2019-2020學年上海市師大附中高一上學期期末數(shù)學試題  一、單選題1．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的 A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【詳解】根據(jù)題意“非有志者不能至也”可知到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”必是有志之士，故“有志”是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的必要條件，故選D.2．已知x，y為正實數(shù)，則（　?。?/span>A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy【答案】D【詳解】因為as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實數(shù)），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個公式，故選D． 3．定義一種運算：，已知函數(shù)，那么的大致圖象是（ ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∴f（x）=2x?（3-x） ,這個函數(shù)圖象的最低點是（1，2），∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移一個單位得到的，故函數(shù)y=f（x+1）圖象的最低點是（0，2），結(jié)合已知一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，得到正確選項為B．故選B．4．已知函數(shù)的定義域為，且滿足下列三個條件：①任意，當時，都有；②；③是偶函數(shù)；若，則的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由條件①確實單調(diào)性，條件②確定周期性，條件③確定對稱性，由對稱性和周期性化自變量到區(qū)間上，再由單調(diào)性得大小關(guān)系、【詳解】因為任意，當時，都有，所以在上是增函數(shù)，因為，所以，是周期函數(shù)，周期是8；由是偶函數(shù)，得的圖象關(guān)于直線對稱，，，又，所以．故選：C．【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．解題方法一般是利用周期性把自變量化小，再由周期性（或?qū)ΨQ性）化自變量到同一個單調(diào)區(qū)間上，然后由單調(diào)性得函數(shù)值大?。?/span>  二、填空題5．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.【答案】{5}【詳解】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．6．已知冪函數(shù)的圖象過點，則_____________．【答案】（填亦可）【分析】設出冪函數(shù)解析式，根據(jù)點求得冪函數(shù)的解析式.【詳解】由于為冪函數(shù)，設，將代入得，所以.故答案為（填亦可）【點睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題.7．函數(shù)的定義域為________.【答案】【分析】由分母不為0，真數(shù)大于0可得．【詳解】，，解得且，定義域為．故答案為：．8．已知函數(shù)的定義域為，則的值域為_____________．【答案】【詳解】試題分析：函數(shù)的對稱軸為，所以在區(qū)間上，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，所以函數(shù)的值域為．【解析】二次函數(shù)的性質(zhì)．9．已知函數(shù)，若對任意均有，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】先判斷出為增函數(shù)，列不等式組即可解得.【詳解】根據(jù)題意，對任意均有，則為增函數(shù)，只需或解得：或，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論：（1）復合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減；（2）為增函數(shù)或，為減函數(shù)或.10．設，且，則_________.【答案】2【分析】先利用判斷出a=b，并進行指對數(shù)互化，由求出a=1，即可求出m.【詳解】∵∴又，∴∴m=2故答案為：2【點睛】指、對數(shù)運算技巧：(1)應用常用對數(shù)值；(2)靈活應用對數(shù)的運算性質(zhì)；(3) 逆用法則、公式；(4) 應用換底公式，化為同底結(jié)構(gòu)．11．已知，則________．【答案】，【分析】先利用換元法求得函數(shù)的解析式，注意定義域.【詳解】令，則，且，可得，所以().故答案為：，．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的解析式的求解及應用，其中解答中合理利用換元法求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題目.12．若函數(shù)的圖象與軸有公共點，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】由可得出，設函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，利用數(shù)形結(jié)合思想可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得出，設函數(shù)，則直線與函數(shù)的圖象有交點，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍，在含單參數(shù)的函數(shù)零點問題的求解中，一般轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與函數(shù)圖象有交點來處理，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.13．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義化自變量為負數(shù)，然后由單調(diào)性求解．【詳解】因為是偶函數(shù)，所以不等式化為，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，，，所以．故答案為：．14．已知，且，則的最小值為_____________.【答案】【分析】由題意首先求得的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件.【詳解】由可知，且：，因為對于任意，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當且僅當，即時等號成立.綜上可得的最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．15．若對任意，有，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和_________.【答案】6【分析】用賦值法確定為奇函數(shù)，然后構(gòu)造一個奇函數(shù)求的最大值和最小值，從而可得結(jié)論．【詳解】在中，令得，即，令得，即，所以是奇函數(shù)，令，則，是奇函數(shù)，所以在對稱區(qū)間上，當時，，，所以．故答案為：6．【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性及其應用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造奇函數(shù)．所用結(jié)論是：是（或，）上的奇函數(shù)，則．16．