2．不等式的解集為 ．
3．函數的最小正周期為 ．
4．已知復數滿足，則的實部為 ．
5．已知，，則 ．
6．若函數為偶函數，則 ．
7．已知直線，，若∥，則與的距離為 ．
8．已知二項式，則展開式中的系數為 ．
9．三角形中，是中點，，，，則 ．
10．已知，，，，，，，、，則的情況有 種．
11．已知、、、、五個點，滿足,,，,,，則的最小值為 ．
12．已知，其反函數為，若有實數根，則的取值范圍為 ．
二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)
13．計算：
A．3B．C．D．5
14．“”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
15．已知橢圓，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點，且，兩垂線相交于點，則點的軌跡是
A．橢圓B．雙曲線C．圓D．拋物線
16．數列各項均為實數，對任意滿足，且行列式為定值，則下列選項中不可能的是
A．，B．，C．，D．，
三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分)
17．（14分）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．
（1）若，求四棱錐的體積；
（2）若直線與的夾角為，求的長．
18．（14分）已知各項均為正數的數列，其前項和為，．
（1）若數列為等差數列，，求數列的通項公式；
（2）若數列為等比數列，，求滿足時的最小值．
19．（14分）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點，若以為原點，為軸正半軸建立直角坐標系，設點，現要建設另一座垃圾投放點，函數表示與點距離最近的垃圾投放點的距離．
（1）若，求、、的值，并寫出的函數解析式；
（2）若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？
20．（16分）已知拋物線上的動點，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點，交直線于、兩點．
（1）若點縱坐標為，求與焦點的距離；
（2）若，，，求證：為常數；
（3）是否存在，使得且為常數？若存在，求出的所有可能值，若不存在，請說明理由．
21．（18分）已知非空集合，函數的定義域為，若對任意且，不等式恒成立，則稱函數具有性質．
（1）當，判斷、是否具有性質；
（2）當，，，，若具有性質，求的取值范圍；
（3）當，，，若為整數集且具有性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的的值．
2020年上海市春季高考數學試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7-12題每題5分)
1．集合，，，，，若，則 3 ．
【思路分析】利用集合的包含關系即可求出的值．
【解析】：，且，，，故答案為：3．
【總結與歸納】本題主要考查了集合的包含關系，是基礎題．
2．不等式的解集為 ．
【思路分析】將不等式化簡后轉化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．
【解析】：由得，則，即，解得，
所以不等式的解集是，故答案為：．
【總結與歸納】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉化思想，屬于基礎題．
3．函數的最小正周期為 ．
【思路分析】根據函數的周期為，求出函數的最小正周期．
【解析】：函數的最小正周期為，故答案為：．
【總結與歸納】本題主要考查正切函數的周期性和求法，屬于基礎題．
4．已知復數滿足，則的實部為 2 ．
【思路分析】設，．根據復數滿足，利用復數的運算法則、復數相等即可得出．
【解析】：設，．復數滿足，，
可得：，，解得，．則的實部為2．故答案為：2．
【總結與歸納】本題考查了復數的運算法則、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
5．已知，，則 ．
【思路分析】根據三角函數的倍角公式，結合反三角公式即可得到結論．
【解析】：，，
，，，故．故答案為：．
【總結與歸納】本題主要考查函數值的計算，利用三角函數的倍角公式是解決本題的關鍵．
6．若函數為偶函數，則 1 ．
【思路分析】根據題意，由函數奇偶性的定義可得，變形分析可得答案．
【解析】：根據題意，函數為偶函數，則，
即，變形可得：，必有；故答案為：1．
【總結與歸納】本題考查函數的奇偶性的性質以及應用，關鍵是掌握函數奇偶性的定義，屬于基礎題．
7．已知直線，，若∥，則與的距離為 ．
