1．設(shè)全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，則（
A．，B．，C．，D．，，，1，3
2．設(shè)，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
4．從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：，將所得數(shù)據(jù)分為9組：，，，，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間，內(nèi)的個(gè)數(shù)為
A．10B．18C．20D．36
5．若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
7．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A．①B．①③C．②③D．①②③
9．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．
10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
11．在的展開式中，的系數(shù)是 ．
12．已知直線和圓相交于，兩點(diǎn)．若，則的值為 ．
13．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為 ；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為 ．
14．已知，，且，則的最小值為 ．
15．如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為 ，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．
16．（14分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
18．（15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．
19．（15分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
20．（16分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（?。┣笄€在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，，且，有．
2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，則（ ）
A．，B．，C．，D．，，，1，3
【思路分析】進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．
【解析】：全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，則，，，，，故選：．
【總結(jié)與歸納】考查列舉法的定義，以及補(bǔ)集、并集的運(yùn)算．
2．設(shè)，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【思路分析】解得的范圍，即可判斷出結(jié)論．
【解析】：由，解得或，故”是“”的充分不必要條件，
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
【思路分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負(fù)即可判斷．
【解析】：函數(shù)，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除，，當(dāng)是，，故排除，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題．
4．從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：，將所得數(shù)據(jù)分為9組：，，，，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間，內(nèi)的個(gè)數(shù)為
A．10B．18C．20D．36
【思路分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出徑徑落在區(qū)間，的頻率，再乘以樣本的個(gè)數(shù)即可．
【解析】：直徑徑落在區(qū)間，的頻率為，
則被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間，內(nèi)的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題．
5．若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
【思路分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出半徑后，即可求出球的表面積．
【解析】：由題意，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，
所以，所以，．故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力，球的內(nèi)接體問題，是基礎(chǔ)題．
6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【思路分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
【解析】：，，則，
，，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
【思路分析】先求出直線的方程和雙曲線的漸近線方程，根據(jù)直線平行和垂直即可求出，的值，可得雙曲線的方程．
【解析】：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，
雙曲線的方程為的漸近線方程為，
的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，
，，，，雙曲線的方程為，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了雙曲線的漸近線方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的平行和垂直，屬于中檔題．
8．已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【思路分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式可判斷①，結(jié)合函數(shù)最值取得條件可判斷②，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可判斷③．
【解析】：因?yàn)椋?br>①由周期公式可得，的最小正周期，故①正確；、
②，不是的最大值，故②錯(cuò)誤；
③根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則可得，函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，故③正確．故選：．
【總結(jié)與歸納】本題以命題的真假判斷為載體，主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔試題．
9．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【思路分析】問題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)根，與有四個(gè)交點(diǎn)，再分三種情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論兩個(gè)函數(shù)四否能有4個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得出的取值范圍．
【解析】解法一：若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，
則有四個(gè)根，
即與有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與圖象如下：
兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，與軸交于兩點(diǎn)，
圖象如圖所示，
兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，
與軸交于兩點(diǎn)，
在，內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以若有四個(gè)交點(diǎn)，
只需與在，還有兩個(gè)交點(diǎn)，即可，
即在，還有兩個(gè)根，
即在，還有兩個(gè)根，
函數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），
所以，且，
所以，
綜上所述，的取值范圍為，，．故選：．
解法二：（范世祥補(bǔ)解）：令 QUOTE
QUOTE 顯然是零點(diǎn)， QUOTE 時(shí)， QUOTE 有3個(gè)零點(diǎn)
① QUOTE 時(shí)， QUOTE ，整理得 QUOTE （1）
② QUOTE 時(shí)， QUOTE ，整理得 QUOTE （2）
QUOTE . QUOTE 時(shí)，方程（2）顯然無(wú)解，所以方程（1）有三個(gè)解，
令 QUOTE ， QUOTE ， 只需 QUOTE ，可得 QUOTE ；
QUOTE . QUOTE 時(shí)，方程（2）有兩解， QUOTE 顯然有一解
綜上，， QUOTE .
