【三輪沖刺】高考數(shù)學(xué)（大題專(zhuān)練）06 概率統(tǒng)計(jì)（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

概率統(tǒng)計(jì)是是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一，概率統(tǒng)計(jì)大題是新高考卷及多省市高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容?；仡櫧鼛啄甑母呖荚囶}，主要考查古典概型、相互獨(dú)立事件、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差等內(nèi)容，多與社會(huì)實(shí)際緊密結(jié)合，以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題，注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用。重點(diǎn)考察考生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力。
題型一：離散型隨機(jī)變量及其分布列
（2023·廣東肇慶·高三廣東肇慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)年級(jí)開(kāi)展了“我們的元宵節(jié)”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有個(gè)人賽和團(tuán)體賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
（1）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自高一的概率；
（2）從高一和高二獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
【思路分析】
（1）設(shè)出事件，利用條件概率公式求出答案；
（2）求出的可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望.
【規(guī)范解答】
（1）記“任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎(jiǎng)”為事件A，“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生"為事件，
，故；
（2）由己知可得，的可能取值為，
，，，
的分布列為
1．（2024·四川成都·成都七中模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采取七局四勝制．已知甲每局比賽獲勝的概率為，輸?shù)舻母怕蕿椋烤值谋荣惤Y(jié)果互不影響．
（1）求甲最終獲勝的概率；
（2）記總共的比賽局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為
【分析】（1）借助相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可得；
（2）求出的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率即可得分布列，借助期望公式計(jì)算即可得其數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）因?yàn)榧姿木直荣惡螳@勝的概率為，
甲五局比賽后獲勝的概率為，
甲六局比賽后獲勝的概率為，
甲七局比賽后獲勝的概率為，
所以甲最終獲勝的概率；
（2）X的所有可能取值是4，5，6，7，
因此有，
，
，
，
則隨機(jī)變量X的分布列為：
于是，
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是.
2．（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的4個(gè)球，其中甲箱有2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和2個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再?gòu)谋渲幸淮蚊?個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲幸淮蚊?個(gè)球.
（1）若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；
（2）若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）記事件為最后摸出的2個(gè)球顏色不同，事件為這2個(gè)球是從丙箱中摸出的，求出，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可得答案；
（2）確定X的所有可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）記事件為最后摸出的2個(gè)球顏色不同，事件為這2個(gè)球是從丙箱中摸出的，
又，有；
（2）由條件知，3，4，
且，
，
，
的分布列為：
故.
題型二：超幾何分布與二項(xiàng)分布
（2024·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？级＃┠承８叨?）班的元旦聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)抽獎(jiǎng)游戲：準(zhǔn)備了張相同的卡片，其中只在張卡片上印有“獎(jiǎng)”字.
（1）采取放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片張數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
（2）采取不放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片的概率.
【思路分析】
（1）分析可知，，由二項(xiàng)分布可得出的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得出的期望和方差；
（2）記事件第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片，事件第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值，即為所求.
【規(guī)范解答】
（1）由題意可知，，
則，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以，，.
（2）記事件第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片，事件第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片，
則，.
由條件概率公式可得，
所以，在第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片的概率為.
1．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類(lèi)電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)（個(gè)人賽）．
（1）求甲闖過(guò)四關(guān)的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過(guò)四關(guān)的人數(shù)，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由獨(dú)立乘法公式即可求解；
（2）首先算出進(jìn)一步結(jié)合二項(xiàng)分布的概率運(yùn)算可得分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）記事件A為“男生闖過(guò)四關(guān)”，則，
故甲闖過(guò)四關(guān)的概率為．
（2）的所有可能取值為0，1，2，3，4，
記事件B為“女生闖過(guò)四關(guān)”，則，
，
，
，
，
，
所以的分布列為
，
故的值為．
2．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.
（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門(mén)檢測(cè).
①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②
【分析】（1）結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析求解；
（2）①結(jié)合超幾何分別求分布列和期望；②利用對(duì)立事件以及①中結(jié)果運(yùn)算求解.
【解析】（1）由題意知：，
所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.
（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：
，，
，，，
所以隨機(jī)變量X的分布列為
所以隨機(jī)變量X的期望為；
②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，
所以.
題型三：均值與方差的實(shí)際應(yīng)用
（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類(lèi)型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類(lèi)型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立.
（1）隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率；
（2）操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無(wú)人機(jī)的操作有兩種方案：
方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類(lèi)型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類(lèi)型進(jìn)行操作；
方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無(wú)論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作.
假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.
