?2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷
　
一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫結(jié)果，每題填對得3分，否則一律得0分．
1．（3分）函數(shù)y=log2（x+2）的定義域是　 　．
2．（3分）方程2x=8的解是　 ?。?br /> 3．（3分）拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是　 　．
4．（3分）函數(shù)y=2sinx的最小正周期是　 ?。?br /> 5．（3分）已知向量，．若，則實數(shù)k=　 ?。?br /> 6．（3分）函數(shù)y=4sinx+3cosx的最大值是　 ?。?br /> 7．（3分）復(fù)數(shù)2+3i（i是虛數(shù)單位）的模是　 　．
8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，則b=　 ?。?br /> 9．（3分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C所成角的大小為　 ?。?br />
10．（3分）從4名男同學(xué)和6名女同學(xué)中隨機選取3人參加某社團活動，選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為　 　（結(jié)果用數(shù)值表示）．
11．（3分）若等差數(shù)列的前6項和為23，前9項和為57，則數(shù)列的前n項和Sn=　 ?。?br /> 12．（3分）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36=22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得2000的所有正約數(shù)之和為　 ?。?br /> 　
二．選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的．考生必須把真確結(jié)論的代碼寫在題后的括號內(nèi)，選對得3分，否則一律得0分．
13．（3分）展開式為ad﹣bc的行列式是（　?。?br /> A． B． C． D．
14．（3分）設(shè)f﹣1（x）為函數(shù)f（x）=的反函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=4
15．（3分）直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量是（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
16．（3分）函數(shù)f（x）=的大致圖象是（　?。?br /> A． B． C． D．
17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　?。?br /> A． B．a(chǎn)b＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．
18．（3分）若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1=，則z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點Z1，Z2（　?。?br /> A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y=x對稱
19．（3分）（1+x）10的二項展開式中的一項是（　?。?br /> A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4
20．（3分）既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　　）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
21．（3分）若兩個球的表面積之比為1：4，則這兩個球的體積之比為（　?。?br /> A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
22．（3分）設(shè)全集U=R，下列集合運算結(jié)果為R的是（　?。?br /> A．Z∪?UN B．N∩?UN C．?U（?u?） D．?U{0}
23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的（　　）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
24．（3分）已知A，B為平面內(nèi)兩個定點，過該平面內(nèi)動點m作直線AB的垂線，垂足為N．若=λ?，其中λ為常數(shù)，則動點m的軌跡不可能是（　?。?br /> A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
　
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有7題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
25．（7分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，異面直線BC1與AA1所成角的大小為，求該三棱柱的體積．

26．（7分）如圖，某校有一塊形如直角三角形ABC的空地，其中∠B為直角，AB長40米，BC長50米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且B為矩形的一個頂點，求該健身房的最大占地面積．

27．（8分）已知數(shù)列{an}的前n項和為S，數(shù)列{bn}滿足b，求．
28．（13分）已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），短軸的兩個端點分別為B1，B2
（1）若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，求直線l的方程．
29．（12分）已知拋物線C：y2=4x 的焦點為F．
（1）點A，P滿足．當(dāng)點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
30．（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在y軸正半軸上，點Pn在x軸上，其橫坐標(biāo)為xn，且{xn} 是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，記∠PnAPn+1=θn，n∈N*．
（1）若，求點A的坐標(biāo)；
（2）若點A的坐標(biāo)為（0，8），求θn的最大值及相應(yīng)n的值．

