函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。從近幾年的高考情況來(lái)看，在大題中考查內(nèi)容主要有主要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式及函數(shù)零點(diǎn)等內(nèi)容。此類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。
題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為.
（1）求，的值；
（2）證明：在上單調(diào)遞增.
【思路分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得即可；
（2）令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即可得證.
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)椋?br>所以，
依題意可得，即，解得.
（2）由（1）可得，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增.
1．（2024·安徽六安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與x軸平行，求函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求斜率最后寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（2）分類(lèi)討論列表根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性.
【解析】（1）.
由題意，解得，
所以，，
在處的切線(xiàn)方程為
（2）.
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，由得，在上的變化情況如下表：
由上表可得在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為.
2．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知.
（1）求在處的切線(xiàn)方程；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，
【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出處的導(dǎo)數(shù)值即切線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求出其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足不等式的解集即可.
【解析】（1）由于，
其導(dǎo)函數(shù)為：，得：，，
所以在處的切線(xiàn)方程為：，即；
（2）由于，
得：，
若，則，即，
由于，則，
只需即可，解得，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.
題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極大值.
【思路分析】
（1）設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值即可.
【規(guī)范解答】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，
切線(xiàn)方程為，
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，于是，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，設(shè)，求導(dǎo)得，
令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
于是，又，
則存在，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以存在唯一極大值.
1．（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，
則，而，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
②若，即，由，得或，由，得，
則函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；
③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，
函數(shù)無(wú)極值，不合題意，
所以的取值范圍為.
2．（2022·河南·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中常數(shù).
（1）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，設(shè)，求證：函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由在上是增函數(shù)，得在上恒成立，分離參數(shù)可得，
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；
（2）要證函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需證在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的零點(diǎn)即可.
【解析】（1）因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
所以在上恒成立，即恒成立，只需，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，所以，解得.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）要證函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
只需證在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
由題意，當(dāng)時(shí)，，則，
令，則，
由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，，?br>所以存在，，使得，，
所以是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
即在上有兩個(gè)極值點(diǎn).
題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
（2024·江蘇泰州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【思路分析】
（1）代入求出切點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程求出；
（2）求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最值即可.
【規(guī)范解答】
（1）切點(diǎn)，，．
切線(xiàn)過(guò)，
∴，∴．
（2），，
，或3，
則當(dāng)或時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
在上為減，在為增，
，，∴．
1．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在處取值得極大值．
（1）求的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗(yàn)證是否符合題意即可；
（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.
【解析】（1）由已知
令得或，
當(dāng)時(shí)，令得或，令得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，
與函數(shù)在處取值得極大值不符；
當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；
所以；
（2）由（1）得，，
令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，
令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以.
2．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）若的最小值為1，求a．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）通過(guò)運(yùn)算得即可得解.
（2）對(duì)分類(lèi)討論，首先得滿(mǎn)足題意，進(jìn)一步分、以及分類(lèi)討論即可求解.
【解析】（1），
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，即．
（2），
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，且，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以．所以成立，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，舍去．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，舍去；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，舍去，
綜上，．
題型四：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立
（2024·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【思路分析】
（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線(xiàn)方程，
（2）分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可求解.
【規(guī)范解答】
（1）時(shí)，，則，
，故，
所以直線(xiàn)方程為，即；
（2），當(dāng)時(shí)，的最大值為，
對(duì)于恒成立，則，
即，，當(dāng)時(shí)，不等式成立，
當(dāng)，即對(duì)于恒成立，
令，則，
于是當(dāng)時(shí)， ，遞增；在，，遞減，
， 因此
的取值范圍為
1．（2023·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）1.
【分析】（1）先求導(dǎo)得到含參的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論即可.
（2）先進(jìn)行參分，得到參數(shù)恒成立問(wèn)題，然后通過(guò)求導(dǎo)得到新函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性得到最值即可.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）存在，使得，即存在，使得，
則存在，使得，
令，則恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，有恒成立，
因此，即，
令，
求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，
則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，即當(dāng)時(shí)，恒成立，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，即實(shí)數(shù)的最小值為．
2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，得出函數(shù)的單調(diào)性，證得，令，得到在上單調(diào)遞增，求得，結(jié)合，得到，進(jìn)而得到答案.