【思路分析】
（1）利用條件概率公式，即可求解；
（2）首先確定兩種方案成功次數(shù)的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求概率，再比較其數(shù)學(xué)期望.
【規(guī)范解答】
（1）用事件表示選擇甲種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)，用事件表示選擇乙種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)，
用事件表示“選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功”
則，
（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，
方案一：，
，
，
所以.
方案二：，
，
，
所以.
所以，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值.
1．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時(shí)間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評(píng)委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．
（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來(lái)估計(jì)小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測(cè)小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；
（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類(lèi)菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類(lèi)菜品被評(píng)委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對(duì)小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測(cè)小李能否進(jìn)入決賽？
【答案】（1）；（2）小李能進(jìn)入決賽
【分析】（1）分情況在中式面點(diǎn)和中式熱菜中選擇元素，再集合組合數(shù)公式和古典概率類(lèi)型公式；
（2）首先確定每道中式面點(diǎn)和每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率，再求解每輪通過(guò)的概率，最后轉(zhuǎn)化為獨(dú)立重復(fù)事件的期望問(wèn)題.
【解析】（1）設(shè)“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：
①得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選1道，中式熱菜入選2道的概率為
②得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選2道，中式熱菜入選1道的概率為
③得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)和中式熱菜各入選2道的概率為
所以；
（2）由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率為，
每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率為，
則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為
，
因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗(yàn)．
用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則，
∴，∴小李能進(jìn)入決賽.
2．（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.
（1）假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為；乙全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；
（2）對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.
（2）分別求出選擇1,2,3個(gè)選項(xiàng)三個(gè)情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.
【解析】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：
：甲四道全對(duì)；乙一道全對(duì)，一道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得20分，乙得7分.
：甲三道全對(duì)，一道部分選對(duì)；乙兩道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得17分，乙得4分.
：甲三道全對(duì)，一道選錯(cuò)；乙一道部分選對(duì)，三道選錯(cuò)，即甲得15分，乙得2分.
.
.
.
.
（2）若為甲出方案，則甲可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.
記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，則期望為.
記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，
，，
此時(shí)期望為.
記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5
，，
此時(shí)期望為.
∵，.
∴甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).
若為乙出方案，則乙可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.
記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，類(lèi)比甲的情況，
則
記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，
此時(shí).
記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，此時(shí).
∵，
∴當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).
當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，
當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2或3個(gè)選項(xiàng)都有希望得到更理想的成績(jī).
題型四：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷(xiāo)售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.
（1）若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；
（2）若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選取（為正整數(shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.
【思路分析】
（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，即可得答案；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出的值，確定，結(jié)合正態(tài)分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
【規(guī)范解答】
（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，
所以，
則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.
（2）因?yàn)?，所以?br>依題意可得，所以，
因?yàn)?，所以?br>又為正整數(shù)，所以的最小值為2001.
1．（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長(zhǎng)度不小于6.04．
（1）求；
（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？
說(shuō)明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，通過(guò)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．
可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表
【答案】（1）；（2）根
【分析】（1）求出，進(jìn)而求出即可求解；
（2）根據(jù)題意求出即可求解.
【解析】（1），，
，
，，；
（2），
不合格的金屬棒有：根．
2．（2024·全國(guó)·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的，，三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．
（1）已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
（2）在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（ⅰ）設(shè)，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】（1）0.8186；（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）．
【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可結(jié)合的定義求解，
（2）（?。└鶕?jù)條件概率的計(jì)算公式集合的定義以及的定義域即可求解，
（ⅱ）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
【解析】（1）由題設(shè)得，，
所以
（2）（?。┯深}設(shè)得：
，
,
所以．
（ⅱ）由（?。┑?，
所以第天元件，正常工作的概率均為．
為使第天系統(tǒng)仍正常工作，元件，必須至少有一個(gè)正常工作，
因此所求概率為．
題型五：線性回歸與非線性回歸
（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀?，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷(xiāo)售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷(xiāo)售金額情況統(tǒng)計(jì)．
若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問(wèn)題：
（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；
（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷(xiāo)售金額．
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，
樣本相關(guān)系數(shù)；
參考數(shù)據(jù)：，．
【思路分析】
（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進(jìn)一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程并預(yù)測(cè).
【規(guī)范解答】
（1），
，
所以.
（2）由題意，所以，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
所以預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷(xiāo)售金額為萬(wàn)元.
1．（2024·四川巴中·統(tǒng)考一模）下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無(wú)害化處理量y（單位：萬(wàn)噸）與年份t的散點(diǎn)圖.
