2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型9 二次函數(shù)綜合題類型6 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此時(shí)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以 SKIPIF 1 < 0 為腰的 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái)．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 取得最大值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向右平移5個(gè)單位得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理分別表示出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線解析式為： SKIPIF 1 < 0 ，
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖所示，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，

設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵拋物線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
將該拋物線向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位，得到 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向右平移5個(gè)單位得到 SKIPIF 1 < 0
∵平移后的拋物線與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．
則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長(zhǎng)問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與y軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得 SKIPIF 1 < 0 始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(3)存在，m的值為2或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式列方程求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)拋物線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立拋物線和直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系數(shù)法分別求得直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)E作 SKIPIF 1 < 0 軸于Q，過(guò)D作 SKIPIF 1 < 0 軸于N，證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與y軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為腰的等腰三角形，有兩種情況：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，

∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，滿足題意的點(diǎn)B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在常數(shù)m，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，

設(shè)拋物線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理，可得直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)E作 SKIPIF 1 < 0 軸于Q，過(guò)D作 SKIPIF 1 < 0 軸于N，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，存在常數(shù)m，使得 SKIPIF 1 < 0 ，m的值為2或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．
3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，拋物線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)直接寫出拋物線和直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的三角形與以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線： SKIPIF 1 < 0 ；直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入求 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)代入求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
（2）由題得 SKIPIF 1 < 0 ，分別求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)等腰 SKIPIF 1 < 0 中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；
（3）對(duì)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 拋物線過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 拋物線的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 拋物線的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入上式，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形時(shí)，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
③若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 相對(duì)應(yīng)，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
①若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 左側(cè)，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
②若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 右側(cè)，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
綜上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4.如圖，已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由．
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且 SKIPIF 1 < 0 ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見詳解；（3）（0， SKIPIF 1 < 0 ）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）設(shè)拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x， SKIPIF 1 < 0 ），（0≤x≤4），得到PQ = SKIPIF 1 < 0 ，從而求出線段PQ長(zhǎng)度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，推出 SKIPIF 1 < 0 ，從而得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴B（4，0），C（0，4），
設(shè)拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，把C（0，4）代入得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
設(shè)P（x，-x+4），則Q（x， SKIPIF 1 < 0 ），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-( SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度最大=4，
∴此時(shí)，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四邊形OCPQ是平行四邊形；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中點(diǎn)，
∴D（0，2），
∵QN∥y軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)E（x， SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴E（5，4），
設(shè)F（0，y），則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①當(dāng)BF=EF時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
②當(dāng)BF=BE時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
③當(dāng)EF=BE時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)解，
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0， SKIPIF 1 < 0 ）或（0，1）或（0，-1）．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
5.如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA SKIPIF 1 < 0 45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng)．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）（6，-7）；（3）PH= SKIPIF 1 < 0 或1.5或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；
（2）求得點(diǎn)C的坐標(biāo)后先利用勾股定理的逆定理判斷∠ACB=90°，繼而可得∠ACO=∠CBA，在x軸上取點(diǎn)E（2，0），連接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，進(jìn)一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求解即可；