【解析】（1）由函數(shù)，可得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，
令，則在上恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，
因?yàn)?，可得，所以，所以?br>綜上，當(dāng)時(shí)，，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以要使成立，則，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型五：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)
（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為．
（1）求，的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間，并證明在上沒(méi)有零點(diǎn)．
【思路分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，解得即可；
（2）由（1）可得，求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在上沒(méi)有零點(diǎn).
【規(guī)范解答】
（1）因?yàn)椋裕?br>由題意知，解得.
（2）由（1）可得定義域?yàn)椋?br>又，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，
在上沒(méi)有零點(diǎn)．
1．（2024·湖北襄陽(yáng)·高三棗陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．
（1）求單調(diào)性；
（2）求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減；（2）2個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）求定義域，二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，從而求出的單調(diào)性；
（2）得到的定義域，求導(dǎo)，分，和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，隱零點(diǎn)，零點(diǎn)存在性定理等得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，也是最大值，
又，故恒成立，
則在上單調(diào)遞減；
（2），定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，
，，
故存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又，，，
由（1）知，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
又當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于，
由零點(diǎn)存在性定理得在和上，各存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，恒成立，此時(shí)恒成立，
故在恒成立，故此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，則在上單調(diào)遞減，
其中，
由于，故，所以，
故時(shí)，，
綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和值域，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>令，解得；令，解得，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
且當(dāng)以及時(shí)， ，
故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求證：.
【思路分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后討論其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故可證題設(shè)中的不等式.
【規(guī)范解答】
（1）由題意得，，，
令，解得；令，解得，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)有極小值，無(wú)極大值，極小值為.
（2）令，則，
設(shè)，則.
令，解得；令，解得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，∴，
∴，∴在上單調(diào)遞增.
又，∴當(dāng)時(shí)，，，∴；
當(dāng)時(shí)，，，∴.
綜上所述，.
1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）求證：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可證明.
【解析】（1）因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為.
又，所以，所以切線(xiàn)為.
（2）要證，只需證：，即證：.
令，，所以，，
令，解得.
所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).
所以，所以恒成立，所以.
2．（2024·山東濟(jì)寧·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知，當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性即得；
（2）先將求證式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化成（對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友），再構(gòu)造函數(shù)
，證明在上恒成立即得.
【解析】（1）依題，的定義域?yàn)?
，由得，
列表如下，
由表知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，.
要證明，即證，只需證.
令，則.
再令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立，故由可得，
列表如下，
由表知，的最小值為，
所以在上恒成立，故.
題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題
（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）函數(shù)，求的最小值；
（2）若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【思路分析】
（1）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，
（2）根據(jù)，故，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理與不等式的性質(zhì)即可求.
【規(guī)范解答】
（1）由可得，
則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的最小值為，故.
（2）由于為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以也是的兩個(gè)零點(diǎn)，
故，故，，
,
令，
令，則，
當(dāng)時(shí), ,故單調(diào)遞增，
故，則，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，，
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，
故故，
故，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，，
所以.
1．（2024·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，證明：．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)即可得其單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，即可利用韋達(dá)定理結(jié)合題意得到的范圍，并將中的變量替換成，再借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證.
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?br>令，得或，
時(shí)，，時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2），
由在上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
故有兩個(gè)不同的正根，則有，解得，
因?yàn)?br>，
設(shè)，，
則，故在上單調(diào)遞增，
又，
故．
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，同理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，從而求出答案；
（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導(dǎo)，對(duì)分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.
【解析】（1）的定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則需，故，
由題目條件，可得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又?br>故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
又，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
則在R上存在兩個(gè)零點(diǎn)，故滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，
令，則，所以，故，所以，
要證，即證，
即證，
因?yàn)?，即證，即，
令，，，
令，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
所以，令得，
故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
故，即，，，
則，證畢．
題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若方程有兩個(gè)解，求證：.
【思路分析】
（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可.
（2）由（1）求出程的兩個(gè)解與1的大小關(guān)系，再變形要證不等式，結(jié)合的單調(diào)性分析，構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)推理即得.
【規(guī)范解答】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.
（2）由（1）知，函數(shù)在，上的取值集合均為，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，
其中一個(gè)解小于1，一個(gè)解大于1，不妨設(shè)，要證，
即證，而，只證，又，即證，
而，
即證：，亦即，
設(shè)，求導(dǎo)得，
設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
即，而，于是，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，
從而，所以.