31．（18分）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）．
　

2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫結(jié)果，每題填對得3分，否則一律得0分．
1．（3分）函數(shù)y=log2（x+2）的定義域是?。ī?，+∞）?。?br /> 【分析】要使函數(shù)有意義，只需令x+2＞0即可．
【解答】解：欲使函數(shù)有意義，須有x+2＞0，解得x＞﹣2，
所以函數(shù)的定義域為（﹣2，+∞）．
故答案為：（﹣2，+∞）．
【點評】本題考查函數(shù)定義域的求法，屬基礎(chǔ)題．
　
2．（3分）方程2x=8的解是　3　．
【分析】由已知條件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解．
【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解為3，
故答案為 3．
【點評】本題主要考查指數(shù)方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．
　
3．（3分）拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是　x=﹣2?。?br /> 【分析】根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，可得拋物線以原點為頂點，開口向右，由2p=8算出=2，即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程．
【解答】解：∵拋物線的方程為y2=8x
∴拋物線以原點為頂點，開口向右．
由2p=8，可得=2，可得拋物線的焦點為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣2
故答案為：x=﹣2
【點評】本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求拋物線的準(zhǔn)線方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
4．（3分）函數(shù)y=2sinx的最小正周期是　2π?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)y=2sinωx的最小正周期是 ，運算可得結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)y=2sinx的最小正周期是 ==2π，
故答案為 2π．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及求法，屬于基礎(chǔ)題．
　
5．（3分）已知向量，．若，則實數(shù)k=　?。?br /> 【分析】根據(jù)向量平行的充要條件可得關(guān)于k的方程，解出即可．
【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，
故答案為：．
【點評】本題考查向量共線的充要條件，若，則?x1y2﹣x2y1=0．
　
6．（3分）函數(shù)y=4sinx+3cosx的最大值是　5　．
【分析】利用輔助角公式把所給的函數(shù)解析式化為y=5sin（x+?），再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，求得它的最大值．
【解答】解：∵函數(shù)y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+?），（其中，cos?=，sin?=）
故函數(shù)的最大值為5，
故答案為5．
【點評】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．
　
7．（3分）復(fù)數(shù)2+3i（i是虛數(shù)單位）的模是　　．
【分析】利用模長公式|z|=，代入計算即可得出復(fù)數(shù)2+3i（i是虛數(shù)單位）的模．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)2+3i，
∴2+3i的模 =．
故答案為：．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的概念及模長計算公式，是一道基礎(chǔ)題．
　
8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，則b=　7　．
【分析】根據(jù)余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入題中的數(shù)據(jù)得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．
【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，
∴根據(jù)余弦定理，得
b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49
解之得b=7（舍負(fù)）
故答案為：7
【點評】本題給出△ABC兩條邊長及其夾角大小，求第三邊的長度．著重考查了利用余弦定理解三角形的知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
9．（3分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C所成角的大小為　60°?。?br />
【分析】連接A1D，根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義，我們可得∠BA1D即為異面直線A1B與B1C所成的角，連接BD后，解三角形BA1D即可得到異面直線A1B與B1C所成的角．
【解答】解：連接A1D，由正方體的幾何特征可得：A1D∥B1C，
則∠BA1D即為異面直線A1B與B1C所成的角，
連接BD，易得：
BD=A1D=A1B
故∠BA1D=60°
故答案為：60°
【點評】本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義判斷出∠BA1D即為異面直線A1B與B1C所成的角，是解答本題的關(guān)鍵．
　
10．（3分）從4名男同學(xué)和6名女同學(xué)中隨機選取3人參加某社團活動，選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為　?。ńY(jié)果用數(shù)值表示）．
【分析】先求對立事件“選出的3人中只有男同學(xué)或只有女同學(xué)”的概率，然后根據(jù)對立事件的概率和為1可得答案．
【解答】解：從10人中選出的3人中只有男同學(xué)或只有女同學(xué)的概率為：=，
則選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為：1﹣=．
故答案為：．
【點評】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬基礎(chǔ)題．
　
11．（3分）若等差數(shù)列的前6項和為23，前9項和為57，則數(shù)列的前n項和Sn=　?。?br /> 【分析】設(shè)等差數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn，則由題意可得 ，解得a、b的值，即可求得數(shù)列的前n項和Sn的解析式．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn，則由題意可得 ，解得 ，
故數(shù)列的前n項和Sn=，
故答案為 ．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式的結(jié)構(gòu)特征，用待定系數(shù)法函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．
　
12．（3分）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36=22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得2000的所有正約數(shù)之和為　4836　．
【分析】這是一個類比推理的問題，在類比推理中，參照上述方法，2000的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為2000=24×53，所以2000的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．
【解答】解：類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：
2000的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為2000=24×53，
所以2000的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．
可求得2000的所有正約數(shù)之和為 4836．
故答案為：4836．
【點評】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．
　
二．選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的．考生必須把真確結(jié)論的代碼寫在題后的括號內(nèi)，選對得3分，否則一律得0分．
13．（3分）展開式為ad﹣bc的行列式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)叫做二階行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根據(jù)所給的式子即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)叫做二階行列式，它的算法是：ad﹣bc，
由題意得，=ad﹣bc．
故選：B．
【點評】本題考查的是二階行列式與逆矩陣，根據(jù)題意二階行列式的意義得出所求代數(shù)式是解答此題的關(guān)鍵．
　
14．（3分）設(shè)f﹣1（x）為函數(shù)f（x）=的反函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=4
【分析】本題的關(guān)鍵是求函數(shù)f（x）=的反函數(shù)，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)式f（x）=中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．
【解答】解：∵f﹣1（x）為函數(shù)f（x）=的反函數(shù)，
