1．已知集合，0，1，，，則
A．，0，B．，C．，1，D．，
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則
A．B．C．D．
3．在的展開式中，的系數(shù)為
A．B．5C．D．10
4．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為
A．B．C．D．
5．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為
A．4B．5C．6D．7
6．已知函數(shù)，則不等式的解集是
A．B．，，
C．D．，，
7．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線
A．經(jīng)過點(diǎn)B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線D．垂直于直線
8．在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
9．已知，，則“存在使得”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
10．2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是
A．B．
C．D．
二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。
11．函數(shù)的定義域是 ．
12．已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是 ．
13．已知正方形的邊長為2，點(diǎn)滿足，則 ； ．
14．若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為 ．
15．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，用的大小評價在，這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．
給出下列四個結(jié)論：
①在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
③在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；
④甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（13分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（13分）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）和的面積．
條件①：，；
條件②：，．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．
18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：
假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）
19．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
20．（15分）已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別交直線于點(diǎn)，．求的值．
21．（15分）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；
②對于中任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得．
（Ⅰ）若，2，，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
（Ⅱ）若，2，，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
（Ⅲ）若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列．
2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．已知集合，0，1，，，則
A．，0，B．，C．，1，D．，
【思路分析】根據(jù)交集的定義寫出即可．
【解析】：集合，0，1，，，則，，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了交集的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則
A．B．C．D．
【思路分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出的表達(dá)式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，，則，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．
3．在的展開式中，的系數(shù)為
A．B．5C．D．10
【思路分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于2，求出的值，即可求得的系數(shù)．
【解析】：的展開式中，通項(xiàng)公式為，
令，求得，可得的系數(shù)為，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為
A．B．C．D．
【思路分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．
【解析】：幾何體的直觀圖如圖：是三棱柱，底面邊長與側(cè)棱長都是2，
幾何體的表面積為：．故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是基本知識的考查．
5．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為
A．4B．5C．6D．7
【思路分析】結(jié)合題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象求出答案即可．
【解析】：如圖示：
，
半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，可得該圓的圓心軌跡為為圓心，1為半徑的圓，
故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時，連結(jié)，在上且，此時距離最小，
由，得，即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了圓的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道常規(guī)題．
6．已知函數(shù)，則不等式的解集是
A．B．，，
C．D．，，
【思路分析】不等式即．由于函數(shù)和直線的圖象都經(jīng)過點(diǎn)、，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．
【解析】：法一：（通解）（圖像法），由不等式，即．
由于函數(shù)和直線的圖象都經(jīng)過點(diǎn)、，如圖所示：
不等式的解集是，，，
故選：．
法二：（特值法）（甘肅潘裕補(bǔ)解），我們遵從小題巧做的原則，令x=2，排除AC，再令x=-1,排除B,故選D
【總結(jié)與歸納】本題主要考查其它不等式的解法，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
7．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線
A．經(jīng)過點(diǎn)B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線D．垂直于直線
【思路分析】本題屬于選擇題，不妨設(shè)拋物線的方程為，不妨設(shè)，可得可得四邊形為正方形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直可得答案．
【解析】：（本題屬于選擇題）不妨設(shè)拋物線的方程為，則，準(zhǔn)線為為，
不妨設(shè)，，設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點(diǎn)為，則，
可得四邊形為正方形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直，
故可得線段的垂直平分線，經(jīng)過點(diǎn)，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了拋物線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
