1．已知集合，，則
A．B．C．D．
2．已知，若為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則
A．1B．C．2D．
3．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是
A．B．C．D．
4．函數(shù)在區(qū)間，上的圖象可能是
A．B．
C．D．
5．某幾何體的三視圖（單位：如圖所示，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．C．D．
6．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線．則“共面”是“兩兩相交”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)，，．設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則
A．B．C．D．
9．已知，且，對于任意均有，則
A．B．C．D．
10．設(shè)集合，，，中至少有個(gè)元素，且，滿足：
①對于任意的，，若，則；
②對于任意的，，若，則．下列命題正確的是
A．若有4個(gè)元素，則有7個(gè)元素
B．若有4個(gè)元素，則有6個(gè)元素
C．若有3個(gè)元素，則有5個(gè)元素
D．若有3個(gè)元素，則有4個(gè)元素
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。
11．我國古代數(shù)學(xué)家楊輝、朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和是 ．
12．二項(xiàng)展開式，則 ， ．
13．已知，則 ， ．
14．已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是 ．
15．已知直線與圓和圓均相切，則 ， ．
16．盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2 個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則 ， ．
17．已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是 ．
三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18．（14分）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
（Ⅰ）求角的大?。?br>（Ⅱ）求的取值范圍．
19．（15分）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（15分）已知數(shù)列，，滿足，，，．
（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．
21．（15分）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，不同于．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線使為線段的中點(diǎn)，求的最大值．
22．（15分）已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（?。?br>（ⅱ）．
2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
A．B．C．D．
【思路分析】直接利用交集的運(yùn)算法則求解即可．
【解析】：集合，，則．故選：．
【總結(jié)與歸納】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．
2．已知，若為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則
A．1B．C．2D．
【思路分析】利用復(fù)數(shù)的虛部為0，求解即可．
【解析】：，若為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，可得，解得．
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．
3．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
【思路分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線；結(jié)合圖象判斷目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．
【解析】：畫出實(shí)數(shù)，滿足約束條件所示的平面區(qū)域，如圖：
將目標(biāo)函數(shù)變形為，
則表示直線在軸上截距，截距越大，越大，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，截距最小為，隨著目標(biāo)函數(shù)向上移動(dòng)截距越來越大，
故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值．
4．函數(shù)在區(qū)間，上的圖象可能是
A．B．
C．D．
【思路分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的特點(diǎn)．
【解析】：，
則，
為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除，，
當(dāng)時(shí)，，故排除，
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，掌握函數(shù)的奇偶性額函數(shù)值得特點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
5．某幾何體的三視圖（單位：如圖所示，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．C．3D．6
【思路分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．
【解析】：由題意可知幾何體的直觀圖如圖，下部是直三棱柱，底面是斜邊長為2的等腰直角三角形，棱錐的高為2，上部是一個(gè)三棱錐，一個(gè)側(cè)面與底面等腰直角三角形垂直，棱錐的高為1，
所以幾何體的體積為：．故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．
6．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線，，．則“，，共面”是“，，兩兩相交”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【思路分析】由，，在同一平面，則，，相交或，，有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．
【解析】：空間中不過同一點(diǎn)的三條直線，，，若，，在同一平面，則，，相交或，，有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．
而若“，，兩兩相交”，則“，，在同一平面”成立．
故，，在同一平面”是“，，兩兩相交”的必要不充分條件，
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題借助空間的位置關(guān)系，考查了充分條件和必要條件，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是
A．B．C．D．
【思路分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷與；由分別求得，，，，分析，成立時(shí)是否滿足公差，判斷與．
【解析】：
在等差數(shù)列中，，
，，，
，
，
，
，
，
，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得正確，
．若，則，成立，正確，
．若，則，
即，得，
，，符合，正確；
．若，則，
即，得，
，，不符合，錯(cuò)誤；
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，是中檔題．
8．已知點(diǎn)，，．設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【思路分析】求出滿足的軌跡方程，求出的坐標(biāo)，即可求解．
【解析】：點(diǎn) ，， ．設(shè)點(diǎn)滿足，