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷變量y與t是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2024年該市生活垃圾無(wú)害化處理量.
參考數(shù)據(jù)：
，，，.
參考公式：，；相關(guān)系數(shù).
【答案】（1）y與t線性相關(guān)，說(shuō)明見(jiàn)解析；（2）1.84萬(wàn)噸
【分析】（1）求出以及相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)最小二乘法的估計(jì)公式，求得，即可求得回歸方程，進(jìn)而可預(yù)測(cè)2024年該市生活垃圾無(wú)害化處理量.
【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷變量y與t線性相關(guān)，說(shuō)明如下：
由題意得，
，
，
故，
由y與t的相關(guān)系數(shù)約為0.97表明，y與t線性相關(guān)，相關(guān)程度相當(dāng)高；
（2）由以及（1）可得，
則，
故y關(guān)于t的回歸方程為，
將2024年對(duì)應(yīng)的年份代碼代入回歸方程得
故預(yù)測(cè)2024年該市生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.84萬(wàn)噸.
2．（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動(dòng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展和解決人類(lèi)面臨的全球性問(wèn)題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來(lái)該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷(xiāo)售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．
（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（計(jì)算過(guò)程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）
（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測(cè)年投入額為百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售量是多少?
參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．
【答案】（1），；（2）②的擬合效果好，預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量是千件
【分析】（1）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法求得正確答案.
（2）通過(guò)計(jì)算決定系數(shù)確定擬合效果較好的方案，并由此進(jìn)行預(yù)測(cè).
【解析】（1），
所以，所以.
由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，即，
，
所以，所以.
（2），
對(duì)于，；對(duì)于，，
所以②的擬合效果好，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值千件.
題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)及應(yīng)用
（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）2023年12月25日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)選出的2023年國(guó)內(nèi)十大科技新聞揭曉．某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校100名學(xué)生對(duì)這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：
（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；
（2）若把這100名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，則這2人中至少有1人為女生的概率．
附：
①，其中；
②當(dāng)時(shí)有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)．
【思路分析】
（1）首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，代入公式求，再與臨界值比較大小，即可判斷；
（2）首先將抽到的學(xué)生編號(hào)，再采用列舉的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【規(guī)范解答】
（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，
所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異
（2）這100名學(xué)生中男生60人，女生40人，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，
則抽取的男生有3人，女生有2人，
設(shè)男生為，，；女生為，．
則從這5人中選出2人的組合有，，，，，，
，，，共10種，
其中至少有1人為女生的組合有，，，，
，，共7種，
故所求概率為.
1．（2024·河北張家口·高三尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）為了研究體育鍛煉對(duì)某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機(jī)走訪了個(gè)該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）定義分類(lèi)變量、如下：，，以頻率估計(jì)概率，求條件概率與的值；
（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析經(jīng)常進(jìn)行體育鍛煉是否對(duì)患該種慢性病有影響．
附：
【答案】（1），；（2）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）利用條件概率公式結(jié)合表格中數(shù)據(jù)可求得與的值；
（2）計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.
【解析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，
.
（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷經(jīng)常鍛煉對(duì)患有某種慢性病有影響，
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.
2．（2022·河南·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了答謝全國(guó)人民的真情關(guān)愛(ài)，湖北省舉辦“與愛(ài)同行，惠游湖北”活動(dòng)．從2020年8月8日開(kāi)始，全省近400家A級(jí)旅游景區(qū)對(duì)全國(guó)游客免門(mén)票開(kāi)放，活動(dòng)將一直持續(xù)到年底．在“十一”黃金周期間，武漢黃鶴樓景區(qū)迎來(lái)了大批游客，同時(shí)也帶動(dòng)了當(dāng)?shù)芈糜谓?jīng)濟(jì)的發(fā)展．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了黃金周期間的180名游客的旅游消費(fèi)情況，整理數(shù)據(jù)，得到如下表格：
（1）估計(jì)“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)不少于300元的概率（保留兩位小數(shù)）；
（2）估計(jì)“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)金額的平均值（保留兩位小數(shù)）（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為游客的旅游消費(fèi)金額少于300元與年齡有關(guān)？
附：，．
【答案】（1）；（2）元
（3）填表見(jiàn)解析；有的把握認(rèn)為游客的旅游消費(fèi)金額少于元與年齡有關(guān).
【分析】（1）求出購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品不少于元的人數(shù)，即可求解；
（2）用每組數(shù)中間值乘以各組頻率相加即可求解；
（3）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算即可得解.
