1．已知集合，0，1，，，2，，則 ．
2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是 ．
3．已知一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，則的值是 ．
4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是 ．
5．如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是 ．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是 ．
7．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值是 ．
8．已知，則的值是 ．
9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是 ．
10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是 ．
11．設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是 ．
12．已知，則的最小值是 ．
13．在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是 ．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，、是圓上的兩個動點(diǎn)，滿足，則面積的最大值是 ．
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
16．（14分）在中，角、、的對邊分別為、、．已知，，．
（1）求的值；
（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的值．
17．（14分）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線在上）．經(jīng)測量，左側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米與到的距離（米之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米與到的距離（米之間滿足關(guān)系式．已知點(diǎn)到的距離為40米．
（1）求橋的長度；
（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點(diǎn)）．橋墩每米造價(jià)（萬元），橋墩每米造價(jià)（萬元），問為多少米時，橋墩與的總造價(jià)最低？
18．（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求的周長；
（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（16分）已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．
（1）若，，，求的表達(dá)式；
（2）若，，，，求的取值范圍；
（3）若，，，，，，求證：．
20．（16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為．設(shè)和為常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
21．（10分）平面上的點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求矩陣的逆矩陣．
B.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
22．（10分）在極坐標(biāo)系中，已知，在直線上，點(diǎn)，在圓上（其中，．
（1）求，的值；
（2）求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．
C.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分0分）
23．設(shè)，解不等式．
【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
24．（10分）在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn)．
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．
25．（10分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．
（1）求，和，；
（2）求與的遞推關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望（用表示）．
2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1．已知集合，0，1，，，2，，則 ， ．
【思路分析】運(yùn)用集合的交集運(yùn)算，可得所求集合．
【解析】：集合，2，，，0，1，，則，，故答案為：，．
【總結(jié)與歸納】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是 3 ．
【思路分析】利用復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，化簡求解即可．
【解析】：復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部是：3．故答案為：3．
【總結(jié)與歸納】本題考查復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，是基本知識的考查．
3．已知一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，則的值是 2 ．
【思路分析】運(yùn)用平均數(shù)的定義，解方程可得的值．
【解析】：一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，
則，解得．故答案為：2．
【總結(jié)與歸納】本題考查平均數(shù)的定義的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是 ．
【思路分析】分別求得基本事件的總數(shù)和點(diǎn)數(shù)和為5的事件數(shù)，由古典概率的計(jì)算公式可得所求值．
【解析】：一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為種，
而點(diǎn)數(shù)和為5的事件為，，，，共4種，
則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為．故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查古典概率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是 ．
【思路分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用程序框圖表達(dá)式為分段函數(shù)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．
【解析】：由題意可得程序框圖表達(dá)式為分段函數(shù)，
若輸出值為時，由于，所以解，即，故答案為：，
【總結(jié)與歸納】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是 ．
【思路分析】利用雙曲線的漸近線方程，求出，然后求解雙曲線的離心率即可．