（3）設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G，如圖，由題意可得若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，設(shè)G（0，m），求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是問題可求解．
【詳解】
解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的解析式是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令x=0，則y=2，即C（0，2），
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB2=25，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
在x軸上取點(diǎn)E（2，0），連接CE，如圖，
則CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，
∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），
∴直線CE的解析式為y=-x+2，
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+n，把點(diǎn)A（-1，0）代入，可得n=-1，
∴直線PQ的解析式為y=-x-1，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，-7）；
（3）設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G，如圖，
∵PH∥y軸，
∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），
∴直線BC的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)G（0，m），∵A（-1，0），
∴直線AF的解析式為y=mx+m，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)CG=CF時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去負(fù)值），
此時(shí)直線AF的解析式為y= SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
∴PH= SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)FG=FC時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得m= SKIPIF 1 < 0 或m= SKIPIF 1 < 0 （舍）或m=2（舍），
此時(shí)直線AF的解析式為y= SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，2），此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3， SKIPIF 1 < 0 ），
∴PH=2- SKIPIF 1 < 0 =1.5；
當(dāng)GF=GC時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或m=2（舍去），
此時(shí)直線AF的解析式為y= SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
∴PH= SKIPIF 1 < 0 ；
綜上，PH= SKIPIF 1 < 0 或1.5或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點(diǎn)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
6.如圖，已知二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與 SKIPIF 1 < 0 軸交于原點(diǎn)及點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)及直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式；
（3）判斷 SKIPIF 1 < 0 的形狀，試說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段 SKIPIF 1 < 0 勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段 SKIPIF 1 < 0 勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出AB解析式即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長(zhǎng)，利用勾股定理驗(yàn)證即可；
（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可證明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 ，且與 SKIPIF 1 < 0 軸交于原點(diǎn)及點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為： SKIPIF 1 < 0
將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 解這個(gè)方程組得 SKIPIF 1 < 0
∵二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0
（2）∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ，則有：
SKIPIF 1 < 0 解之得： SKIPIF 1 < 0
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，易知其坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 的三個(gè)頂點(diǎn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
且滿足 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
（4）如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑作圓，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓周上，依題意知：
動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上取點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，則在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
從而得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
顯然當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 的最小值為：
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度的最小值是解題的關(guān)鍵．
7.如圖，已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，（點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的左邊），與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為拋物線的頂點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ．直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，并延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 與線段 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在第一象限）．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）直接利用待定系數(shù)法求出a、b的值即可得出拋物線解析式；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，根據(jù)拋物線對(duì)稱性可求得N的坐標(biāo)；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上，與拋物線產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)求出即可；
（3）在 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的右側(cè)作 SKIPIF 1 < 0 ，移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為所求，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形性質(zhì)列比例求解，解出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．
【詳解】
（1）將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴拋物線的解析式 SKIPIF 1 < 0
（2）頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，根據(jù)拋物線對(duì)稱性， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合
SKIPIF 1 < 0
②方法一：如圖一
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線上
如圖 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
方法二：如圖二，
過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸垂線交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
綜上 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（3）如圖一，在 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的右側(cè)作 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為所求．
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何圖形綜合，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解直角三角形，相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，題型難度大，屬于中考?jí)狠S題．
8.已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；
（2）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；
（3）利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