1．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．
（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．
（2）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
【答案】（1）；（2）（?。唬╥i）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解；
（2）（?。┰O(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析極值；（ⅱ）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可得，在結(jié)合的單調(diào)性分析證明.
【解析】（1）若，則，，
可得，且，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
（2）（?。┯深}意可知：，
設(shè)，則
令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)上，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得．
且當(dāng)或時(shí)，，
若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
所以的取值范圍為．
（ⅱ）由題意及（?。┲?，存在不同的，使得，
不妨設(shè)，即，則，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，可知在上恒成立，
則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即，
又因?yàn)?，，則，
且在上單調(diào)遞增，可得，即．
2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且的極值點(diǎn)為.
（1）求；
（2）證明：；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解；
（2）由（1）知，要證只需證.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得，即可證明；
（3）由零點(diǎn)的定義可得，由（2），只需證，即證.設(shè)，結(jié)合換元法，只需證，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
【解析】（1）由，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以為的極大值點(diǎn)，即.
（2）由（1）知，，
要證，只需證，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，所以.
（3）因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，
兩式相減并整理，得.
設(shè)，由（2）知，
所以要證，只需證，即證.
設(shè)，下面只需證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，從而，
所以成立，從而.
題型九：隱零點(diǎn)問(wèn)題綜合應(yīng)用
（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．
（1）若，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【思路分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論a的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷是否成立，即可求得答案；
（2）根據(jù)要證明的，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷，使得，結(jié)合單調(diào)性確定，繼而令，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可證明結(jié)論.
【規(guī)范解答】
（1）由題意知，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
而，當(dāng)時(shí)，，與題意不符；
當(dāng)時(shí)，，
由可得，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，在上單調(diào)遞增，
由可得，在上單調(diào)遞減，
故對(duì)于任意的恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
由可得，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不符合題意；
綜合上述，；
（2）證明：要證，即證；
即，則，
令，則，
則，即在上單調(diào)遞增，
又，，
故，使得，即，則，
則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由于，故時(shí)，，
故，即，
即當(dāng)時(shí)，成立.
1．（2024·山東·高三實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)后因式分解，分，，和，求出單調(diào)區(qū)間；
（2），二次求導(dǎo)，分，，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值和隱零點(diǎn)，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）定義域?yàn)椋?br>．①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
④當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.
（2）由題意知，則．
令，則．
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
若，則由，解得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則．
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則．
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
若，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，故，使得．
又，所以當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
所以，使得，則恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．
若，則，顯然當(dāng)時(shí)，，
故，使得．
又，所以當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，使得，
則恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．
綜上所述，的取值范圍為．
2．（2024·廣東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）求得，得到且，求得切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程，即可求解；
（2）轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，求得是增函數(shù)，得到，再令，求得是減函數(shù)，結(jié)合，得到存在，使得，再分和，兩種情況討論，得到，令，所以是增函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合，即可求解.
【解析】（1）由函數(shù)，可得，則且，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.
（2）因?yàn)?，所以，且?br>兩邊平方可得，
令函數(shù)，可得，
令函數(shù)，可得，所以是增函數(shù)，
令，可得，
下面比較與的大?。?br>令函數(shù)，，是減函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，即，
若，可得，即.
若，當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
令函數(shù)，所以是增函數(shù)，
由題意可得，又因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，符合題意.
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型十：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問(wèn)題
（2024·云南昆明·昆明一中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：．
【思路分析】
（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用成立，求出；
（2）由知，將各式累乘得證；
（3）由知，將各式累加得證.
【規(guī)范解答】
（1）由題意知，，，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，對(duì)于任意的，，符合題意；
④當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，，不合題意．
綜上所述，．
（2）由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以，當(dāng)時(shí)，令得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，成立.
（3）由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)時(shí)，令得，所以，
所以，
所以成立.
1．（2024·山西·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)后令，對(duì)與2的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值的關(guān)系即可求解.
（2）由（1）得，進(jìn)而將代入裂項(xiàng)即可得解.
【解析】（1）由題可知.
令，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).
當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，從而恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
又，所以恒成立.
當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，從而恒成立，在單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾，舍去.
綜上所述，的取值范圍為.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
從而，
于是.
2．（2024·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（）.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）證明：.
