(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：

∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，
，
∴
（3）存在，或或或，，證明如下：
∵，
∵拋物線的解析式為，
∴對(duì)稱軸為：，
設(shè)點(diǎn)，
若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
綜上可得：
或或，．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；(2)最大值為，此時(shí)；(3)或或
【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；
（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對(duì)角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，即，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，
∴，∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：設(shè)，則，，
∵軸，
∴軸，即，
∴是以、為頂點(diǎn)的菱形的邊；
如圖3-1所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，即軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
如圖3-2所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-3所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-4所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如圖3-5所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)交于S，

∵軸，
∴，
∵，
∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．

(1)如果四個(gè)點(diǎn)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．
①________；
②如圖1，已知菱形的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長(zhǎng)；
③如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由．
(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值為1；(2)或
【分析】（1）①當(dāng)，，可知不在二次函數(shù)圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，則軸，，根據(jù)，即，計(jì)算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點(diǎn)為，過作軸于，過作于，由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點(diǎn)，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，計(jì)算求解即可1；
（2）由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，解得；②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，求解過程同（2）①；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且不垂直于軸時(shí)，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且垂直于軸時(shí)，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．
【詳解】（1）①解：當(dāng)，，
∴不在二次函數(shù)圖象上，
將代入，解得，
故答案為：1；
②解：由①知，二次函數(shù)解析式為，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，
由菱形的性質(zhì)得，，，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的邊長(zhǎng)為；
③解：如圖2，連接、交點(diǎn)為，過作軸于，過作于，

由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點(diǎn)，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，
∴，
∴，
∴是定值，值為1；
（2）解：由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；
①當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，
∵，
同理（1）③，，，
由題意知，，，，則，，
設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化簡(jiǎn)得，
∵
∴；
②當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，
同理可求；
③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且不垂直于軸時(shí)，
同理可求，
當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時(shí)，且垂直于軸時(shí)，
由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，；
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)為或或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別求得，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，②當(dāng)為邊時(shí)，分，，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
則，，
∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
∵，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，
∴，
∴面積的最大值；
（3）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，當(dāng)時(shí)，，即，
∵，
∴,
，，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴，
②當(dāng)為邊時(shí)，
當(dāng)四邊形為菱形，

∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中點(diǎn)重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
當(dāng)時(shí)；
如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，
∴點(diǎn)為或，
綜上所述，點(diǎn)為或或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5.（2022·湖南湘潭）已知拋物線．
(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．
①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；
②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(2)如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)①，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-），理由見解析
(2)b
【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，代入求解即可；
（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．
(1)
①解：把，代入，得
，
解得：，
∴
②解：存在，理由如下，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把， 代入，得
，
解得，
∴直線AB的解析式為y=x-3，
設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)、點(diǎn)P（m，m2-2m-3）
若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，
則或，
即或，
解得：m=2或m=或m=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-）
(2)解：把點(diǎn)D（-3，0）代入直線，解得n=4，
∴直線，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即點(diǎn)C（0，4）
∴CD==5，
∵四邊形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴點(diǎn)E（5，4）
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴，
∵該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，
分情況討論
當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)
52+5b+3b-9
綜上所述，b
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．
6．（2021·湖南中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求的值；
（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)Q．
①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)m的值；
②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．
【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見解析
【分析】
（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2，
設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），
∵0

相關(guān)試卷

題型9 二次函數(shù)綜合題 類型8 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用）：

這是一份題型9 二次函數(shù)綜合題 類型8 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用），文件包含題型9二次函數(shù)綜合題類型8二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題專題訓(xùn)練教師版docx、題型9二次函數(shù)綜合題類型8二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題專題訓(xùn)練學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共100頁， 歡迎下載使用。

題型9 二次函數(shù)綜合題 類型4 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題12題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用）：

這是一份題型9 二次函數(shù)綜合題 類型4 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題12題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用），文件包含題型9二次函數(shù)綜合題類型4二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題12題專題訓(xùn)練教師版docx、題型9二次函數(shù)綜合題類型4二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題12題專題訓(xùn)練學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共55頁， 歡迎下載使用。

題型9 二次函數(shù)綜合題 類型3 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題25題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用）：

這是一份題型9 二次函數(shù)綜合題 類型3 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題25題（專題訓(xùn)練）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國通用），文件包含題型9二次函數(shù)綜合題類型3二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題25題專題訓(xùn)練教師版docx、題型9二次函數(shù)綜合題類型3二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題25題專題訓(xùn)練學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共95頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

題型九 二次函數(shù)綜合題 類型十 二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分沖刺題型突破（全國通用）

題型九 二次函數(shù)綜合題 類型十 二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分沖刺題型突破（全國通用）
題型九 二次函數(shù)綜合題 類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分沖刺題型突破（全國通用）

題型九 二次函數(shù)綜合題 類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分沖刺題型突破（全國通用）
題型09 二次函數(shù)綜合題 類型09 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-最新中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+專題（全國通用）

題型09 二次函數(shù)綜合題 類型09 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-最新中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+專題（全國通用）
題型九 二次函數(shù)綜合題 類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國通用）

題型九 二次函數(shù)綜合題 類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部