將點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC，
設(shè)點(diǎn)E（0，m），則AE，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，，
∴m＝3或m＝﹣3（點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去），
∴E（0，3），
②當(dāng)AC＝CE時(shí)，|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3）或（0，﹣3），
③當(dāng)AE＝CE時(shí)，|m+3|，
∴m，
∴E（0，），
即滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3）、（0，﹣3）、（0，）；
（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），
∴將線段BD向上平移4個(gè)單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)Q（t，4），
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2或t＝1﹣2，
∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），
分別過(guò)點(diǎn)D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，
∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）PN＝PQsin45°（m2m）（m﹣2）2，即可求解；
（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三種情況，分別求解即可．
【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，
故拋物線的表達(dá)式為：yx2x+4；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，4），
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；
設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)P（m，m2m+4），點(diǎn)Q（m，﹣m+4），
∴PQm2m+4+m﹣4m2m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°（m2m）（m﹣2）2，
∵0，故當(dāng)m＝2時(shí)，PN有最大值為；
（3）存在，理由：
點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），則AC＝5，
①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，
則CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±（舍去負(fù)值），
故點(diǎn)Q（，）；
②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故點(diǎn)Q（1，3）；
③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m（舍去）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或（，）．
10.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．
【解析】
【分析】
（1）直接將和點(diǎn)代入，解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過(guò)點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案．
【詳解】
（1）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)
拋物線解析式為：
（2）當(dāng)時(shí)，
直線BC解析式為：
過(guò)點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F
設(shè)
即
（3）
為等腰直角三角形
拋物線的對(duì)稱軸為
點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3
又點(diǎn)E在直線BC上
點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5
設(shè)
①當(dāng)MN=EM，,時(shí)
解得或（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
②當(dāng)ME=EN，時(shí)
解得：或（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
③當(dāng)MN=EN，時(shí)
連接CM，易知當(dāng)N為C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)四邊形CMNE為正方形
解得：（舍去）
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．
【點(diǎn)睛】
本題是一道綜合題，涉及到二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線．
11.已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，設(shè)該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，若點(diǎn)Q在拋物線上，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為b，當(dāng)時(shí)，求m的值；
（3）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3，；（2）3或7；（3）3
【解析】
【分析】
（1）由題意可知直線經(jīng)過(guò)，因而把代入直線即可求出k的值，然后把代入拋物線得出含b的代數(shù)式表達(dá)c，再根據(jù)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)E，并代入直線，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
（2）由（1）可知直線的解析式是，拋物線的解析式為，根據(jù)題意使求出C的坐標(biāo)，使求出Q的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件作圖，延長(zhǎng)EQ交x軸于點(diǎn)B，因?yàn)辄c(diǎn)D在y軸上且在直線上，所以令時(shí)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，看圖可知AO是△ACE以CD為底的高，設(shè)E到y(tǒng)軸的距離為，是△CED以CD為底的高，因此可以求出，根據(jù)求出，設(shè)點(diǎn)E和Q所在直線的解析式為，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q和點(diǎn)E到x軸的距離分別為，是△EMB以MB為底的高，是△BQM以MB為底的高，再根據(jù)求解，即可求出m的值；
（3）將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入拋物線（b，c為常數(shù)，），根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)得到含b的代數(shù)式表達(dá)c，求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，可知點(diǎn)D在第四象限，且在直線的右側(cè)，取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H，在Rt△MDH中，可知，由題意可知點(diǎn)，用含b的代數(shù)式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．
【詳解】
解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)，
∴把代入直線，可得，解得；
∵拋物線（b，c為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)，
∴把代入拋物線，可得，
∵當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，把代入直線，
可得，
∴，解得，
∵，∴，∴，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）由（1）可知直線的解析式是，拋物線的解析式為，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，
∴令，C的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)Q在拋物線上，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為b，
由（1）可知，∴，
∴Q的坐標(biāo)為．
延長(zhǎng)EQ交x軸于點(diǎn)B，如圖1所示，
∵D在y軸上，且在直線上，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∵AO是△ACE以CD為底的高，設(shè)E到y(tǒng)軸的距離為，是△CED以CD為底的高，
∴，
∴．
設(shè)點(diǎn)E和Q所在直線的解析式為，
把點(diǎn)E和點(diǎn)Q代入，解得：，∴該直線的解析式為，
令，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)Q和點(diǎn)E到x軸的距離分別為，是△EMB以MB為底的高，是△BQM以MB為底的高，
∴，
解得：或7，．
（3）∵點(diǎn)D在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，
∴，
∵在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，
∴，即，
∴，
可知點(diǎn)D在第四象限，且在直線的右側(cè)．
∵，
∴可取點(diǎn)，
如圖2，過(guò)點(diǎn)D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點(diǎn)M，
∴，得，
則此時(shí)點(diǎn)M滿足題意，過(guò)點(diǎn)D作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H，
在Rt△MDH中，可知，
∴，
∵點(diǎn)，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)使用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
12.如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸l與直線相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）的為直角三角形，理由見解析；（3）存在使與直線的夾角等于的2倍的點(diǎn)，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可確定B、C的坐標(biāo)，然后用帶定系數(shù)法解答即可；