【思路分析】由∥求得的值，再根據兩平行線間的距離計算即可．
【解析】：直線，，
當∥時，，解得；
當時與重合，不滿足題意；
當時∥，此時，；
則與的距離為．故答案為：．
【總結與歸納】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計算問題，是基礎題．
8．已知二項式，則展開式中的系數為 10 ．
【思路分析】由二項展開式的通項，可得到答案．
【解析】：，令，，代入通項得，所以展開式中的系數為10．故答案為：10．
【總結與歸納】本題考查利用二項式定理求特定項的系數，屬于基礎題．
9．三角形中，是中點，，，，則 ．
【思路分析】根據余弦定理即可求出，并得出，然后進行數量積的運算即可．
【解析】：在中，，，，
由余弦定理得，，
，且是的中點，
．故答案為：．
【總結與歸納】本題考查了余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，向量數乘的幾何意義，向量數量積的運算及計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．
10．已知，，，，，，，、，則的情況有 18 種．
【思路分析】先分類討論的取值，得到對應的值，再整體求和即可．
【解析】：當，有0種，當，有2種，當，有4種；
當，有6種，當，有4種；當，有2種，當，有0種，
故共有：．故答案為：18．
【總結與歸納】本題主要考查分類討論思想在概率中的應用，屬于基礎題目．
11．已知、、、、五個點，滿足,,，,,，則的最小值為 ．
【思路分析】可設，從而據題意可得出，，，并設，因為是求的最小值，從而可得出，從而可求出，從而根據基本不等式即可求出的最小值．
【解析】：設，則，，，
設，如圖，
求的最小值，則：
，，，，
，當且僅當，即時取等號，
的最小值為．故答案為：．
【總結與歸納】本題考查了向量垂直的充要條件，利用向量坐標解決向量問題的方法，基本不等式求最值的方法，考查了計算能力，屬于中檔題．
12．已知，其反函數為，若有實數根，則的取值范圍為 ， ．
【思路分析】因為與互為反函數，又有實數根與有交點方程有根．進而得出答案．
【解析】：因為與互為反函數，
又方程有實數根，
則函數的圖象與直線有交點，
所以有根，即，故答案為：，．
【總結與歸納】本題主要考查函數的性質，函數與方程的關系，屬于中檔題．
二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)
13．計算：
A．3B．C．D．5
【思路分析】把分子分母同時除以，則答案可求．
【解析】：．故選：．
【總結與歸納】本題考查數列極限的求法，是基礎的計算題．
14．“”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
【思路分析】容易看出，由可得出，而反之顯然不成立，從而可得出“”是“”的充分不必要條件．
【解析】：（1）若，則，
““是““的充分條件；
（2）若，則，得不出，
“”不是“”的必要條件，
“”是“”的充分非必要條件．故選：．
【總結與歸納】本題考查了充分條件、必要條件和充分不必要條件的定義，，正弦函數的圖象，考查了推理能力，屬于基礎題．
15．已知橢圓，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點，且，兩垂線相交于點，則點的軌跡是
A．橢圓B．雙曲線C．圓D．拋物線
【思路分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，或利用求解軌跡方程，推出結果即可．
【解析】：，，判斷軌跡為上下兩部分，即選雙曲線；
設，，所以，因為，，消去可得：，故選：．
【總結與歸納】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識的考查，基礎題．
16．數列各項均為實數，對任意滿足，且行列式為定值，則下列選項中不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】化簡行列式，由已知條件，作差化簡得．
【解析】：行列式，
對任意滿足，
，作差整理得：（常數列，，或，
當，則及，
方程 有兩根，，
?，因為錯，故選：．
【總結與歸納】本題考查行列式，以及方程求解，屬于中檔題．
三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分)
17．（14分）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．
（1）若，求四棱錐的體積；
（2）若直線與的夾角為，求的長．
【思路分析】（1）利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可．