【解析】：雙曲線的一條漸近線方程為，可得，所以，
所以雙曲線的離心率為：，故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查．
7．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值是 ．
【思路分析】由奇函數(shù)的定義可得，由已知可得（8），進(jìn)而得到．
【解析】：是奇函數(shù)，可得，
當(dāng)時，，可得（8），則（8），故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運(yùn)用：求函數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知，則的值是 ．
【思路分析】根據(jù)二倍角公式即可求出．
【解析】：因?yàn)?，則，
解得，故答案為：
【總結(jié)與歸納】本題考查了二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是 ．
【思路分析】通過棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果．
【解析】：六棱柱的體積為：，
圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，
故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基本知識的考查．
10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是 ．
【思路分析】利用三角函數(shù)的平移可得新函數(shù)，求的所有對稱軸，，從而可判斷平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程，
【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個單位長度可得
，
則的對稱軸為，，即，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是，故答案為：，
【總結(jié)與歸納】本題考查三角函數(shù)的平移變換，對稱軸方程，屬于中檔題．
11．設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是 4 ．
【思路分析】由的前項(xiàng)和，由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為；求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式；是公比為的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，討論當(dāng)為1和不為1時的前項(xiàng)和的表達(dá)式，由題意可得，由對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得，的值，進(jìn)而求出的值．
【解析】：因?yàn)榈那绊?xiàng)和，
因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，設(shè)首項(xiàng)為；是公比為的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，
所以的通項(xiàng)公式，所以其前項(xiàng)和，
當(dāng)中，當(dāng)公比時，其前項(xiàng)和，
所以的前項(xiàng)和，顯然沒有出現(xiàn)，所以，
則的前項(xiàng)和為，
所以，
由兩邊對應(yīng)項(xiàng)相等可得：解得：，，，，
所以，故答案為：4．
【總結(jié)與歸納】本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的綜合及由前項(xiàng)和求通項(xiàng)的性質(zhì)，屬于中檔題．
12．已知，則的最小值是 ．
【思路分析】方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，運(yùn)用基本不等式可得所求最小值；
方法二、由，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最小值．
【解析】：方法一、由，可得，
由，可得，，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，，
可得的最小值為；
方法二、，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取得等號，
可得的最小值為．故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．
13．在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是 0或 ．
【思路分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得與的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)用表示．由列式求得值，然后分類求得的坐標(biāo)，則的長度可求．
【解析】：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，
由，得，
整理得：
，，，．
由，得，解得或．
當(dāng)時，，此時與重合，；
當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，
．的長度是0或．故答案為：0或．
【總結(jié)與歸納】本題考查向量的概念與向量的模，考查運(yùn)算求解能力，利用坐標(biāo)法求解是關(guān)鍵，是中檔題．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，、是圓上的兩個動點(diǎn)，滿足，則面積的最大值是 ．
【思路分析】求得圓的圓心和半徑，作所在直徑，交于點(diǎn)，運(yùn)用垂徑定理和勾股定理，以及三角形的面積公式，由三角換元，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，計(jì)算可得所求最大值．
【解析】：圓的圓心，半徑為6，
如圖，作所在直徑，交于點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以，為垂徑?br>要使面積最大，則，位于的兩側(cè)，
并設(shè)，可得，故，，
可令，
，，
設(shè)函數(shù)，，
，
由，解得舍去），
顯然，當(dāng)，，遞減；當(dāng)時，，遞增，
結(jié)合在遞減，故時，最大，此時，
故，
則面積的最大值為．故答案為：．
【總結(jié)與歸納】本題考查圓的方程和運(yùn)用，以及圓的弦長公式和三角形的面積公式的運(yùn)用，考查換元法和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，屬于中檔題．
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【思路分析】（1）證明，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明平面；
（2）證明，結(jié)合，證明平面，然后證明平面平面．
【解答】證明：（1），分別是，的中點(diǎn)．
所以，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又因?yàn)椋?，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面．
