2019-2020學(xué)年上海市嘉定區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知條件甲“”，條件乙“”，那么甲是乙的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】由，且條件乙為“”，結(jié)合充分性、必要性的定義，可選出答案.【詳解】由題意，，即條件甲為“”，又條件乙為“”，所以甲是乙的必要非充分條件.故選：B.2．已知函數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】A【分析】由可直接得到結(jié)果.【詳解】，，為奇函數(shù)，但不是偶函數(shù).故選：A.3．已知非空集合A、B，{具有性質(zhì)}，{具有性質(zhì)}．如果命題“如果，那么”為假命題，那么下列哪張關(guān)于集合A、B包含關(guān)系的圖象一定不成立（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由命題“如果，那么”為假命題，可知不是的子集，從而可選出答案.【詳解】由題意，如果命題“如果，那么”為真命題，那么是的子集；如果命題“如果，那么”為假命題，那么不是的子集，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)，可知C符合題意.故選：C.4．設(shè)函數(shù)，則滿足的a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可得，進(jìn)而分2種情況討論，分析得解集，從而得到答案.【詳解】由題意，，若滿足，則必有，①當(dāng)時(shí)，，無(wú)實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，，解得，，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)解不等式，由已知，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想，屬于難題.  二、填空題5．已知集合，，則________．【答案】．【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算直接得解.【詳解】，，故答案為：6．不等式的解集是______________．【答案】【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】不等式化為，解得，故不等式的解集為.故答案為：.7．已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則其定義域是________．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式及其值域，可列出不等式，進(jìn)而可求出的定義域.【詳解】∵，且的值域?yàn)?/span>，∴，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：.8．已知函數(shù)，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)的和是________．【答案】0．【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，求出方程的根，然后推出所有零點(diǎn)的和.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的根，解得：所以該函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為：故答案為：09．已知，，則函數(shù)________．【答案】．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域與解析式，直接求出的定義域與解析式即可.【詳解】，，的定義域是又故函數(shù)故答案為：10．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則________．【答案】．【分析】由對(duì)稱關(guān)系知兩函數(shù)互為反函數(shù)，由此求得結(jié)果.【詳解】與圖象關(guān)于對(duì)稱，與互為反函數(shù)，又值域?yàn)?/span>，.故答案為：.11．若，，則的最小值為________．【答案】．【分析】利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值是故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12．已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則________．【答案】【分析】由冪函數(shù)為偶函數(shù)，可知可取的值為，進(jìn)而分、兩種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，可得出答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意.所以可取的值為.若，則函數(shù)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；若，則函數(shù)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意.綜上所述，.故答案為：.13．定義．已知，，，用列舉法表示________．【答案】．【分析】根據(jù)定義，運(yùn)用列舉法可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，故答案為：.14．已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】．【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用反比例函數(shù)求出最小值，進(jìn)而可以得到a的取值范圍．【詳解】關(guān)于x的不等式在上恒成立，等價(jià)于不等式在上恒成立，令，即在上恒成立，利用反比例函數(shù)性質(zhì)知，.故答案為：.15．已知關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．【答案】【分析】令，可知直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，易知是定義域上的偶函數(shù)，可畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可求出的范圍.【詳解】令，則直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，∴函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，畫出函數(shù)在上的圖象，并且根據(jù)對(duì)稱性，可畫出在上的圖象，如下圖所示，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】．【分析】設(shè)，可知上任意一點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在上，由此可整理得到的表達(dá)式，利用表達(dá)式相同可構(gòu)造方程組求得，由此得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在上，，即，，與為同一個(gè)表達(dá)式，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象對(duì)稱中心的求解，解決此類問題可通過設(shè)點(diǎn)的方式，根據(jù)對(duì)稱的特點(diǎn)可知其關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，由此構(gòu)造方程求得對(duì)稱中心. 三、解答題17．已知集合，，求．【答案】．【分析】解出集合、，然后利用并集的定義可求出集合.【詳解】，或，畫數(shù)軸如圖所示，由數(shù)軸可知【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查并集的計(jì)算，以及絕對(duì)值不等式與一元二次不等式的求解，在求解無(wú)限數(shù)集之間的運(yùn)算時(shí)，可充分利用數(shù)軸來(lái)理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若是奇函數(shù)，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由化簡(jiǎn)得到，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，利用分式不等式求解. （2）根據(jù)是奇函數(shù)，由恒成立求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以不等式化為：，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是；（2）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以恒成立，所以恒成立，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的加法以及函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19．地震是常見的自然災(zāi)害，我國(guó)政府投入了大量的人力、財(cái)力、物力來(lái)監(jiān)測(cè)預(yù)防．根據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，把5級(jí)以上的地震定為大震，目前為止，2019年全年，我國(guó)共發(fā)生32次大震，其中震級(jí)最大的為發(fā)生在4月18日的臺(tái)灣花蓮的6.7級(jí)地震．有記錄以來(lái)我國(guó)震級(jí)最大的為1950年的8.5級(jí)的西藏墨脫地震．人類有記錄以來(lái)震級(jí)最大的為1920年的9.5級(jí)的智利大地震．地震是地殼釋放能量的結(jié)果，設(shè)釋放的能量為E，地震級(jí)數(shù)為M，有如下經(jīng)驗(yàn)公式：（a為某常數(shù)）．（1）假設(shè)1級(jí)地震產(chǎn)生約焦耳的能量，請(qǐng)問5級(jí)地震產(chǎn)生的能量為多少？（用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示）（2）設(shè)題設(shè)中臺(tái)灣花蓮地震、西藏墨脫地震、智利大地震釋放的能量分別為、、，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）（焦耳）；（2）；理由見解析．【分析】（1）由題意，求出a的值，再令，代入公式即可得解；（2）由，可得，分別表示出的值，已知，，再用作商法比較大小即可.【詳解】（1）由題意，，即，解得當(dāng)時(shí)，，即，即所以5級(jí)地震產(chǎn)生的能量為（焦耳）；（2）由，可得顯然，，從而，，而由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：，故【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，結(jié)合已知條件計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于較難題.20．已知二次函數(shù)，．（1）如果函數(shù)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值，并指出此時(shí)x的取值；（3）求的最小值，并表示為關(guān)于a的函數(shù)．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，進(jìn)而結(jié)合題意得：，解不等式即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)題意，分，，三種情況討論函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得：.故當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.（3）因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故；當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故；綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和單調(diào)性問題，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題第三問解題的關(guān)鍵在于由二次函數(shù)的單調(diào)性分，，三種情況討論求解.21．已知函數(shù)，，兩者定義域均為R，其中常數(shù)且．（1）若，證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）時(shí)，的值域?yàn)?/span>，時(shí)，的值域?yàn)?/span>；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）任取，利用為增函數(shù)，可得，再結(jié)合增函數(shù)的定義可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）,分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出結(jié)果；（3）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，且在上恒成立，然后分類討論，求出與的最小值可得解.【詳解】（1）任取，則，因?yàn)?/span>，所以為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)?/span>.（3）因?yàn)?/span>，，所以，，所以不等式在上恒成立，可化為，在上恒成立，且在上恒成立，即在上恒成立，且在上恒成立，因?yàn)?/span>，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)，即，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則. 

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