（2）先求出A、B的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，說(shuō)明三角形APB為等腰三角形；再結(jié)合OB=OC得到∠ABP=45°，進(jìn)一步說(shuō)明∠APB=90°，則∠APC=90°即可判定的形狀；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E；然后說(shuō)明△ANB為等腰直角三角形，進(jìn)而確定N的坐標(biāo)；再求出AC的解析式，進(jìn)而確定M1E的解析式；然后聯(lián)立直線BC和M1E的解析式即可求得M1的坐標(biāo)；在直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可確定點(diǎn)M2的坐標(biāo)
【詳解】
解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)
∴當(dāng)x=0時(shí)，可得y=5，即C的坐標(biāo)為（0,5）
當(dāng)y=0時(shí)，可得x=5，即B的坐標(biāo)為（5,0）
∴解得
∴該拋物線的解析式為
（2）的為直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，則x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵拋物線的對(duì)稱軸l為x=3
∴△APB為等腰三角形
∵C的坐標(biāo)為（5,0）, B的坐標(biāo)為（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的為直角三角形；
（3）如圖：作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E，
∵M(jìn)1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB為等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
設(shè)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函數(shù)解析式為y=-5x+5
設(shè)EM1的函數(shù)解析式為y=x+n
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函數(shù)解析式為y=x+
∵ 解得
∴M1的坐標(biāo)為（）；
在直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2
設(shè)M2（a，-a+5）
則有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐標(biāo)為（，）．
綜上，存在使與直線的夾角等于的2倍的點(diǎn)，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖像、三角形外角等知識(shí)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
13.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，將拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線，若拋物線與拋物線相交于點(diǎn)，連接，，．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)；②是等腰直角三角形，理由見解析；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）將點(diǎn)代入即可得；
（2）①先根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律得出拋物線的表達(dá)式，再聯(lián)立兩條拋物線的表達(dá)式求解即可得；
②先根據(jù)拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出BC、BD、CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理、等腰三角形的定義即可得；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)等腰直角三角形的定義分三種情況：①當(dāng)時(shí)，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、線段中點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達(dá)式，檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在拋物線的表達(dá)式上即可；②當(dāng)時(shí)，先根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BCDP是平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)C至點(diǎn)B的平移方式與點(diǎn)D至點(diǎn)P的平移方式相同可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入拋物線的表達(dá)式，檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在拋物線的表達(dá)式上即可；③當(dāng)時(shí)，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)P在在線段BD的垂直平分線上，再利用待定系數(shù)法求出BD的垂直平分線上所在直線的解析式，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后代入拋物線的表達(dá)式，檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在拋物線的表達(dá)式上即可．
【詳解】
（1）將點(diǎn)代入拋物線的表達(dá)式得：
解得
則拋物線的表達(dá)式為
故拋物線的表達(dá)式為；
（2）①由二次函數(shù)的平移規(guī)律得：拋物線的表達(dá)式為
即
聯(lián)立，解得
則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②對(duì)于
當(dāng)時(shí)，，解得或
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為
由兩點(diǎn)之間的距離公式得：
則，
故是等腰直角三角形；
（3）拋物線的表達(dá)式為
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由題意，分以下三種情況：
①當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形
是等腰直角三角形，，
點(diǎn)D是CP的中點(diǎn)
則，解得
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
對(duì)于拋物線的表達(dá)式
當(dāng)時(shí)，
即點(diǎn)在拋物線上，符合題意
②當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形
，
，
四邊形BCDP是平行四邊形
點(diǎn)C至點(diǎn)B的平移方式與點(diǎn)D至點(diǎn)P的平移方式相同
點(diǎn)C至點(diǎn)B的平移方式為先向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
對(duì)于拋物線的表達(dá)式
當(dāng)時(shí)，
即點(diǎn)在拋物線上，符合題意
③當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形
則點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上
設(shè)直線BD的解析式
將點(diǎn)代入得：，解得
則直線BD的解析式
設(shè)BD的垂線平分線所在直線的解析式為
點(diǎn)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即
將點(diǎn)代入得：，解得
則BD的垂線平分線所在直線的解析式為
因此有，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由兩點(diǎn)之間的距離公式得：
又，為等腰直角三角形
則
解得或
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
對(duì)于拋物線的表達(dá)式
當(dāng)時(shí)，
即點(diǎn)不在拋物線上，不符合題意，舍去
當(dāng)時(shí)，
即點(diǎn)不在拋物線上，不符合題意，舍去
綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移，點(diǎn)坐標(biāo)的平移、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14.如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 交x軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作 SKIPIF 1 < 0 軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，PN有最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．（3）滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；
（2）由(1)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．
【詳解】
解：（1）將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解之，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，拋物線的表達(dá)式為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解之，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，直線BC的表達(dá)式為： SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，PN有最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）存在，理由如下：由點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ．
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，過(guò)Q作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn)E，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）
此時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
解之，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
此時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
綜上知所述，可知滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．

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