自然對數(shù)的底數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)，其值為2.71828…，已知函數(shù)，若存在三個不同的實數(shù)，使得，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)條件可知，再根據(jù)圖象求的取值范圍，再求的取值范圍.【詳解】如圖，畫出函數(shù)的圖象，設，由圖象的對稱性可知，時，，時，，所以，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查根據(jù)方程實數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時需要根據(jù)零點個數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍. 三、解答題17．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求實數(shù)a，b，c的值；(2)設集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.【答案】(1) a＝6，b＝9，c＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因為A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0即得c＝－8. 因為A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根都是3，從而求出a,b的值.(2)先求出P＝－≤x≤1}，再求集合P∩Z.【詳解】(1)因為A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因為A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，所以P＝－≤x≤1}，所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．【點睛】（1）本題主要考查集合的運算關(guān)系，考查二次方程的根，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解題的關(guān)鍵是根據(jù)A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}分析得到A＝{3}.18．根據(jù)市場調(diào)查，某商品在最近40天內(nèi)價格與時間的關(guān)系用圖1中的一條折線(實線)表示，銷量與時間的關(guān)系用圖2中的線段(實線)表示().（1）分別寫出圖1表示的價格與時間的函數(shù)關(guān)系與圖2表示的銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系(不要求計算過程)；（2）這種商品的銷售額為，為銷售量與價格之積，求的最大值及此時的時間.【答案】（1），；（2），此時或.【分析】（1）通過圖1表示的價格與時間的函數(shù)關(guān)系分段可得的解析式；通過圖2表示的銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系可得的解析式，注明函數(shù)的定義域；（2）利用函數(shù)的解析式，通過配方，分別求出函數(shù)的最值比較可得答案.【詳解】（1）當時，設函數(shù)為，因為經(jīng)過點和，所以，解得，此時，當時，設函數(shù)為，因為經(jīng)過點和，所以，解得，此時，所以，設，因為圖象經(jīng)過點和，所以，解得，所以.（2）當時，，因為，所以或時，，當時，，當時， 為減函數(shù)， 所以，而，所以或時，，故當或時這種商品的銷售額最大，為176.【點睛】本題考查函數(shù)的實際應用、二次函數(shù)求最值，解題的關(guān)鍵點是根據(jù)圖象求出解析式，考查銷售分析問題、解決問題的能力.19．已知.（1）當時，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最小值；（2）如對任意，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，最小值為；（2）.【分析】（1）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，并直接求出最小值；（2）把 “對任意，恒成立，”轉(zhuǎn)化為：恒成立，用分離參數(shù)法求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，任取，則有：∵，∴，∴，即，∴在上單調(diào)遞增.∴，即最小值為.（2）∵任意，恒成立，可化為：恒成立，即恒成立，只需記則在上單調(diào)遞減∴∴即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：（1）證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法；（2）求參數(shù)的取值范圍用分離參數(shù)法.20．已知函數(shù).(且).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若不等式的解集為，求的值；（3）設的反函數(shù)為，若，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）或；（3）當時，解集為；當時，解集為.【分析】（1）用定義法判斷奇偶性；（2）由的解集為轉(zhuǎn)化為為方程的根，解得a；（3）先求出反函數(shù)，解得a=2，然后解不等式即可.【詳解】解：的定義域為（1）為奇函數(shù).∵，∴為奇函數(shù).（2）∵，∴的解集為即為的解集為∴為方程的根，即，解得：或.（3）∵，∴.∵，解得：a=2∴即為∴當時，，而，∴當時，解得：綜上：當時，解集為；當時，解集為.【點睛】（1）證明函數(shù)的奇偶性用定義法；（2）不等式對應的解集是用不等式對應方程的根表示；21．已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當時，解不等式；（2）已知為偶函數(shù)，且，當時，有，若，且，求函數(shù)的反函數(shù)；（3）若在上存在個不同的值，，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2），，；（3）.【分析】（1）去絕對值，利用絕對值不等式的解法及應用求出結(jié)果．（2）首先判斷函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期和偶函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)關(guān)系式，當時，，求出函數(shù)的反函數(shù)．（3）當和時，函數(shù)單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性去絕對值，列不等關(guān)系求實數(shù)的取值范圍，當時，，利用分類討論思想的應用求出結(jié)果．【詳解】（1）解不等式當時，，所以當時，，所以，綜上，該不等式的解集為（2）當時，，因為，所以是以2為周期的偶函數(shù)，所以，由，且，得，所以當時，所以當時，，所以函數(shù)的反函數(shù)為（3）①當時，在上，是上的增函數(shù)，所以所以，得；②當時，在上，是上的增函數(shù)，所以所以，得；③當時，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是令，解得或，不符合題意；④當時，分別在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得或，不符合題意.綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查的知識要點：絕對值不等式的解法及應用，函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的單調(diào)性的應用，本題第三問的關(guān)鍵是去絕對值后，轉(zhuǎn)化為最值問題． 

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