數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)之一，其中等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，以遞堆數(shù)列為命題背景考查等差(比)數(shù)列的證明方法，以及等差（比）數(shù)列有關(guān)的錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求和是考查的重點(diǎn)內(nèi)容。有時(shí)也會(huì)結(jié)合不等式進(jìn)行綜合考查，此時(shí)難度較大。
題型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列證明
（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，.
（1）求，；
（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.
【答案】（1）；（2），是等比數(shù)列
【思路分析】
（1）分別令，，計(jì)算可得所求值；
（2）利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，得解．
【規(guī)范解答】
（1），
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，，…，，
將以上各式相加得
.
因?yàn)椋裕?br>又也滿足，所以，
所以，
所以是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為2.
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）在中令，得成等比數(shù)列，結(jié)合即可得解.
（2）由等比數(shù)列定義結(jié)合已知即可得證.
【解析】（1）令，則，即，
成等比數(shù)列，則公比為．
，
即．
（2），
兩式相除得，即①，由①得②，
②÷①得，即，
即，由（1）知，
數(shù)列是等比數(shù)列．
2．（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）借助與的關(guān)系消去后化簡(jiǎn)可得，即可得證；
（2）計(jì)算出后再次借助與的關(guān)系計(jì)算即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）由已知，令，解得，
又，
則，則，則，
則，則，即，
又，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知，，
故，則，
由（1）可知，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，可得．
題型二：分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·貴州貴陽·貴陽一中校考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【思路分析】
（1）根據(jù)求解即可；
（2）利用分組求和法求解即可.
【規(guī)范解答】
（1）由，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以數(shù)列是從第二項(xiàng)開始以為公比的等比數(shù)列，所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，
則，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，上式成立，
所以.
1．（2024·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）若數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，設(shè)、，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別求出、，相加可得.
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，，
則，
因?yàn)?，且?br>所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，則.
（2）由（1）可得，
所以，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，
則；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則.
綜上所述，.
因?yàn)椋?br>，
所以，.
2．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.等比數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）（或）
【分析】（1）根據(jù)題意分別求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，以及數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可得出答案；
（2）利用并項(xiàng)求和法求解即可.
【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，又，
所以解得，
故，
因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為，且，
因?yàn)?，所以，得?br>又，所以，即，
又，解得，從而，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
（或）.
題型三：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【思路分析】
（1）由之間的關(guān)系即，時(shí)，即可求解.
（2）由裂項(xiàng)相消法即可求解.
【規(guī)范解答】
（1）由題意，
當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，
所以.
（2）由題意，
所以.
1．（2024·四川·高三校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)計(jì)算基本量即可求通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【解析】（1）設(shè)的公差為，則，解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
2．（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
（2）令，求的前9項(xiàng)之和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，得到，兩式相減，整理得到，得到數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項(xiàng)法去和，即可求解.
【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，可得，
兩式相減可得，
所以，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)椋獾茫?br>所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得.
（2）由（1）知，
可得，
所以．
題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【思路分析】
（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，用替換，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【規(guī)范解答】
（1）當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，由，得，
則，則，
因?yàn)橐卜仙鲜?，所以?br>（2）由（1）可知，，
則，
則，
兩式相減得，則．
1．（2024·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列，
（1）求；
（2）設(shè)，若存在數(shù)列滿足，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)列方程解出公差，再由基本量法寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由已知和等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再由錯(cuò)位相減法和等差數(shù)列的前和公式共同求出結(jié)果.
【解析】（1）∵是等差數(shù)列，，，∴，．
∵，，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，
化簡(jiǎn)可得，∴，所以．
（2）∵，，，
又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，∴，
而，∴，∴，
所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則①，
②，
①②相減得，
化簡(jiǎn)可得
又因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，
綜上可得．
2．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用與的關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（2）錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
又因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，，所以，
因?yàn)棰伲?br>所以②，
由①-②得：，
所以．
題型五：數(shù)列與不等式綜合問題
（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.
【思路分析】
（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；
（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)椋?br>所以，
作差可得，變形為，
即，即，化簡(jiǎn)為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)椋?br>所以，，
作差可得，
所以，
，
設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，
又，故在是減函數(shù)，
，
所以當(dāng)時(shí)，.
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是和的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由求解；
（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求得，將對(duì)任意，都有恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立求解.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，又，
代入得，即，
所以，即，解得或，
又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以．
（2）由（1）知,
①，
②，
得,
．由得,
對(duì)任意恒成立．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，,即,則，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
2．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知為等比數(shù)列，且為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）由的定義，可得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)；
（2）利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證.
【解析】（1）由，所以，故數(shù)列的公比為3，
所以，故而，所以.
（2）證明：由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，且，
所以
，
綜上，.
題型六：數(shù)列中的探究問題
（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路分析】
（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將，代入構(gòu)造方程組解得，，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)存在，，成等比數(shù)列，由，，成等差數(shù)列可得，且，解得，與已知矛盾，因此不存在這樣的3項(xiàng).
【規(guī)范解答】
（1）由題意知當(dāng)時(shí)，①
當(dāng)時(shí)，②
聯(lián)立①②，解得，；
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
所以，即；
又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
所以，化簡(jiǎn)得，即；
又，所以與已知矛盾；
所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列．
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列與數(shù)列滿足下列條件：①，；②，；③，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一組，，，；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）.
【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得；（2）假定存在，分兩種情況討論即得.
