面體的體積
1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）如圖所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，異面直線與所成角為45°.

（1）求證：平面平面；
（2）若點(diǎn)在上，當(dāng)面積最小時(shí)，求三棱錐的體積.
2．（2023·天津西青·西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，，，四邊形為正方形，平面平面，為的中點(diǎn)，，垂足為．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的正切值；
（3）求三棱錐的體積．
題型六：空間幾何體的翻折問題
（2024·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，．沿對角線折起，形成一個(gè)四面體，且．
（1）是否存在，使得，同時(shí)成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（2）求當(dāng)二面角的正弦值為多少時(shí)，四面體的體積最大．
1．（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，連接對角線，，，，將三角形沿折起，連接，得四棱錐（如圖2），且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.
（1）求證：平面平面；
（2）若平面和平面的夾角的余弦值為，求線段的長.
2．（2023·河北衡水·高三衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖②.
（1）設(shè)平面平面，證明：平面；
（2）若是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面所成的銳二面角的正切值為，求該截面將四棱錐分成上下兩部分的體積之比.
題型七：空間動(dòng)點(diǎn)存在性問題的探究
（2024·上海黃浦·高三大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面PEB？請說明理由
1．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知三棱柱中，，，且，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面的所成角為60°.如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由.
2．（2024·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若
（1）求與平面所成角的正切值；
（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.
（1）證明：平面.
（2）若，求三棱錐的體積.
2．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐中，，，．
（1）證明：；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
3．（2024·吉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，高為，O，E分別為底面的中心和的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．
4．（2024·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）邊BC上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段BM的長；若不存在，請說明理由．
5．（2024·北京·高三北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，，，，，，．
（1）求證：⊥；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求出的值，使得，且到平面距離為．
6．（2023·遼寧大連·高三育明高中?？计谥校┤鐖D，在中，，，，．將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．
（1）請?jiān)诖痤}紙的圖中作出平面與平面的交線，并指出這條直線（不必寫出作圖過程）；
（2）證明：平面平面；
（3）若直線和直線所成角的大小為，求四棱錐的體積．
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．
（1）求證：平面PAB；
（2）求二面角的大?。?br>2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
（1）求證：//平面；
（2）若，求三棱錐的體積．
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，求四棱錐的高．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．
（1）證明：；
（2）已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
6．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱臺中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：//平面；
（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
1、求異面直線所成角一般步驟：
（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．
（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．
（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．
2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：
（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；
（2）中位線平移法；
（3）補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．
3、異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
1、垂線法求線面角（也稱直接法）：
（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；
（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；
（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求線面角（也稱等體積法）：
用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。
公式為：sinθ=hl，其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長。
方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，
平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對于無棱二面角的求解很簡便。
4、直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.
1、幾何法
（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．
（2）三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角
（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面積法求二面角
2、向量法：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
1、幾何法求點(diǎn)面距
1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；
2、等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；
3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．
2、向量法求空間距離：
（1）點(diǎn)面距：已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為
（2）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
（3）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。
1、處理空間幾何體體積的基本思路
（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；
（2）拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；
（3）拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘一個(gè)四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。
2、求體積的常用方法
（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；
（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；
（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換
翻折問題的兩個(gè)解題策略
1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決
2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算
借助于空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組．若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對象不存在．

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