【解析】（1）由題意，這名游客的旅游消費(fèi)金額不少于元的頻率為，
因此估計(jì)“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)金額不少于元的概率為．
（2）由表格可知，這名游客的旅游消費(fèi)金額的平均值為
（元）．
因此估計(jì)“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)金額的平均值為元．
（3）由題意補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：
則
因此有的把握認(rèn)為游客的旅游消費(fèi)金額少于元與年齡有關(guān).
題型七：條件概率/全概率公式/貝葉斯公式
（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍(lán)三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍(lán)光；若某次閃藍(lán)光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.
（1）求第4次閃光為紅光的概率；
（2）求第次閃光為紅光的概率.
【思路分析】
（1）由互斥加法、獨(dú)立乘法公式運(yùn)算即可求解.
（2）由全概率公式得遞推式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解.
【規(guī)范解答】
（1）由題意，前4次閃光的順序?yàn)椤凹t黃藍(lán)紅”或“紅藍(lán)黃紅”，所以.
（2）設(shè)事件表示“第n次閃光為紅光”，事件表示“第n次閃光為黃光”，
事件表示“第n次閃光為藍(lán)光”，
且，，則，
由題意知，當(dāng)時(shí)，，
即，整理得，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
故，即第次閃紅光的概率為.
1．（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有10個(gè)球，其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn)，3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn)，2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類(lèi)產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）0.81.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率公式計(jì)算即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用全概率公式列式計(jì)算即得.
【解析】（1）依題意，.
（2）依題意，，
由（1）知，
由全概率公式得.
2．（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）全國(guó)“村BA”籃球賽點(diǎn)燃了全民的運(yùn)動(dòng)激情，深受廣大球迷的喜愛(ài).每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某個(gè)賽季的所有比賽中，甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)情況如表.
（1）完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān)；
（2）由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；
（ii）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）
附：，.
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析;有99%的把握認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān);（2）（i）;（ii）
【分析】（1）根據(jù)題意，得出的列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可求解；
（2）設(shè)事件：甲球員上場(chǎng)打前鋒，事件：甲球員上場(chǎng)打中鋒，
事件：甲球員上場(chǎng)打后衛(wèi)，事件：球隊(duì)贏球，結(jié)合全概率公式，即可求解；
（ii）根據(jù)題意，利用條件概率的計(jì)算公式和貝葉斯公式，即可求解.
【解析】（1）根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：
零假設(shè)：球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)無(wú)關(guān)
此時(shí)，
所以，有99%的把握認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān).
（2）由甲球員上場(chǎng)時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，
相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）設(shè)事件：甲球員上場(chǎng)打前鋒，事件：甲球員上場(chǎng)打中鋒，
事件：甲球員上場(chǎng)打后衛(wèi)，事件：球隊(duì)贏球，
則,
所以，當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，球隊(duì)贏球的概率：
.
（ii）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，
甲球員打中鋒的概率為.
題型八：概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用
（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲(chóng)害調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲(chóng)害的果苗，并測(cè)量其高度（單位：，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)該苗圃受到這種病蟲(chóng)害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的概率；
（3）已知該苗圃的果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲(chóng)害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲(chóng)害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.
【思路分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)公式求解即可；
（2）求出所給區(qū)間上的頻率即可求解；
（3）根據(jù)條件概率公式求解即可.
【規(guī)范解答】
（1）由頻率分布直方圖得該苗圃受到這種病蟲(chóng)害的果苗的平均高度為：
.
（2）該苗圃一棵受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的頻率為：.
所以，估計(jì)該苗圃一顆受到這種病蟲(chóng)害的果苗高度位于區(qū)間的概率為0.6.
（3）設(shè)從苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗為事件，該棵果苗受到這種病蟲(chóng)害為事件，
則.
1．（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）某學(xué)校開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步凝.啟息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.
（1）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；
（2）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)內(nèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可；
（2）的可能取值為0，1，2，分別求出每種情況的概率，再寫(xiě)出分布列并求期望即可；
【解析】（1）設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件A，
在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，
所以；
（2）由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天；
的所有可能取值為0，1，2，
，，，
所以的分布列為
.
2．（2024·北京海淀·高三101中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng)．某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立．
（1）估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；
（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為?平均數(shù)的估計(jì)值為（計(jì)算平均數(shù)時(shí)，同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），請(qǐng)直接寫(xiě)出的大小關(guān)系．
【答案】（1）0.65；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為；（3）
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出對(duì)應(yīng)頻率即為所求；
（2）由題意可得服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可；
（3）根據(jù)公式計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)，再比較大小即可.
