數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)之一，其中等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，以遞堆數(shù)列為命題背景考查等差(比)數(shù)列的證明方法，以及等差（比）數(shù)列有關(guān)的錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求和是考查的重點(diǎn)內(nèi)容。有時(shí)也會(huì)結(jié)合不等式進(jìn)行綜合考查，此時(shí)難度較大。
題型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列證明
（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，.
（1）求，；
（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．
2．（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
題型二：分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
1．（2024·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）若數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求．
2．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.等比數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
題型三：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
1．（2024·四川·高三校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
（2）令，求的前9項(xiàng)之和．
題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
1．（2024·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列，
（1）求；
（2）設(shè)，若存在數(shù)列滿足，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．
2．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型五：數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題
（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是和的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知為等比數(shù)列，且為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求證：.
題型六：數(shù)列中的探究問(wèn)題
（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列與數(shù)列滿足下列條件：①，；②，；③，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組，，，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若，求的最大值.
2．（2024·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：.
（1）設(shè)，試證明為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，試證明；
（3）設(shè)，是否存在使得為整數(shù)？如果存在，則求出應(yīng)滿足的條件；若不存在，請(qǐng)給出理由.
1．（2024·安徽六安·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和
4．（2024·河北·高三高碑店一中校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求
5．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求；
（2）已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．
6．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．問(wèn)：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．
4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是等差數(shù)列，．
（1）求的通項(xiàng)公式和．
（2）設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）若，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．
8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
（1）若，求；
（2）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
10．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
（3）求．
判斷數(shù)列是否為等差貨等比數(shù)列的策略
1、將所給的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進(jìn)行判斷；
2、若要判斷一個(gè)不是等差（等比）數(shù)列，則只需說(shuō)明某連續(xù)三項(xiàng)（如前三項(xiàng)）不是等差（等比）數(shù)列即可。
1、適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．
2、常見(jiàn)類型：
（1）分組轉(zhuǎn)化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列：
（2）奇偶并項(xiàng)求和：通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列。
1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律
（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)．
2、裂項(xiàng)相消法中常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1、解題步驟
2、注意解題“3關(guān)鍵”
①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．
②在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．
3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．
①
②
得：．
整理得：.
數(shù)列與不等式是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其綜合的角度主要包括兩個(gè)方面：
一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問(wèn)題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)求解；
二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。
數(shù)列中的探究性問(wèn)題實(shí)際上就是不定方程解的問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來(lái)加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行求解；③通過(guò)求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來(lái)加以求解．對(duì)于研究不定方程的解的問(wèn)題，也可以運(yùn)用反證法，反證法證明命題的基本步驟：
①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時(shí)要注意把結(jié)論的所有反面都要寫(xiě)出來(lái)，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過(guò)正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．

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