∴f﹣1（x）=x2，（x≥0），
∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16，
故選：B．
【點評】本題考查反函數(shù)的求法及不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目，要會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系．
　
15．（3分）直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量是（　　）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
【分析】題意可得首先求出直線的斜率為：k=，即可得到它的一個方向向量（1，k），再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案．
【解答】解：由題意可得：直線2x﹣3y+1=0的斜率為k=，
所以直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量 =（1，），或（3，2）
故選：D．
【點評】本題主要考查直線的方向向量，以及平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．
　
16．（3分）函數(shù)f（x）=的大致圖象是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】篩選法：利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義域進(jìn)行篩選即可得到答案．
【解答】解：因為﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，排除選項B、C；
又f（x）的定義域為（0，+∞），
故排除選項D，
故選：A．
【點評】本題考查冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，篩選法是解決選擇題的常用技巧，要掌握．
　
17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　?。?br /> A． B．a(chǎn)b＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．
【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各個選項檢驗，只有D正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得 =﹣1，∴，故A不正確．
可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正確．
可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正確．
故選：D．
【點評】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法比較幾個式子在限定條件下的大小關(guān)系，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．
　
18．（3分）若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1=，則z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點Z1，Z2（　?。?br /> A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y=x對稱
【分析】由題意可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點Z1，Z2關(guān)于x軸對稱．
【解答】解：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1=，則z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，故z1，z2在復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)的點Z1，Z2關(guān)于x軸對稱，
故選：A．
【點評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
　
19．（3分）（1+x）10的二項展開式中的一項是（　?。?br /> A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4
【分析】根據(jù)（1+x）10的二項展開式的通項公式為 Tr+1=?xr，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1+x）10的二項展開式的通項公式為 Tr+1=?xr，故當(dāng)r=3時，此項為120x3，
故選：C．
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中的某一項，屬于中檔題．
　
20．（3分）既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　?。?br /> A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A、C，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除D，經(jīng)檢驗B中的函數(shù)滿足條件，從而得出結(jié)論．
【解答】解：由于函數(shù)y=sinx和 y=sin2x都是奇函數(shù)，故排除A、C．
由于函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，周期等于2π，且在（0，π）上是減函數(shù)，故滿足條件．
由于函數(shù)y=cos2x是偶函數(shù)，周期等于π，在（0，）上是減函數(shù)，在（，π）上是增函數(shù)，故不滿足條件．
故選：B．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題．
　
21．（3分）若兩個球的表面積之比為1：4，則這兩個球的體積之比為（　?。?br /> A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】設(shè)兩個球的半徑分別為r1、r2，根據(jù)球的表面積公式算出它們的表面積之比為=，解之得=，由此結(jié)合球的體積公式即可算出這兩個球的體積之比．
【解答】解：設(shè)兩個球的半徑分別為r1、r2，根據(jù)球的表面積公式，
可得它們的表面積分別為S1=4，S2=4
∵兩個球的表面積之比為1：4，
∴===，解之得=（舍負(fù)）
因此，這兩個球的體積之比為==（）3=
即兩個球的體積之比為1：8
故選：C．
【點評】本題給出兩個球的表面積之比，求它們的體積之比．著重考查了球的表面積公式和體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
22．（3分）設(shè)全集U=R，下列集合運算結(jié)果為R的是（　　）
A．Z∪?UN B．N∩?UN C．?U（?u?） D．?U{0}
【分析】根據(jù)題目中條件“全集U=R”，對各個選項一一進(jìn)行集合的運算，即可得出答案．
【解答】解：∵全集U=R，
∴Z∪?UN=R，N∩?UN=?，?U（?u?）=?，?U{0}={x∈R|x≠0}．
故選：A．
【點評】本題主要考查了交、并、補集的混合運算，屬于基礎(chǔ)題．
　
23．（3分）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的（　?。?br /> A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【分析】根據(jù)充要條件的定義可知，只要看“b2﹣4ac＜0”與“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”能否相互推出即可．
【解答】解：若a≠0，欲保證函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方，則必須保證拋物線開口向上，且與x軸無交點；
則a＞0且△=b2﹣4ac＜0．
但是，若a=0時，如果b=0，c＞0，則函數(shù)f（x）=ax2+bx+c=c的圖象恒在x軸上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；
反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”，如a＜0時．
從而，“b2﹣4ac＜0”是“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的既非充分又非必要條件．
故選：D．
【點評】本題考查的是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度一般．學(xué)生要熟記二次函數(shù)的性質(zhì)方能得心應(yīng)手的解題．
　
24．（3分）已知A，B為平面內(nèi)兩個定點，過該平面內(nèi)動點m作直線AB的垂線，垂足為N．若=λ?，其中λ為常數(shù)，則動點m的軌跡不可能是（　?。?br /> A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出A、B坐標(biāo)，以及M坐標(biāo)，通過已知條件求出M的方程，然后判斷選項．
【解答】解：以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，
設(shè)M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；
因為=λ?，
所以y2=λ（x+a）（a﹣x），
即λx2+y2=λa2，當(dāng)λ=1時，軌跡是圓．
當(dāng)λ＞0且λ≠1時，是橢圓的軌跡方程；
當(dāng)λ＜0時，是雙曲線的軌跡方程．
當(dāng)λ=0時，是直線的軌跡方程；
綜上，方程不表示拋物線的方程．
故選：D．
【點評】本題考查曲線軌跡方程的求法，軌跡方程與軌跡的對應(yīng)關(guān)系，考查分類討論思想、分析問題解決問題的能力以及計算能力．
　
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有7題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
25．（7分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，異面直線BC1與AA1所成角的大小為，求該三棱柱的體積．