【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，
可得學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的頻率為，
因此估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率為；
（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，
其一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的概率為0.4，
因此，可取，
，
．
則的分布列為：
；
（3）因?yàn)椋?br>，
故中位數(shù)在區(qū)間上，則，；
，故.
題型九：概率與其他知識(shí)的交匯應(yīng)用
（2023上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字1，兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.
（1）當(dāng)時(shí)，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；
（2）求能被3整除的概率.
【思路分析】
（1）先確定的可能值，再分別求概率列表求期望.
（2）先得到遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列求解.
【規(guī)范解答】
（1）由題可知，正四面體與桌面接觸的數(shù)字為1和2的概率均為，
的取值可能為0，1，2.
，，，
則的分布列為
.
（2）由題可知，當(dāng)時(shí)，次底面的數(shù)字之和能被3整除的概率為，
所以，則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，即.
1．（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中的概率.
（1）求，；
（2）證明：是等比數(shù)列，并求；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．
【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）
【分析】（1）分析已知計(jì)算即可得出結(jié)果；
（2）記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，
則，變形可得，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（3）結(jié)合第（2）問(wèn)結(jié)論和題設(shè)條件，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式分組求和即可求解.
【解析】（1）因?yàn)楸硎窘?jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中的概率，
所以，第一次傳到乙手中的概率為：，
第二次傳到乙手中的概率為：.
（2）記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中”，
若發(fā)生，則一定不發(fā)生，所以，
即，即，
又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
（3）由題意，次傳球后球在乙手中的次數(shù)，服從兩點(diǎn)分布，且,
所以
由（2）可知，，則.
2．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，一個(gè)問(wèn)題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯等人的討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．
（1）甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率；當(dāng)時(shí)，求事件發(fā)生的概率的最大值．
【答案】（1）元；（2）0.0272．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出甲贏得全部賭注概率.（2）求出乙贏得全部賭注的概率，進(jìn)而求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.
【解析】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，
由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，
當(dāng)時(shí)，甲以贏，則，
當(dāng)時(shí)，甲以贏，則，
當(dāng)時(shí)，甲以贏，則，
于是得甲贏得全部賭注的概率為，
所以甲應(yīng)分得的賭注為元．
（2）設(shè)賭博繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，
當(dāng)時(shí)，乙以贏，，
當(dāng)時(shí)，乙以贏，，
則乙贏得全部賭注的概率為，
于是甲贏得全部賭注的概率，
，
因，即，從而有在上單調(diào)遞增，
因此，乙贏的概率最大值為，
所以事件發(fā)生的概率的最大值為0.0272．
題型十：利用概率解決決策類(lèi)問(wèn)題
（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）乒乓球起源于英國(guó)的19世紀(jì)末，因?yàn)?959年的世界乒乓球錦標(biāo)賽，中國(guó)參賽運(yùn)動(dòng)員為中國(guó)獲得了第一個(gè)世界冠軍，而使國(guó)人振奮，從此乒乓球運(yùn)動(dòng)在中國(guó)風(fēng)靡，成為了事實(shí)上中國(guó)的國(guó)球的體育項(xiàng)目.國(guó)球在校園中的普及也豐富了老師、同學(xué)們的業(yè)余生活.某校擬從5名優(yōu)秀乒乓球愛(ài)好者中抽選人員分批次參加社區(qū)共建活動(dòng).共建活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名選手，且每次派送選手均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名選手中，2人有比賽經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有比賽經(jīng)驗(yàn).
（1）求5名選手中的“1號(hào)選手”，在這3批次活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；
（2）求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有比賽經(jīng)驗(yàn)的選手的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）現(xiàn)在需要2名乒乓球選手完成某項(xiàng)特殊比賽任務(wù)，每次只能派一個(gè)人，且每個(gè)人只派一次，如果前一位選手不能贏得比賽，則再派另一位選手.若有A、兩位選手可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為、，且，各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立.試分析以怎樣的順序派出選手，可使所需派出選手的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.
【思路分析】
（1）5名選手中的“1號(hào)選手”在每輪抽取中被抽取到的概率為，然后用獨(dú)立事件概率公式和事件和公式求解即可；
（2）用期望或概率判斷即可；
（3）分別求出按先A后的順序和先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望，比較即可得出答案.
【規(guī)范解答】
（1）5名選手中的“1號(hào)選手”在每輪抽取中被抽取到的概率為，
則三次抽取中，“1號(hào)選手”恰有一次被抽取到的概率為.