（2）由已知中四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面．異面直線與所成角為，可得，且為直角三角形，，代入求出后，解直角可得答案．
【解析】：（1）平面，．
，，，，
所以四棱錐的體積為12．
（2）是正方形，平面，，
又平面
異面直線與所成角為，
為異面直線與所成的角
在中，，故
在中，又
【總結與歸納】本題考查幾何體的體積，空間點線面的距離的求法，考查轉化思想以及空間想象能力，計算能力，是中檔題．
18．（14分）已知各項均為正數的數列，其前項和為，．
（1）若數列為等差數列，，求數列的通項公式；
（2）若數列為等比數列，，求滿足時的最小值．
【思路分析】（1）設等差數列的公差為，運用等差數列的求和公式，解方程可得，進而得到所求通項公式；
（2）設等比數列的公比為，由等比數列的通項公式可得，再由等比數列的求和公式，解不等式可得的最小值．
【解析】：（1）數列為公差為的等差數列，，，
可得，解得，則；
（2）數列為公比為的等比數列，，，
可得，即，則，，
，即為，即，可得，即的最小值為7．
【總結與歸納】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
19．（14分）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點，若以為原點，為軸正半軸建立直角坐標系，設點，現要建設另一座垃圾投放點，函數表示與點距離最近的垃圾投放點的距離．
（1）若，求、、的值，并寫出的函數解析式；
（2）若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？
【思路分析】（1）利用題目所給定義表示出，，分類討論可得；
（2）利用題意可得，表示出與坐標軸圍成的面積，進而表示出面積不等式，解出不等式即可
【解析】：（1）投放點，，表示與距離最近的投放點（即的距離，所以，同理分析，，，
由題意得，，，
則當，即時，；
當，即時，；
綜上；
（2）由題意得，，
所以，則與坐標軸圍成的面積如陰影部分所示，
所以，
由題意，，即，
解得，即垃圾投放點建在與之間時，比建在中點時更加便利．
【總結與歸納】本題是新定義問題，考查對題目意思的理解，分類討論是關鍵，屬于中檔題．
20．（16分）已知拋物線上的動點，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點，交直線于、兩點．
（1）若點縱坐標為，求與焦點的距離；
（2）若，，，求證：為常數；
（3）是否存在，使得且為常數？若存在，求出的所有可能值，若不存在，請說明理由．
【思路分析】（1）點的橫坐標，由，得，由此能求出與焦點的距離．
（2）設，直線，當時，，同理求出，由此能證明為常數．
（3）解設，，直線，聯立，得，求出，同理得，由此能求出存在，使得且為常數1．
【解析】：（1）解：拋物線上的動點，，
過分別作兩條直線交拋物線于、兩點，交直線于、兩點．
點縱坐標為，
點的橫坐標，
，，
與焦點的距離為．
（2）證明：設，直線，
當時，，
直線，時，，，
為常數．
（3）解：設，，直線，
聯立，得，
，即，
同理得，
，
，
要使為常數，即，此時為常數1，
存在，使得且為常數1．
【總結與歸納】本題考查點到焦點的距離的求法，考查兩點縱坐標乘積為常數的證明，考查滿足兩點縱坐標乘積為常數的實數值是否存在的判斷與求法，考查拋物線、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
21．（18分）已知非空集合，函數的定義域為，若對任意且，不等式恒成立，則稱函數具有性質．
（1）當，判斷、是否具有性質；
（2）當，，，，若具有性質，求的取值范圍；
（3）當，，，若為整數集且具有性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的的值．
【思路分析】（1）利用函數的單調性結合新定義，逐個判斷即可；
（2）依題意，為增函數，由雙勾函數的圖象及性質即得解；
（3）由題意，，，又為常值函數，故，由此即可得解．
【解析】：（1）為減函數，，具有性質；
為增函數，，不具有性質；
（2）依題意，對任意，恒成立，
為增函數（不可能為常值函數），
由雙勾函數的圖象及性質可得（因為在上是增函數）
當時，函數單調遞增，滿足對任意，恒成立，
綜上，實數的取值范圍為，．
（3）為整數集，具有性質的函數均為常值函數，
當，恒成立，周期為2，
設，，
由題意，，則，
當，，，
當，，，
綜上，為奇數．
【總結與歸納】本題以新定義為載體，考查抽象函數的性質及其運用，考查邏輯推理能力及靈活運用知識的能力，屬于中檔題．
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