【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用分類討論思想，分析函數(shù)的交點(diǎn)，屬于中檔題．
二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．
10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
【思路分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出．
【解析】：是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，故答案為：
【總結(jié)與歸納】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
11．在的展開式中，的系數(shù)是 10 ．
【思路分析】在的展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于2，求出的值，即可得到展開式中的系數(shù)．
【解析】：的展開式的通項(xiàng)公式為 ，
令，得，的系數(shù)是，故答案為10．
【總結(jié)與歸納】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．
12．已知直線和圓相交于，兩點(diǎn)．若，則的值為 5 ．
【思路分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得，計(jì)算可得答案．
【解析】：根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑為；
則圓心到直線的距離，
若，則有，故；故答案為：5
【總結(jié)與歸納】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
13．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為 ；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為 ．
【思路分析】根據(jù)互斥事件的概率公式計(jì)算即可．
【解析】：甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和，則，
甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為，故答案為：，．
【總結(jié)與歸納】本題考查了互斥事件的概率公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知，，且，則的最小值為 4 ．
【思路分析】由，利用基本不等式即可求出．
【解析】：，，且，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或， 取等號(hào)，
故答案為：4
【總結(jié)與歸納】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
15．如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為 ，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
【思路分析】以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，再設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積可得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．
【解析】：解法一：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
，，，，，，，，
設(shè)，，，，，，
，解得，，，
，，，，
，設(shè)，則，其中，
，，，，
，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，．
解法二：（范世祥補(bǔ)解）：因?yàn)?QUOTE 所以可知直線 QUOTE 平行直線 QUOTE ．所以 QUOTE ．所以 QUOTE ，
解得 QUOTE ．所以 QUOTE ．
取 QUOTE 中點(diǎn) QUOTE ，所以 QUOTE ．
因?yàn)?QUOTE 為定值，
所以要使 QUOTE 的值最小只需要使 QUOTE 最小，當(dāng) QUOTE 垂直 QUOTE 時(shí)， QUOTE 最小，
最小值為 QUOTE ，所以原式最小值為
QUOTE ．
【總結(jié)與歸納】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．
16．（14分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理即可求出的大小，
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理即可求出的值，
（Ⅲ）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出．
【解析】：（Ⅰ）由余弦定理以及，，，
則，
，；
（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；
（Ⅲ） 由，及，可得，
則，
，
．
【總結(jié)與歸納】本題考了正余弦定理，同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
【思路分析】（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量的數(shù)量積等于0，即可證明；
（Ⅱ）先平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式，求出二面角的正弦值；
（Ⅱ）求出，值，即可求出直線與平面所成角的正弦值．
【解析】：以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
（Ⅰ）證明：依題意，，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依題意，，0，是平面的一個(gè)法向量，
，2，，，0，，
設(shè)，，為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，則，，，
，，，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依題意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，為平面的一個(gè)法向量，
，，
直線與平面所成角的正弦值為．
【總結(jié)與歸納】本題考查了空間向量在幾何中的應(yīng)用，線線平行和二面角和線面角的求法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
18．（15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)可得，由，可得，即可求出橢圓方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意可得直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的斜率，根據(jù)直線垂直即可求出的值，可得直線的方程．
【解析】：（Ⅰ）由已知可得，記半焦距為，由可得，
由，可得，
橢圓的方程為，
（Ⅱ）：直線與為圓心的圓相切于點(diǎn)，
，
根據(jù)題意可得直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的方程為，
由方程組，消去可得，解得，或，
依題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故直線的斜率為，
，，整理可得，解得或，
直線的方程為或．
即直線 QUOTE 的方程為或．
【總結(jié)與歸納】本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
19．（15分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【思路分析】（Ⅰ）分別根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；
（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和作差法即可比較大小，則課證明；
（Ⅲ）分類討論，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前項(xiàng)和．
【解析】：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，則，可得，，
，，
，解得，；
證明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
，，
，
；
解：（Ⅲ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)，有，
和，①，
由①可得，②，
①②得，
，因此．
數(shù)列的前項(xiàng)和．
【總結(jié)與歸納】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了不等式的大小比較，考查了數(shù)列求和的方法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．
20．（16分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（?。┣笄€在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，，且，有．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；
根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系，即可求出；
（Ⅱ）要證不等式成立，只要證明，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系，以及放縮法即可證明．
【解析】：當(dāng)時(shí)，，
故，（1），（1），
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．
，，
，
令，解得，
當(dāng)，，當(dāng)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
是極小值點(diǎn)，極小值為（1），無(wú)極大值；
證明：（Ⅱ）由，則，
對(duì)任意的，，，且，令，，
則，
，
，①
令，，
當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞增，
當(dāng)，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，（1）
即，③，
由①②③可得，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，，且，有．
【總結(jié)與歸納】本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值的基本題型，不等式的證明，屬于難題．
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《初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡(jiǎn)介：
目前有11個(gè)群（9個(gè)高中群，2個(gè)初中群），共4000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的高中數(shù)學(xué)教研！
特別說(shuō)明：
1.本系列群只探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究、高中數(shù)學(xué)試題研究等相關(guān)話題；
2.由于本群是集“研究—寫作—發(fā)表（出版）”于一體的“橋梁”，涉及業(yè)務(wù)合作，特強(qiáng)調(diào)真誠(chéng)交流，入群后立即群名片：
教師格式：省+市+真實(shí)姓名，如：四川成都張三
編輯格式：公司或者刊物（簡(jiǎn)寫）+真實(shí)姓名
歡迎各位老師邀請(qǐng)你身邊熱愛高中數(shù)學(xué)教研（不喜歡研究的謝絕）的教師好友（學(xué)生謝絕）加入，大家共同研究，共同提高！
群主二維碼：見右圖
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