8．在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
【思路分析】由已知求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開始為正值，進(jìn)一步分析得答案．
【解析】：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由，，得，
．由，得，而，
可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開始為正值．
可知，，，為最大項(xiàng)，
自起均小于0，且逐漸減?。?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)．故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查分析問題與解決問題的能力，是中檔題．
9．已知，，則“存在使得”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【思路分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別討論為偶數(shù)和奇數(shù)時，是否成立即可．
【解析】：當(dāng)，為偶數(shù)時，，此時，
當(dāng)，為奇數(shù)時，，此時，即充分性成立，
當(dāng)，則，或，，即，即必要性成立，則“存在使得”是“”的充要條件，
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)值的性質(zhì)，利用分類討論思想進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．
10．2020年3月14日是全球首個國際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是
A．B．
C．D．
【思路分析】設(shè)內(nèi)接正邊形的邊長為，外切正邊形的邊長為，運(yùn)用圓的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求值．
【解析】：如圖，設(shè)內(nèi)接正邊形的邊長為，外切正邊形的邊長為，
可得，，
則，即，故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)學(xué)中的文化，考查圓的內(nèi)接和外切多邊形的邊長的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。
11．函數(shù)的定義域是
【思路分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．
【解析】：要使函數(shù)有意義，則，得，即，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?br>【總結(jié)與歸納】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．
12．已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是 ．
【思路分析】根據(jù)雙曲線的方程可得焦點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得．
【解析】：雙曲線，則，則，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離，故答案為：，．
【總結(jié)與歸納】本題考查了雙曲線的方程和其性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
13．已知正方形的邊長為2，點(diǎn)滿足，則 ； ．
A
B
D
C
【思路分析】根據(jù)向量的幾何意義可得為的中點(diǎn)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算和正方形的性質(zhì)即可求出．
【解析】：法一：（通解）,由，可得為的中點(diǎn)，
則，
，
，
故答案為：，
法二：（通解）（甘肅潘裕補(bǔ)解）采用坐標(biāo)法去處理，則A(0,0)，B(2，0)
C(,2,2），D(0,2），由得P（2,1），故，則-1
【總結(jié)與歸納】本題考查了向量的幾何意義和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
14．若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為 ．
【思路分析】由兩角和差公式，及輔助角公式化簡得，其中，，結(jié)合題意可得，解得，即可得出答案．
【解析】
，其中，，
所以最大值為，所以，
即，所以，所以，，當(dāng)時，．
故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查三角恒等變換，輔助角公式，三角函數(shù)最值，以及考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
15．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，用的大小評價在，這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．
給出下列四個結(jié)論：
①在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
③在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；
④甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②③ ．
【思路分析】由兩個企業(yè)污水排放量與時間的關(guān)系圖象結(jié)合平均變化率與瞬時變化率逐一分析四個命題得答案．
【解析】：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為．
對于①，在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為，
乙企業(yè)的污水治理能力為．
由圖可知，，，
即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；
對于②，由圖可知，在時刻的切線的斜率小于在時刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負(fù)值，
在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；
對于③，在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，
在時刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；
對于④，由圖可知，甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)，故④錯誤．
正確結(jié)論的序號是①②③．故答案為：①②③．
【總結(jié)與歸納】本題考查利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問題，考查學(xué)生的讀圖視圖能力，是中檔題．
三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（13分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；
（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、分別為、和軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成角為，先求出平面的法向量，再利用，以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解．
【解析】：（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可知，中，且，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、分別為、和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，則，0，，，0，，，0，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，，，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，，