可知的軌跡是雙曲線的右支上的點(diǎn)，
為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，即在軸上的點(diǎn)及在軸上方的點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)方程，解得，，所以．
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及距離公式的應(yīng)用，是中檔題．
9．已知，且，對于任意均有，則
A．B．C．D．
【思路分析】設(shè)，求得的零點(diǎn)，根據(jù)在上恒成立，討論，的符號(hào)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，即可得到結(jié)論．
【解析】：設(shè)，可得的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，
即有三個(gè)零點(diǎn)，，且，
由題意知，在上恒成立，則，，，
可得，恒成立，排除，；
我們考慮零點(diǎn)重合的情況，即中間和右邊的零點(diǎn)重合，左邊的零點(diǎn)在負(fù)半軸上．
則有或或三種情況，此時(shí)顯然成立；
若，則不成立；
若，即，可得，且和都在正半軸上，符合題意，
綜上恒成立．
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查不等式恒成立問題，注意三次函數(shù)的圖象，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
10．設(shè)集合，，，，，中至少有2個(gè)元素，且，滿足：
①對于任意的，，若，則；
②對于任意的，，若，則．下列命題正確的是
A．若有4個(gè)元素，則有7個(gè)元素
B．若有4個(gè)元素，則有6個(gè)元素
C．若有3個(gè)元素，則有5個(gè)元素
D．若有3個(gè)元素，則有4個(gè)元素
【思路分析】利用特殊集合排除選項(xiàng)，推出結(jié)果即可．
【解析】：取：，2，，則，4，，，2，4，，4個(gè)元素，排除．
，4，，則，16，，，4，8，16，，5個(gè)元素，排除；
，4，8，則，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7個(gè)元素，排除；
故選：．
【總結(jié)與歸納】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，集合的基本運(yùn)算，利用特殊集合排除選項(xiàng)是選擇題常用方法，難度比較大．
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。
11．我國古代數(shù)學(xué)家楊輝、朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前3項(xiàng)和是 10 ．
【思路分析】求出數(shù)列的前3項(xiàng)，然后求解即可．
【解析】：數(shù)列滿足，可得，，，所以．
故答案為：10．
【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．
12．二項(xiàng)展開式，則 80 ，
122 ．
【思路分析】直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，求解即可．
【解析】：，則．
．故答案為：80；122．
【總結(jié)與歸納】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，只有二項(xiàng)式定理系數(shù)以及項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，是基本知識(shí)的考查．
13．已知，則 ， ．
【思路分析】利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解第一問，利用兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解第二問．
【解析】：，
則．
．故答案為：；．
【總結(jié)與歸納】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．
14．已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是 1 ．
【思路分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長，求解底面圓的周長，然后求解底面半徑．
【解析】：圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為，
設(shè)圓錐的母線長為，則，，側(cè)面展開扇形的弧長為，
設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得．
故答案為：1．
【總結(jié)與歸納】本題考查圓錐的母線長的求法，注意利用圓錐的弧長等于底面周長這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．
15．已知直線與圓和圓均相切，則 ， ．
【思路分析】根據(jù)直線與兩圓都相切，分別列出方程，，解得即可．
【解析】：由條件得，，，，
因?yàn)橹本€與，都相切，
故有，，
則有，故可得，整理得，
因?yàn)?，所以，即，代入，解得，則，
故答案為：；．
【總結(jié)與歸納】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，考查方程思想，屬于中檔題．
16．盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2 個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則 ，
1 ．
【思路分析】由題意知隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2；分別計(jì)算、和，再求的值．
【解析】：由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2；
計(jì)算；
；
；
所以．
故答案為：，1．
【總結(jié)與歸納】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．
17．已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是 ．
【思路分析】設(shè)、的夾角為，由題意求出；
再求，的夾角的余弦值的最小值即可．
【解析】：設(shè)、的夾角為，由，為單位向量，滿足，
所以，
解得；
又，，且，的夾角為，
所以，
，
；
則，
所以時(shí)，取得最小值為．
故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角的運(yùn)算問題，是中檔題．
三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18．（14分）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）求的取值范圍．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合角的范圍，即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)兩角和差的余弦公式，以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
【解析】：（Ⅰ），，
，，為銳角三角形，，
（Ⅱ）為銳角三角形，，，
為銳角三角形，，，
解得，，，
，的取值范圍為，．
【總結(jié)與歸納】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題．
19．（15分）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【思路分析】（Ⅰ）題根據(jù)已知條件，作，根據(jù)面面垂直，可得，進(jìn)一步根據(jù)直角三角形的知識(shí)可判斷出是直角三角形，且，則，從而可證出面，最后根據(jù)棱臺(tái)的定義有，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；
（Ⅱ）題先可設(shè)，根據(jù)解直角三角形可得，，，，，然后找到與面的夾角即為，根據(jù)棱臺(tái)的特點(diǎn)可知與面所成角與與面的夾角相等，通過計(jì)算的正弦值，即可得到與面所成角的正弦值．