（2）第二次抽取到的沒(méi)有比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.
設(shè)表示第二次抽取到的無(wú)比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)，可能的取值有0，1，2，
則有：，，，
（法一）因?yàn)椋?br>故第二次抽取到的無(wú)比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.
（法二）∵，
∴第二次抽取到的無(wú)比賽經(jīng)驗(yàn)的選手人數(shù)最有可能是1人.
（3）按照先A后的順序所需人數(shù)期望最小.
由題意：，
設(shè)表示先A后完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則
，
設(shè)表示先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則
，
∵，
∴故按照先A后的順序所需人數(shù)期望最小.
1．（2024·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場(chǎng)比賽勝者積2分，負(fù)者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空；積分首先累計(jì)到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.
（1）若，求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望；
（2）若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）讓乙和丙打第一局
【分析】（1）求出的取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（2）分別計(jì)算出“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，
“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”三種策略下的概率，作差法比較出大小，得到答案.
【解析】（1）由題意可知，兩場(chǎng)比賽后結(jié)束，也即第一局的其中1人連續(xù)獲得兩場(chǎng)勝利，有兩種情況，
此時(shí)，，
當(dāng)三場(chǎng)比賽后結(jié)束，即第一局比賽的2人均未獲勝，輪空者獲勝，共有兩種情況，
此時(shí)，；
當(dāng)四場(chǎng)比賽后結(jié)束，前三局比賽，甲乙丙三人各贏1場(chǎng)，進(jìn)行第四場(chǎng)比賽，共有2種情況，
此時(shí)，；
所以三人總積分的分布列為
所以.
（2）設(shè)事件為“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，
為“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”，則有：
已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，
甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，
乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.
其中包含三種情況，第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；
第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；
第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，
故；
同理可得；
；
顯然，
故，
，
由于，故，
所以；
故乙的最優(yōu)指定策略是讓乙和丙打第一局.
2．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車(chē)產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車(chē)廠家提供甲?乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車(chē)主進(jìn)行選擇，每位車(chē)主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車(chē)主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.
（1）若參加的車(chē)主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）對(duì)所有車(chē)主選擇的結(jié)果進(jìn)行調(diào)查,記總得分恰好為n分的概率為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，汽車(chē)廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.
【答案】（1）見(jiàn)解析，；（2）；（3）這方案不合理，見(jiàn)解析.
【分析】（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.
分別求得隨機(jī)變量取每一值時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；
（2）依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得()分，再得，
概率為，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比較可得結(jié)論.
【解析】（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
∴.
（2）依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得()分，再得2分，概率為，
∴，即.
又，，∴，即.
（3）因?yàn)椋?，∴?br>∴選擇乙機(jī)構(gòu)的概率大于甲機(jī)構(gòu)，這方案不合理.
1．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）袋中裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊球，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一球檢驗(yàn)．
（1）若直到取到新球?yàn)橹?，求抽取次?shù)X的概率分布及其均值；
（2）若將題設(shè)中的“無(wú)放回”改為“有放回”，求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值．
【答案】（1）概率分布見(jiàn)解析，；（2）3
【分析】（1）由分布列及均值定義計(jì)算即可得；
（2）由二項(xiàng)分布均值公式計(jì)算即可得.
【解析】（1）X的可能取值為1，2，3，，
故抽取次數(shù)X的概率分布為：
；
（2）每次檢驗(yàn)取到新球的概率均為，故，所以．
2．（2024·廣東廣州·廣州六中校考一模）某電商專(zhuān)門(mén)生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號(hào)外，其余外觀完全相同，為了檢測(cè)元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了圖甲、乙兩種電路.
（1）在設(shè)備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個(gè)，只有2個(gè)合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機(jī)抽取2個(gè)安裝在甲圖電路中的，處，請(qǐng)用集合的形式寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；
（2）通過(guò)設(shè)備調(diào)試和技術(shù)升級(jí)后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過(guò)程中每個(gè)電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機(jī)抽取3個(gè)安裝在乙圖電路中的，，處，求小燈泡發(fā)亮的概率.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；;（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，求得小燈泡不發(fā)亮的概率，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分三種情況，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，然后相加，即可得到結(jié)果.
【解析】（1）由題意可得{（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}；
設(shè)事件：小燈泡發(fā)亮，則，
則，即小燈泡發(fā)亮的概率為.