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）放縮得到，構(gòu)造，得到函數(shù)的奇偶性，二次求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，證明出結(jié)論；
（2）由（1）知，令，且放縮得到，再由得到，從而得到，相加后得到結(jié)論.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
令，，
故為偶函數(shù)，，
令，，
故為奇函數(shù)，其中恒成立，
故在上單調(diào)遞增，其中，故在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
其中，故在上恒成立，
結(jié)合為偶函數(shù)，故在上恒成立，
故在上恒成立；
（2）由（1）知，，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，且，所以，故，
即，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)且時(shí)，，
故，故，即，
所以，
故
.
1．（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（）.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，再求出切線(xiàn)方程；
（2）由于函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的兩個(gè)解為和，所以當(dāng)時(shí)分，，三種情況.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.
，切點(diǎn)為，
，切線(xiàn)斜率
所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為：
（2）由題意，函數(shù)（）的定義域?yàn)椋?br>可得，
①當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，可得在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在遞減，在，遞增；
④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在遞減，在，遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在遞減，在，遞增；
當(dāng)時(shí)，在遞減，在，遞增.
2．（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
（1）若，證明；
（2）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，求得最小值，即可證明；
（2）求得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷的單調(diào)性，即可求得函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，，，
又易知在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
從而.
（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，與同號(hào)，
①當(dāng)時(shí)，，，
所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且，，，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，所以，?br>又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
且，，，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．
3．（2022·河南·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；
（2）若函數(shù)在處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線(xiàn)方程，
（2）求導(dǎo)，分類(lèi)討論的取值，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解極值.
【解析】（1）由題意，，則，
又，故所求的切線(xiàn)方程為．
（2）由題意，，故．
若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值；
若，則令，解得或，
要使函數(shù)在處取到極小值，則需，即，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足條件．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
4．（2024·重慶·高三重慶一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知，．
（1）若在處的切線(xiàn)也與的圖象相切，求的值；
（2）若在恒成立，求的取值集合．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得在處的切線(xiàn)方程，再根據(jù)直線(xiàn)與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)既在曲線(xiàn)上又在切線(xiàn)上，求得的值；
（2）根據(jù)必要性可求得，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，計(jì)算即可求解.
【解析】（1）由已知，則，又，
所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，
又，設(shè)切點(diǎn)為，所以，
所以，解得；
（2）設(shè)，則，
必要性：因?yàn)?，函?shù)在的左右均大于等于，
所以是極值點(diǎn)，所以，所以；
充分性：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，
又，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，所以，
故實(shí)數(shù)的取值集合為.
5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù).
（1）時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）證明：至多只有一個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，得到，進(jìn)而可求出，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；
（2）將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)果.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
所以，又，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）由，得到，整理得到，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則與最多有一個(gè)交點(diǎn)，
即至多只有一個(gè)零點(diǎn)
6．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，
（1）若為上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）依題需使在上恒成立，接著對(duì)的取值分類(lèi)討論，確保條件滿(mǎn)足即得的取值范圍；
（2）借助于一階、二階導(dǎo)數(shù)，就的取值范圍分類(lèi)進(jìn)行分析、討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.
【解析】（1）因?yàn)樯系膯握{(diào)增函數(shù)，故對(duì)恒成立，
①當(dāng)時(shí)，顯然符合；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
③當(dāng)時(shí)，令
則當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
故在上遞減，在上遞增，則，
依題意，需使，即，故得：.
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）
①當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，若，則無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，遞增，注意到
由零點(diǎn)存在定理，在上有唯一的零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上遞增，在上遞減，
時(shí)，時(shí)，遞減，注意到，
則在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減，
注意到，
在和上各有一個(gè)零點(diǎn)
綜上：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn).
7．（2024·甘肅平?jīng)觥ば？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，求證：．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，由和求解；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)法得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，將證，轉(zhuǎn)化為證，再由，轉(zhuǎn)化為證，令，利用導(dǎo)數(shù)法證明即可.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）令，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以不妨設(shè)．
要證，即證，即證．
因?yàn)椋约醋C．
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，從而必有．即．
8．（2023·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值.
【答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）
【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出單調(diào)性；（2）由結(jié)合韋達(dá)定理得出，，進(jìn)而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值即為的最小值.
【解析】（1）若，則.