【總結(jié)與歸納】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，是中檔題．
16．（14分）在中，角、、的對邊分別為、、．已知，，．
（1）求的值；
（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的值．
【思路分析】（1）由題意及余弦定理求出邊，再由正弦定理求出的值；
（2）三角形的內(nèi)角和為，，可得為鈍角，可得與互為補(bǔ)角，所以展開可得及，進(jìn)而求出的值．
【解析】：（1）因?yàn)?，，．，由余弦定理可得：?br>由正弦定理可得，所以，
所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>在三角形 中，易知為銳角，由（1）可得，
所以在三角形中，，
因?yàn)椋裕?br>所以．
【總結(jié)與歸納】本題考查三角形的正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（14分）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線在上）．經(jīng)測量，左側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米與到的距離（米之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線上任一點(diǎn)到的距離（米與到的距離（米之間滿足關(guān)系式．已知點(diǎn)到的距離為40米．
（1）求橋的長度；
（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點(diǎn)）．橋墩每米造價(jià)（萬元），橋墩每米造價(jià)（萬元），問為多少米時，橋墩與的總造價(jià)最低？
【思路分析】（1）由題意可令，求得，即的長，再令，求得，可得；
（2）可設(shè)，則，，求得總造價(jià)，化簡整理，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值．
【解析】：（1），
點(diǎn)到的距離為40米，可令，
可得，
即為，由題意可設(shè)，
由，解得，
則米；
（2）可設(shè)，則，由，可得，
總造價(jià)為
，
，由，當(dāng)時，，函數(shù)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即總造價(jià)最低．
答：（1）橋長為120米；（2）為20米時，橋墩與的總造價(jià)最低．
【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求最值，考查運(yùn)算能力和分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．
18．（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求的周長；
（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【思路分析】（1）由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，的值，根據(jù)橢圓的定義可得△的周長，代入計(jì)算即可．
（2）由橢圓方程得，設(shè)，進(jìn)而由點(diǎn)斜式寫出直線方程，再結(jié)合橢圓的右準(zhǔn)線為：，得點(diǎn)為，再由向量數(shù)量積計(jì)算最小值即可．
（3）在計(jì)算與的面積時，可以最為同底，所以若，則到直線距離與到直線距離，之間的關(guān)系為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，，所以題意可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)應(yīng)為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)，設(shè)平行于的直線為，與直線的距離為，根據(jù)兩平行直線距離公式可得，或12，然后在分兩種情況算出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解析】：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，，，
所以的周長．
（2）由橢圓方程得，設(shè)，則直線方程為，
橢圓的右準(zhǔn)線為：，
所以直線與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，
，，，
當(dāng)時，．
（3）若，設(shè)到直線距離，到直線距離，則，即，
，，可得直線方程為，即，所以，，
由題意得，點(diǎn)應(yīng)為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點(diǎn)，
設(shè)平行于的直線為，與直線的距離為，
所以，即或12，
當(dāng)時，直線為，即，
聯(lián)立，可得，即或，
所以或，．
當(dāng)時，直線為，即，
聯(lián)立，可得，△，所以無解，
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或，．
【總結(jié)與歸納】本題考查橢圓的定義，向量的數(shù)量積，直線與橢圓相交問題，解題過程中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（16分）已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．
（1）若，，，求的表達(dá)式；
（2）若，，，，求的取值范圍；
（3）若，，，，，，求證：．
【思路分析】（1）由得，求導(dǎo)可得，能推出函數(shù)的圖象為過原點(diǎn)，斜率為2的直線，進(jìn)而可得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
（2）由題可知，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得，，那么要使的，則；令為二次函數(shù)，則要使得，分兩種情況，當(dāng)時，當(dāng)時進(jìn)行討論，進(jìn)而得出答案．
（3）因?yàn)?，求?dǎo)，分析單調(diào)性及圖象得函數(shù)的圖象在處的切線為：，可推出直線為函數(shù)的圖象在處的切線．進(jìn)而在區(qū)間上恒成立；在分析，設(shè)，兩根為，，由韋達(dá)定理可得，，所以，再求最值即可得出結(jié)論．
【解析】：（1）由得，
又，，所以，
所以，函數(shù)的圖象為過原點(diǎn)，斜率為2的直線，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)：，符合任意，
（2），
設(shè)，設(shè)，
在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時，，
令
所以，得，
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，，所以，
當(dāng)時，即時，△，即，
解得，綜上，，．
（3）因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)的圖象在處的切線為：
，
可見直線為函數(shù)的圖象在處的切線．
由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)在區(qū)間上恒成立時，，，
又由，得，
設(shè)方程的兩根為，，則，，
所以，
，則，，由圖象可知，，
設(shè)，則，