【解析】：（Ⅰ）證明：作，且交于點(diǎn)，
面面，面，，
在中，，
，，
，即是直角三角形，且，
，面，面，，
在三棱臺(tái)中，，．
（Ⅱ）設(shè)，則，，
在中，，，
在中，，
作于，，面，面，
，是直角三角形，且，
設(shè)與面所成角為，則即為與面的夾角，
且，
在中，，
，．
【總結(jié)與歸納】本題主要考查空間直線互相垂直的判定和性質(zhì)，以及直線與平面所成角的幾何計(jì)算問題，考查了空間想象能力和思維能力，平面與空間互相轉(zhuǎn)化是能力，幾何計(jì)算能力，以及邏輯推理能力，本題屬綜合性較強(qiáng)的中檔題．
20．（15分）已知數(shù)列，，滿足，，，．
（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．
【思路分析】（1）先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將，代入，計(jì)算出公比的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義化簡可得，則可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將通項(xiàng)公式代入，可得，再根據(jù)此遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累加法可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）通過將已知關(guān)系式不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化可構(gòu)造出數(shù)列，且可得到數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，且此常數(shù)為，從而可得，再計(jì)算得到，根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行裂項(xiàng)，在求和時(shí)相消，最后運(yùn)用放縮法即可證明不等式成立．
【解答】（Ⅰ）解：由題意，，，
，，
整理，得，
解得（舍去），或，
，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
，．
，
則，
，
，
，
各項(xiàng)相加，可得
．
（Ⅱ）證明：依題意，由，可得
，
兩邊同時(shí)乘以，可得
，
，
數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，且此常數(shù)為，
，
，
又，，
，
，
，故得證．
法二：由得所以，，，…，，
各式相乘得即
所以
【總結(jié)與歸納】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及和式不等式的證明問題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，方程思想，累加法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，放縮法證明不等式，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬綜合性較強(qiáng)的偏難題．
21．（15分）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，不同于．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線使為線段的中點(diǎn)，求的最大值．
【思路分析】（Ⅰ）直接由拋物線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（Ⅱ）設(shè)直線方程，，，，，，，由，根據(jù)韋達(dá)定理定理求出，，可得，再由，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，化簡整理得，利用基本不等式即可求出的最大值．
【解析】：（Ⅰ），則，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，
（Ⅱ）直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合，不滿足題意，
設(shè)直線的方程為，，，，，，，
由，消可得，
，即，
，，
，，，
點(diǎn)在拋物線上，，
，
聯(lián)立，解得，，
代入橢圓方程可得，解得
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為．
法二：由題意可設(shè)直線，，，，，，，
由，消可得，
，即，
，，
聯(lián)立，消可得所以
解得，所以，
代入橢圓方程可得，
得
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
【總結(jié)與歸納】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，基本不等式等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．
22．（15分）已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（?。?；
（ⅱ）．
【思路分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出時(shí)，恒成立，，，由此能證明函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．
（Ⅱ）由單調(diào)增，，設(shè)的最大值為，則，，則，推導(dǎo)出．要證明，只需證明，記，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明．
要證明，只需證明，只需證，由此能證明．
【解答】證明：（Ⅰ），恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，，又，
函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．
（Ⅱ）單調(diào)遞增，，設(shè)的最大值為，則，
，則，
右邊：由于時(shí)，，且，
則，成立．
左邊：只需證明，只需證明，
記，則，
，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
，，
在時(shí)單調(diào)遞減，成立，
．
要證明，只需證，
只需證，
，只需證，
只需證，即證，
，
，
．
（ = 2 \* ROMAN II）法二：（ = 1 \* rman i）要證又由（I）知在上單調(diào)遞增
只需證即證
先證即證令，
設(shè)，
所以單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，
所以成立；
再證即證令
設(shè)，
所以單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，
所以
所以成立.
【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)有唯一零點(diǎn)、不等式的證明，導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，是中檔題．
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《初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡介：
目前有11個(gè)群（9個(gè)高中群，2個(gè)初中群），共4000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的高中數(shù)學(xué)教研！
特別說明：
1.本系列群只探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究、高中數(shù)學(xué)試題研究等相關(guān)話題；
2.由于本群是集“研究—寫作—發(fā)表（出版）”于一體的“橋梁”，涉及業(yè)務(wù)合作，特強(qiáng)調(diào)真誠交流，入群后立即群名片：
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編輯格式：公司或者刊物（簡寫）+真實(shí)姓名
歡迎各位老師邀請你身邊熱愛高中數(shù)學(xué)教研（不喜歡研究的謝絕）的教師好友（學(xué)生謝絕）加入，大家共同研究，共同提高！
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