從而.
令，得或.
當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）.
令，得.
由題意，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根.
所以.
由得.
所以，
將代入，得，
同理可得：.
所以.
令，上式為.
設(shè)，則.
記，則.
記時(shí)，單調(diào)遞增，所以.
所以單調(diào)遞增，.
所以在單調(diào)遞減.
又.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值4，即得最大值為2.
所以的最小值為.
9．（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求證：.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)可得，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論即可討論出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）易知當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及累加法即可得出證明；
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，
易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，
易知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
令可得，即；
，，
累加可得.
10．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：，．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，考慮和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）確定，得到，，，，累加得到答案.
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
故，，， ，，
，
故.
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．
（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線(xiàn)方程即可；
（2）原問(wèn)題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類(lèi)討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿(mǎn)足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意.
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減；（2）
【分析】（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；
（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類(lèi)討論與兩種情況即可得解；
法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類(lèi)討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿(mǎn)足題意，從而得解.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>則
，
令，由于，所以，
所以，
因?yàn)?，，?br>所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.
（2）法一：構(gòu)建，
則，
若，且，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>又，所以，，則，
所以，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，由于，顯然，
所以，滿(mǎn)足題意；
綜上所述：若，等價(jià)于，
所以的取值范圍為.
法二：因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，?br>故在上恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，由于，顯然，
所以，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>令，則，
注意到，
若，，則在上單調(diào)遞增，
注意到，所以，即，不滿(mǎn)足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，
此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，
則在上有，即，不滿(mǎn)足題意；
綜上：.
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;
（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.
【解析】（1）
令,則，則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若，當(dāng)，所以，.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）是否存在a，b，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.
（3）若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）存在滿(mǎn)足題意，理由見(jiàn)解析；（3）.
【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線(xiàn)方程即可；
（2）首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；
（3）原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線(xiàn)放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）令，
函數(shù)的定義域滿(mǎn)足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>定義域關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由題意可得，
由對(duì)稱(chēng)性可知，
取可得，即，則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意，故.
即存在滿(mǎn)足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.
綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.
5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.
【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類(lèi)討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【解析】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，所以；
構(gòu)建，則，
構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若，則，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.
當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，
由（1）可得，
且，所以，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對(duì)恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，且，
則，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
7．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）3個(gè)
【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類(lèi)討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谔幍那芯€(xiàn)方程為，
所以，，
則，解得，所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設(shè)，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，即
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
所以，則單調(diào)遞增，
所以在上無(wú)極值點(diǎn)；
綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，
在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).
8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問(wèn)題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對(duì)作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【解析】（1），則，
所以，故處的切線(xiàn)斜率為；
（2）要證時(shí)，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時(shí).
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因?yàn)椋裕?br>則，
所以，故；
綜上，，即.
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對(duì)任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對(duì)任意的恒成立.
所以對(duì)任意的，有，
整理得到：，
故，
故不等式成立.
10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
所以?xún)H在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)
存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
1、求切線(xiàn)方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線(xiàn)的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.
2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．
3、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：
（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；
（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；
（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。
x
0
0
極大值
極小值
1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟
（1）求導(dǎo)數(shù)；
（2）求方程的所有實(shí)數(shù)根；
（3）觀察在每個(gè)根x0附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化．
①如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值；③如果在的根x＝x0的左右側(cè)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)．
根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：
①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.
函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)最值的步驟為：
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；
（3）實(shí)際問(wèn)題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè)，這便是“最值”點(diǎn)。
對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．
導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類(lèi)問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類(lèi)討論等），需要對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，及分類(lèi)是否全面，都是需要思考的地方。
利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
0
↘
↗
↘
↗
雙變量不等式的處理策略：
含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，
具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.
1、和型（或）問(wèn)題的基本步驟：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，
得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；
2、積型問(wèn)題的基本步驟：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
隱零點(diǎn)的處理思路：
第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類(lèi)問(wèn)題一般至少有兩問(wèn)，已知的不等式常由第一問(wèn)根據(jù)特征式的特征而得到.

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這是一份【三輪沖刺】高考數(shù)學(xué)（大題專(zhuān)練）05 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（原卷版），共17頁(yè)。試卷主要包含了已知函數(shù).，已知.，已知函數(shù)，已知，，設(shè)函數(shù).，設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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