（2）當(dāng)小燈泡亮的時(shí)候，元件一定是合格的，元件中至少有一個(gè)是合格的，
第一種情況：元件合格，元件合格，元件不合格，則；
第二種情況：元件合格，元件不合格，元件合格，；
第三種情況：元件合格，元件合格，元件合格，；
則小燈泡發(fā)亮的概率.
3．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛，它將會(huì)成為改變?nèi)祟?lèi)社會(huì)發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)該交互軟件進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為．
（1）求一個(gè)問(wèn)題能被軟件正確應(yīng)答的概率；
（2）在某次測(cè)試中，輸入了個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時(shí)，的值最大？
【答案】（1）0.75；（2）7或8
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；
（2）由題意可知：且，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析求解.
【解析】（1）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，“回答正確”為事件B，
由題意可知：，則，
所以.
（2）由（1）可知：，則，
可得，
令，則，
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可得；
所以當(dāng)或時(shí)，最大，即n為7或8時(shí)，的值最大.
4．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng).
（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來(lái)自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）
【分析】（1）利用超幾何分布，求出分布列和期望，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)甲、乙答對(duì)題數(shù)為二項(xiàng)分布及獨(dú)立事件的概率求出每輪答題中取得勝利的概率，
再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.
【解析】（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列為：
.
（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對(duì)題數(shù)為，則，
設(shè)乙答對(duì)題數(shù)為，則，
設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,
則
由，又，所以，
則，又，所以，
設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時(shí)取最大值，
所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.
5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）為考察藥物對(duì)預(yù)防疾病以及藥物對(duì)治療疾病的效果，科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動(dòng)物對(duì)照試驗(yàn)．根據(jù)個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）
（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物對(duì)預(yù)防疾病的有效性；
（2）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患病的動(dòng)物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取只，用藥物進(jìn)行治療．已知藥物的治愈率如下：對(duì)未服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為，對(duì)服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為．若共選取次，每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的．記選取的只動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，.
【答案】（1）認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效果；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為
【分析】（1）提出零假設(shè)為藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效果，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）利用全概率公式計(jì)算出藥物的治愈率，分析可知，利用二項(xiàng)分布列可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可得出的值.
【解析】（1）零假設(shè)為藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效果，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，
即認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效果．
（2）設(shè)A表示藥物的治愈率，表示對(duì)未服用過(guò)藥物，表示服用過(guò)藥物，
由題意可得，，
且，，
，
藥物的治愈率，則，
所以，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
．
6．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：
（1）規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績(jī)?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？
附：若，則，，；．
【答案】（1），分布列見(jiàn)解析，；（2）有資格參加復(fù)賽
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算即可求解分布列；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.
【解析】（1）預(yù)賽成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的樣本量為：，
預(yù)賽成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的樣本量為：，
設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為0,1,2，
則，
又，
則X的分布列為：
故．
（2），
，則，
又，故，
故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績(jī)不低于91分的有人，
因?yàn)?，故小明有資格參加復(fù)賽，
7．（2024·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．
（1）現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？
（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．
（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；
（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．
附：；
【答案】（1）沒(méi)有關(guān)聯(lián)；（2）（?。?；（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)卡方計(jì)算公式計(jì)算，與臨界值比較即可求解；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，結(jié)合全概率公式即可求解（?。?，根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解（ⅱ）.
【解析】（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)．
（2）設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，
則兩兩獨(dú)立，．
根據(jù)題意得，
．
（?。┯桑Y(jié)合全概率公式，得
，
因此，張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為．
（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，
則，由全概率公式，得
故 ①
同理 ②
③
④
由①②，，
由④，，代入②，得：，即，
故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即，所以
于是，當(dāng)時(shí)，
綜上所述：
8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某種產(chǎn)品2014年到2018年的年投資金額（萬(wàn)元）與年利潤(rùn)（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，由散點(diǎn)圖知，與之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，已知5年利潤(rùn)的平均值是4.7．
（1）求表中實(shí)數(shù)的值；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程．
參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由5年利潤(rùn)的平均值是4.7結(jié)合平均數(shù)公式求得值；
（2）由已知數(shù)據(jù)求得和的值，即可得到線性回歸方程.
【解析】（1）由題意得，，解得
（2）由題意得，,，
，故，
則，故所求線性回歸方程為．
9．（2024·海南·高三?？茧A段練習(xí)）紅松樹(shù)分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹(shù)，為了研究生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，并測(cè)量了它們的樹(shù)干直徑（單位：厘米），如下表：
計(jì)算得：.
（1）求這12棵紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑的樣本均值與樣本方差.
（2）假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布.