【分析】因為 CC1∥AA1．根據(jù)異面直線所成角的定義得∠BC1C為異面直線BC1與AA1所成的角，從而∠BC1C=．在Rt△BC1C中，求得BC，從而求出S△ABC，最后利用柱體的體積公式即可求出該三棱柱的體積．
【解答】解：因為 CC1∥AA1．
所以∠BC1C為異面直線BC1與AA1所成的角，即∠BC1C=．
在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×=2，
從而S△ABC==3，
因此該三棱柱的體積為V=S△ABC×AA1=3×6=18．
【點評】本題考查三棱柱體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
　
26．（7分）如圖，某校有一塊形如直角三角形ABC的空地，其中∠B為直角，AB長40米，BC長50米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且B為矩形的一個頂點，求該健身房的最大占地面積．

【分析】設(shè)出矩形的邊FP的邊長，利用三角形相似求出矩形的寬，表示出矩形面積，利用二次函數(shù)的最值求解即可．
【解答】解：如圖，設(shè)矩形為EBFP，F(xiàn)P長為x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面積為y平方米．因為△CFP∽△CBA，
以，，求得BF=50﹣，
從而y=BF?FP=（50﹣）?x
=﹣
=﹣
≤500．
當(dāng)且僅當(dāng)x=20時，等號成立．
答：該健身房的最大占地面積為500平方米．

