知識(shí)點(diǎn)
1. 因式分解的定義：因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式。它常用于簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使之更容易進(jìn)行運(yùn)算和解析。
2. 因式分解的方法：常見的因式分解方法包括提取公因式法、公式法（如平方差公式、完全平方公式等）、十字相乘法等。這些方法各有特點(diǎn)，適用于不同類型的多項(xiàng)式。
提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么可以先提取公因式，再進(jìn)行因式分解。
公式法：對(duì)于符合特定公式的多項(xiàng)式，如平方差公式（a2 - b2 = (a + b)(a - b)）或完全平方公式（a2 + 2ab + b2 = (a + b)2），可以直接應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解。
十字相乘法：對(duì)于二次三項(xiàng)式（如ax2 + bx + c），如果它可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積，那么可以使用十字相乘法進(jìn)行因式分解。
3. 因式分解的應(yīng)用：因式分解在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如解一元二次方程、化簡(jiǎn)分式、計(jì)算乘法公式等。在解一元二次方程時(shí)，通過因式分解法，可以將方程轉(zhuǎn)化為幾個(gè)一次方程的乘積等于零的形式，從而求解出方程的解。
專項(xiàng)練
一、單選題
1．下列因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各多項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a(chǎn)2+4B．a(chǎn)2-2C．-a2+4D．-a2-4
3．下列各等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)等式，例如圖①可以得到用完全平方公式進(jìn)行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如圖②是由4個(gè)長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)大的長(zhǎng)方形，用不同的方式表示此長(zhǎng)方形的面積，由此不能得到的因式分解的等式是（ ）
A．a(chǎn)（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n）
B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n）
C．a(chǎn)m＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n）
D．a(chǎn)b＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n）
5．下列由左到右的變形中屬于因式分解的是 ( )
A．B．
C．D．
6．已知，，為的三邊長(zhǎng)，且滿足，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
7．代數(shù)式，，中的公因式是（ ）
A．B．C．D．
8．下列由左邊到右邊的變形中，因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
9．把a(bǔ)x2-4ax+4a分解因式，下列結(jié)果正確的是（ ）
A．a(chǎn)(x-2)2B．a(chǎn)(x+2)2C．a(chǎn)(x-4)2D．a(chǎn)(x-2)(x+2)
10．下列因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
11．因式分解：x2﹣3x= ．
12．已知，，則 ．
13．因式分解： ．
14．因式分解： ．
15．分解因式：x4﹣16＝ .
16．已知二次三項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是，則 ．
17．已知，，則 ．
18．分解因式4x2－(y－2)2＝ ．
19．因式分解(1) (2) =
(3)= (4) =
(5)= (6) =
20．分解因式： ．
三、解答題
21．張老師在黑板上寫了三個(gè)算式，希望同學(xué)們認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請(qǐng)你結(jié)合這些算式，解答下列問題：
（1）驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），則它們的平方差是8的倍數(shù)；
（2）拓展延伸：“兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”，這個(gè)結(jié)論正確嗎？正確請(qǐng)證明，不正確請(qǐng)舉反例．
22．閱讀材料，回答問題：
材料：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
分解因式：（1）；
（2）．
23．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B別在x軸y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，
，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n，且．
（1）點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A__________，B__________，C__________；
（2）如圖2，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別交邊于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
求證：①；
②四邊形面積等于面積的一半．
③在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)G（點(diǎn)G不與點(diǎn)A重合），使得是以為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．

24．因式分解：
（1）；
（2）．
25．利用因式分解計(jì)算：
（1）；
（2）．
參考答案：
1．B
2．C
3．D
4．D
5．C
6．D
7．A
8．C
9．A
10．B
11．x（x﹣3）
12．10
13．（a-b）（a-b+2）
14．
15．（x2+4）（x+2）（x﹣2）.
16．1
17．4
18．(2x＋y－2)(2x－y＋2)
19． 2a（a-2） y2（x3-2） ab（8a2b-12b2+1） 4x（-6x2-3x+7） （x-3）（a+2b） （x-y）（m-b）
20．
21．（1）略；（2）不正確，舉反例：42﹣22=12．
22．（1）；（2）
23．（1），，；（2）①略；②略；③或或
24．（1）；（2）
25．（1）314；（2）508000

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