所以當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
所以（1），
故，即．
【總結(jié)與歸納】本題考查恒成立問題，參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為．設(shè)和為常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【思路分析】（1）由“”數(shù)列可得，結(jié)合數(shù)列的遞推式，以及等差數(shù)列的定義，可得的值；
（2）運(yùn)用“”數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求通項(xiàng)公式；
（3）若存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，則，由兩邊立方，結(jié)合數(shù)列的遞推式，以及的討論，二次方程的實(shí)根分布和韋達(dá)定理，即可判斷是否存在，并可得取值范圍．
【解析】：（1）時，，由為任意正整數(shù)，且，，可得；
（2），
則，
因此，即，，
從而，又，可得，
，，
綜上可得，；
（3）若存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，
則，
則，
由，，且，令，
則，
時，，
由，可得，則，即，
此時唯一，不存在三個不同的數(shù)列，
時，令，則，則，
①時，，則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列；
②時，△，無解，
則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列；
③時，，則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列．
④時，即時，△，有兩解，，
設(shè)，，，則，
則對任意，或或，此時，，均符合條件．
對應(yīng)，，，
則存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且，
綜上可得．
【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查分類討論思想，以及運(yùn)算能力和推理論證能力，是一道難題．
【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
21．（10分）平面上的點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求矩陣的逆矩陣．
【思路分析】（1）由，列方程組，求出、的值；
（2）設(shè)矩陣的逆矩陣為，利用，列方程組求出、、和的值即可．
【解析】：（1）由題意，知，
則，解得，；
（2）由（1）知，矩陣，
設(shè)矩陣的逆矩陣為，
，
，解得，，，，
．
【總結(jié)與歸納】本題考查了矩陣的變換與計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．
B.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
22．（10分）在極坐標(biāo)系中，已知，在直線上，點(diǎn)，在圓上（其中，．
（1）求，的值；
（2）求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．
【思路分析】（1）直接根據(jù)點(diǎn)在直線上，列方程求出的值，點(diǎn)在圓上，列方程求出的值；
（2）聯(lián)立直線與圓的方程，然后求出其公共點(diǎn)的極坐標(biāo)即可．
【解析】：（1），在直線上，
，解得．
點(diǎn)，在圓上，
，解得．
又因?yàn)椋矗┮苍趫A上，所以
所以或
（2）由直線與圓得，方程組，則．
，，，．
．
故公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為．
【總結(jié)與歸納】本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的關(guān)系和根據(jù)簡單曲線極坐標(biāo)方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．
C.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分0分）
23．設(shè)，解不等式．
【思路分析】先將寫為分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式即可．
【解析】：．
，或或，
或或，，
不等式的解集為．
【總結(jié)與歸納】本題考查了絕對值不等式的解法，考查了分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．
【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
24．（10分）在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn)．
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．
【思路分析】（1）由題意畫出圖形，連接，由已知可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，設(shè)直線與所成角為，由兩向量所成角的余弦值，可得直線與所成角的余弦值；
（2）由，得，設(shè)，，，由向量等式求得，，，進(jìn)一步求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．
【解析】：（1）如圖，連接，，為的中點(diǎn)，．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
，，則．
，0，，，0，，，2，，，0，，
是的中點(diǎn)，，1，，
，．
設(shè)直線與所成角為，
則，
即直線與所成角的余弦值為；
（2），，
設(shè)，，，則，，，，，，，．
，，．
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得；
設(shè)平面的一個法向量為，
由，取，得．
．
．
【總結(jié)與歸納】本題考查利用空間向量求空間角，考查空間想象能力與邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．
25．（10分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．
（1）求，和，；
（2）求與的遞推關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望（用表示）．
【思路分析】（1）利用已知條件求出，，推出；即可．
（2）推出，，得到，推出，說明數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求解的通項(xiàng)公式以及期望即可．
【解析】：（1）由題意可知：，，則；
．
（2）由題意可知：，
，
兩式相加可得，
則：，
所以，，
因?yàn)?，?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
即，
所以．
【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列與概率相結(jié)合，期望的求法，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化首項(xiàng)以及計(jì)算能力，是難題．
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