故直線與平面所成角的正弦值為．
【總結(jié)與歸納】本題考查空間中線面的位置關(guān)系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定理和利用空間向量求線面夾角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（13分）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）和的面積．
條件①：，；
條件②：，．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．
【思路分析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理求出，再結(jié)合，即可求出的值，
（Ⅱ）由正弦定理可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出，
選擇條件②（Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理可得，再結(jié)合，即可求出的值，
（Ⅱ）由兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．
【解析】：選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，
，
，
，
即，
聯(lián)立，解得，，
故．
（Ⅱ）在中，，
，
由正弦定理可得，
，
．
選擇條件②（Ⅰ）在中，，，，
，，
，，
由正弦定理可得，，
，，，故；
（Ⅱ）在中，，
，
【總結(jié)與歸納】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面積公式等知識，考查了運(yùn)算能力求解能力，轉(zhuǎn)化月化歸能力，屬于中檔題．
18．（14分）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動方案；方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表：
假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為．試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式直接求解即可；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率直接求解即可；
（Ⅲ）直接寫出結(jié)論即可．
【解析】：（Ⅰ）設(shè)“該校男生支持方案一”為事件，“該校女生支持方案一”為事件，
則；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
設(shè)“這3人中恰有2人支持方案一”為事件，
則；
（Ⅲ）．
【總結(jié)與歸納】本題考查古典概型及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率求法，考查計(jì)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【思路分析】（Ⅰ）求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，可得切線的斜率，解方程可得，，進(jìn)而得到切線的方程；
（Ⅱ）求得切線的斜率和方程，分別令，，求得切線的橫截距和縱截距，可得三角形的面積，考慮的情況，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，然后求出的最小值．
【解析】：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)，
令切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，
，，切線的方程為；
（Ⅱ）曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，
切線方程為，
令，可得，令，可得，
，
由，可知為偶函數(shù)，
不妨設(shè)，則，，
由，得，
當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，
則在處取得極小值，且為最小值32，
所以的最小值為32．
【總結(jié)與歸納】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
20．（15分）已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別交直線于點(diǎn)，．求的值．
【思路分析】（Ⅰ）由題意可得，解得，，即可求出橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，，，，可得直線的方程為，直線的方程為，分別令，求出，，代入化簡整理即可求出．
【解析】：（Ⅰ）橢圓過點(diǎn)，且，
則，解得，，橢圓方程為，
（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
由，消整理可得，
△，解得，
設(shè)，，，，，，
則直線的方程為，直線的方程為，
分別令，
可得，
，，
，
，
故．
【總結(jié)與歸納】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．
21．（15分）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；
②對于中任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得．
（Ⅰ）若，2，，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
（Ⅱ）若，2，，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
（Ⅲ）若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列．
【思路分析】（Ⅰ）由，即可知道不滿足性質(zhì)．
（Ⅱ）對于任意的和，滿足，，必存在，可得滿足性質(zhì)①；對于任意的，欲滿足，即可，必存在有一組，使使得它成立，故滿足性質(zhì)②．
（Ⅲ）先用反證法證明數(shù)列必然恒正或恒負(fù)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明也是等比數(shù)列，即可．
【解析】：（Ⅰ）不滿足，理由：，不存在一項(xiàng)使得．
（Ⅱ）數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，
理由：對于任意的和，滿足，因?yàn)?，且，所以，則必存在，此時，且滿足，性質(zhì)①成立，
對于任意的，欲滿足，滿足即可，因?yàn)?，，且?br>所以可表示所有正整數(shù)，所以必有一組，使，即滿足，性質(zhì)②成立．
（Ⅲ）首先，先證明數(shù)列恒正或恒負(fù)，
反證法：假設(shè)這個遞增數(shù)列先負(fù)后正，
那么必有一項(xiàng)絕對值最小或者有與同時取得絕對值最小，
如僅有一項(xiàng)絕對值最小，此時必有一項(xiàng)，此時
與前提矛盾，
如有兩項(xiàng)與 同時取得絕對值最小值，那么必有，
此時，與前提條件矛盾，
所以數(shù)列必然恒正或恒負(fù)，
在數(shù)列恒正的情況下，由②知，存在，使得，
因?yàn)槭沁f增數(shù)列，，
即，所以，此時，，成等比數(shù)列，
數(shù)學(xué)歸納法：
（1）已證時，滿足是等比數(shù)列，公比，
（2）假設(shè)時，也滿足是等比數(shù)列，公比，
那么由①知等于數(shù)列的某一項(xiàng)，證明這一項(xiàng)為即可，
反證法：
假設(shè)這一項(xiàng)不是，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以該項(xiàng)，
那么，由等比數(shù)列得，
由性質(zhì)②得，同時，所以，
所以，分別是等比數(shù)列中兩項(xiàng)，即，，
原式變?yōu)椋?br>所以，又因?yàn)?，，，不存在這組解，所以矛盾，
所以知，前為等比數(shù)列，
由數(shù)學(xué)歸納法知，是等比數(shù)列得證，
同理，數(shù)列恒負(fù)，也是等比數(shù)列．
【總結(jié)與歸納】本題屬于新定義題，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸法等，考查邏輯思維能力，屬于難題．
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