（3）設(shè)，分析出，再求出的最大值即可.
【解析】（1）由，得，由，得，
由，得，所以.
（2）不存在.
假設(shè)存在，設(shè)公比為，
若，則，公比，矛盾，
若，則，公比，矛盾，
因此假設(shè)不成立，所以不存在.
（3）依題意，，且，，
設(shè)，則，得，
于是，顯然的值從大到小依次為，
若，則且，當(dāng)數(shù)列為或，可以取得，
顯然當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，則，
，
從而
，又，
所以.
2．（2024·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：.
（1）設(shè)，試證明為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，試證明；
（3）設(shè)，是否存在使得為整數(shù)？如果存在，則求出應(yīng)滿足的條件；若不存在，請(qǐng)給出理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，
【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得，即，從而可求解；（2）由（2）可得利用放縮可得，從而可求解.
（3）由（1）可得，然后分情況討論，，時(shí)是否能使為整數(shù)，從而求解.
【解析】（1）由題可知，，
則，即，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
（2），
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（3），
當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)；
當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)
當(dāng)時(shí)，必定為整數(shù)，
故只需要考慮是否為整數(shù)即可.
又因?yàn)?br>故只需要為整數(shù)即可，則.
綜上所述，.
1．（2024·安徽六安·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)作差得到，即可得證；
（2）由（1）可得，則，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得，
由得，
兩式作差得，
即，則，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，
又，
所以，
所以
.
2．（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；
（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【解析】（1）由，可得，又，
故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
3．（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】（1）證明見解析，；（2）
【分析】（1）利用定義法判斷等比數(shù)列并求解通項(xiàng)公式即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
（2）因?yàn)椋?，故?br>所以，
令，則，
所以，
，
所以
，所以
4．（2024·河北·高三高碑店一中校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得到，從而得到從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）得到，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.再利用分組求和、錯(cuò)位相減求和即可得到答案.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則.
當(dāng)時(shí)，由，
得，
則，則.
因?yàn)?，所以從?項(xiàng)起成等比數(shù)列，.
（2），當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
.
，
則，
則，
，
則，
則.
5．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求；
（2）已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解；（2）由題意首項(xiàng)得，進(jìn)一步有通過等比數(shù)列求和將原問題轉(zhuǎn)換為求不等式的正整數(shù)解集.
【解析】（1）①
②
②-①得，，得．
當(dāng)時(shí)，①式為，得，也滿足上式．
，數(shù)列是等差數(shù)列，所以．
（2），則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，
又，得，
得．
令，即，即．
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，（*）式滿足要求．
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，式不成立．
使得成立的的取值范圍是．
6．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．問：是否存在，使得，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析
【分析】（1）由題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出的表達(dá)式，由此可得到的表達(dá)式，結(jié)合二項(xiàng)式定理說明，即可得結(jié)論.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由，取，得，即，
由，得，即，解得，
則．
（2）由（1）得，故，
即，
則，
兩式相減，得到
即．
則，
因?yàn)椋?br>，
即，
所以，故不存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因?yàn)椋?br>令，解得，且，
當(dāng)時(shí)，則，可得；
當(dāng)時(shí)，則，可得
；
綜上所述：.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，即，．
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【解析】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，即，
所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是等差數(shù)列，．
（1）求的通項(xiàng)公式和．
（2）設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
【答案】（1），；（2）(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.
【分析】（1）由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
（2）(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時(shí)，，
取，當(dāng)時(shí)，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前項(xiàng)和.
【解析】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，
取，則，即，
當(dāng)時(shí)，，
取，此時(shí)，
據(jù)此可得，綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為：.
5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）若，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；
（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.
【解析】（1），，解得，
，
又，，
即，解得或（舍去），.
（2）為等差數(shù)列，，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
，即，解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，.
6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此，所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，
則
顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，
即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，
即，亦即，解得，
所以滿足等式的解，
故集合中的元素個(gè)數(shù)為．
8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
（1）若，求；
（2）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；
（2）由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
（2）因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又，所以
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【答案】（1）；（2）見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，整理得：，即,
∴，
顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
10．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
（3）求．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；
（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.
【解析】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因?yàn)樗砸C，
即證，即證，即證，
而顯然成立，所以；
（3）因?yàn)?br>，
所以，
設(shè)
所以，
則，
作差得，
所以，所以.
判斷數(shù)列是否為等差貨等比數(shù)列的策略
1、將所給的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進(jìn)行判斷；
2、若要判斷一個(gè)不是等差（等比）數(shù)列，則只需說明某連續(xù)三項(xiàng)（如前三項(xiàng)）不是等差（等比）數(shù)列即可。
1、適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．
2、常見類型：
（1）分組轉(zhuǎn)化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列：
（2）奇偶并項(xiàng)求和：通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列。
1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律
（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．
2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1、解題步驟
2、注意解題“3關(guān)鍵”
①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．
3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．
①
②
得：．
整理得：.
數(shù)列與不等式是高考的熱點(diǎn)問題，其綜合的角度主要包括兩個(gè)方面：
一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來求解；
二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。
數(shù)列中的探究性問題實(shí)際上就是不定方程解的問題，對(duì)于此類問題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來進(jìn)行求解；③通過求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來加以求解．對(duì)于研究不定方程的解的問題，也可以運(yùn)用反證法，反證法證明命題的基本步驟：
①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時(shí)要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．

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