記事件：在森林公園內(nèi)再?gòu)闹须S機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，其樹(shù)干直徑都位于區(qū)間.
①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；
②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個(gè)條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說(shuō)明理由.
參考公式：若，
則.
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1），.
（2）①；②，護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用均值（平均數(shù)）的計(jì)算公式和方差公式，計(jì)算即可；
（2）①12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，其樹(shù)干直徑都位于區(qū)間，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中在區(qū)間內(nèi)等價(jià)于發(fā)生；②根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中在區(qū)間內(nèi)等價(jià)于發(fā)生，計(jì)算得出，再比較即可.
【解析】（1）樣本均值，
樣本方差.
（2）①由題意可得，樹(shù)干直徑（單位：近似服從正態(tài)分布.
在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，
其樹(shù)干直徑位于區(qū)間的概率是，
所以.
②若樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布，
在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，
其樹(shù)干直徑位于區(qū)間的概率是，則.
此時(shí)事件發(fā)生的概率遠(yuǎn)小于①中根據(jù)測(cè)量結(jié)果得出的概率估計(jì)值.
事件是一個(gè)小概率事件，但是第一次隨機(jī)選取的12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，事件發(fā)生了，
所以認(rèn)為護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的.
10．（2024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．
（1）求第3回合由甲發(fā)球的概率；
（2）①設(shè)第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；
②已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行n個(gè)回合比賽后，甲的總得分的期望．
【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②
【分析】（1）通過(guò)設(shè)出事件，結(jié)合事件獨(dú)立的概率乘法公式計(jì)算即可；（2）①通過(guò)題意得到，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行證明即可；②根據(jù)題意得到記第回合甲得分為，顯然服從兩點(diǎn)分布，結(jié)合題目中的期望公式計(jì)算即可.
【解析】（1）設(shè)“第3回合由甲發(fā)球”為事件，
則，所以第3回合由甲發(fā)球的概率為
（2）①第回合是甲發(fā)球分兩種情況：
第一種情況為第回合是甲發(fā)球且甲得分，
第二種情況為第回合是乙發(fā)球且甲得分，
則，即，所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
②因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
記第回合甲得分為，顯然服從兩點(diǎn)分布，
且事件等價(jià)于第回合是甲發(fā)球，故，
又因?yàn)榍蠹?、乙連續(xù)進(jìn)行n個(gè)回合比賽后，甲的得分為，
所以，
故甲的總得分的期望為
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．
【解析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，
所以，,
，
，
.
即的分布列為
期望.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，.
（2）設(shè)，依題可知，，
則，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
【答案】（1），；（2），最小值為．
【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再根據(jù)第二個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；
（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．
【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
．
（2）當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
,
故，
所以在區(qū)間的最小值為．
4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
（1）設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能
【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【解析】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，
從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；
（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
【答案】（1）；（2）（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能
【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【解析】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：
（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，
從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，
后續(xù)依次為，
故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？
附：，
【答案】（1）A，B兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，；（2）有
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.
【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，
設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，
設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.
A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.
（2）列聯(lián)表
=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).
7．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．
用頻率估計(jì)概率．
（1）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；
（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）；（2）；（3）不變
【分析】（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；
（2）分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；
（3）通過(guò)統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.
【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：
（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，
也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，
于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是
（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，
上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，
因此估計(jì)第次不變的概率最大.
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】（1）歲；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【解析】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，
所以．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：,
則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，
若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率
．
9．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：
記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
（1）求，；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）
【答案】（1），；
（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出，再得到所有的值，最后計(jì)算出方差即可；
（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和比較大小即可.
【解析】（1），
，
，
的值分別為: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
10．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）0.4;（2）;（3）丙
【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可；（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.
（3）計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.
【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得，甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，
乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴
（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.
因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，
丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.
并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.獎(jiǎng)項(xiàng)組別
個(gè)人賽
團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)
一等獎(jiǎng)
二等獎(jiǎng)
三等獎(jiǎng)
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算。）
4
5
6
7
X
2
3
4
P
1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
（1）定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
（2）定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
（3）列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．
（4）求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2、超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：考察對(duì)象分兩類(lèi)；已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)題，考察某一類(lèi)個(gè)題個(gè)數(shù)的概率分布；
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。
3、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項(xiàng)分布是“有放回”的抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同點(diǎn)。
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
4
P
利用隨機(jī)變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量的均值的意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)或集中與分散的狀況，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征量有關(guān)。
1、若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量，的均值。當(dāng)時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，還需要用，來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度。
2、若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近。
關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
（1）熟記P(μ－σ

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