【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，表示出函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．
　
27．（8分）已知數(shù)列{an}的前n項和為S，數(shù)列{bn}滿足b，求．
【分析】先由Sn求出an，進(jìn)而得到bn，由bn的表達(dá)式可判斷數(shù)列{bn}是無窮等比數(shù)列，從而可得答案．
【解答】解：當(dāng)n≥2時，=﹣2n+2，
且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2．
因為=，所以數(shù)列{bn}是首項為1、公比為的無窮等比數(shù)列．
故==．
【點評】本題考查數(shù)列的極限、等差數(shù)列的前n項和，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)Sn與an的關(guān)系求出an．
　
28．（13分）已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），短軸的兩個端點分別為B1，B2
（1）若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，求直線l的方程．
【分析】（1）由△F1B1B2為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，則橢圓C的方程可求；
（2）由給出的橢圓C的短軸長為2，結(jié)合c=1求出橢圓方程，分過點F2的直線l的斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系寫出兩個交點的橫坐標(biāo)的和，把轉(zhuǎn)化為數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)后可求直線的斜率，則直線l的方程可求．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的方程為．
根據(jù)題意知，解得，
故橢圓C的方程為．
（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得橢圓C的方程為．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x=1，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1）．
由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則
，

因為，所以，即

=
=
=，解得，即k=．
故直線l的方程為或．
【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了根與系數(shù)關(guān)系，屬有一定難度題目．
　
29．（12分）已知拋物線C：y2=4x 的焦點為F．
（1）點A，P滿足．當(dāng)點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)出動點P和A的坐標(biāo)，求出拋物線焦點F的坐標(biāo)，由得出P點和A點的關(guān)系，由代入法求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)出點Q的坐標(biāo)，在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對稱點Q′的坐標(biāo)，由斜率關(guān)系及中點在y=2x上得到兩對稱點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由點Q′在拋物線上，把其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（xA，yA），則，
因為F的坐標(biāo)為（1，0），所以，
由，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．
即，解得
代入y2=4x，得到動點P的軌跡方程為y2=8﹣4x．
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（t，0）．點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q′（x，y），
則，解得．
若Q′在C上，將Q′的坐標(biāo)代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．
所以存在滿足題意的點Q，其坐標(biāo)為（0，0）和（）．
【點評】本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，考查了代入法求曲線方程，考查了存在性問題的求解方法，屬中檔題．
　
30．（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在y軸正半軸上，點Pn在x軸上，其橫坐標(biāo)為xn，且{xn} 是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，記∠PnAPn+1=θn，n∈N*．
（1）若，求點A的坐標(biāo)；
（2）若點A的坐標(biāo)為（0，8），求θn的最大值及相應(yīng)n的值．

【分析】（1）利用{xn} 是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，確定通項，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標(biāo)；
（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)A（0，t）（t＞0），根據(jù)題意，xn=2n﹣1．
由，知，
而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，
所以，解得t=4或t=8．
故點A的坐標(biāo)為（0，4）或（0，8）．
（2）由題意，點Pn的坐標(biāo)為（2n﹣1，0），tan∠OAPn=．
∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）==．
因為≥，所以tanθn≤=，
當(dāng)且僅當(dāng)，即n=4時等號成立．
∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)n=4時，θn最大，其最大值為．
【點評】本題考查等比數(shù)列，考查差角的正切函數(shù)，考查基本不等式的運用，正確運用差角的正切公式是關(guān)鍵．
　
31．（18分）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）．
【分析】（1）先寫出平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù)，利用題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心．
（2）設(shè)h（x）= 的對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）﹣b是奇函數(shù)，從而求出a，b的值，即可得出圖象對稱中心的坐標(biāo)．
（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù)．修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”．
【解答】解：（1）平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，
由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)是（1，﹣2）．
（2）設(shè)h（x）= 的對稱中心為P（a，b），
由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）﹣b是奇函數(shù)．
設(shè)f（x）=h（x+a）﹣b，則f（x）=﹣b，
即f（x）=．
由不等式的解集關(guān)于原點對稱，則﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．
此時f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．
任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，
所以函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）．
（3）此命題是假命題．
舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對稱圖象，
但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù)．
修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”．
【點評】本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
　

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